Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ und betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{x}e^{-t}.$

Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.

Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}k\in \mathbb {N}$ die Beziehung

$\operatorname {Fak} \,{\left({\frac {2k-1}{2}}\right)}={\frac {\prod _{i=1}^{k}(2i-1)}{2^{k}}}\cdot {\sqrt {\pi }}$

gilt.

Aufgabe *

a) Zeige, dass für ${}x\geq 1$ die Abschätzung

${}\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq 1\,$

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion ${}H(x)$ mit

$H(x)=\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

für ${}x\geq 1$ monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass ${}10!\geq e^{11}+1$ gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}x\geq 10$ die Abschätzung

$\operatorname {Fak} \,(x)\geq e^{x}$

gilt.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=\sin t{\text{ mit }}y(\pi )=7.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{2}-4t+7{\text{ mit }}y(2)=5.$

Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y\,.$

Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ zeitunabhängig ist, d.h. dass ${}y_{1}(t)-y_{2}(t)$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung

${}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{1}(-\ln t)^{x}\,dt\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{3}-2t+5{\text{ mit }}y(3)=4.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y+t\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t^{3}}{t^{2}+1}}{\text{ mit }}y(1)=2.$

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