Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { - \frac{y}{t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { e^t y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y+7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = y + { \frac{ \sinh t }{ \cosh^{ 2 } t } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde eine
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{,}
für die $f$ eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t) y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {unendlich oft differenzierbaren Funktion}{}{}
\mathl{g}{} und es sei $y$ eine differenzierbare
\definitionsverweis {Lösung}{}{.}
a) Zeige, dass
\mathl{y}{} ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für einen Zeitpunkt $t_0$. Zeige unter Verwendung von
Aufgabe 19.17,
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^{(n)}(t_0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } }} { . }
b) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7} { . }
c) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7 \text{ und } y(1)= 5} { . }
}
{} {}
Die folgende Aussage nennt man das \stichwort {Superpositionsprinzip} {} für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und seien
\maabbdisp {g,h_1,h_2} {I} {\R
} {}
Funktionen. Es sei $y_1$ eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y'
}
{ = }{ g(t) y +h_1(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $y_2$ eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y'
}
{ = }{ g(t) y +h_2(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mathl{y_1+y_2}{} eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t)y +h_1(t) +h_2(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestätige durch Nachrechnen, dass die in
Beispiel 29.7
gefundenen Funktionen
\mathdisp {y(t)= c \frac{\sqrt{t-1} }{\sqrt{t+1} }} { }
die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=y/(t^2-1)} { }
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { \frac{y}{t^2-3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \frac{t}{t^2+2} y \text{ mit } y(3) = 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = y+e^{2t}-4e^{-3t}+1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } + { \frac{ t^3-2t+5 }{ t^2-3 } }} { . }
}
{} {}
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