Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 4/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Untersuche für jedes $n \in \N$ die Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^n } {,} auf \definitionsverweis {Injektivität}{}{} und \definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {G} {M} {L } {} eine Abbildung, die \mathkor {} {F \circ G = \operatorname{id}_M \,} {und} {G \circ F = \operatorname{id}_L \,} {} erfüllt. Zeige, dass dann $G$ die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} von $F$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {} für die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R } {,} die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^4+3x^2-2x+5 \text{ und } \psi(x)=2x^3-x^2+6x-1} { }
definiert sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $L, M, N$ und $P$ Mengen und es seien \maabbeledisp {F} {L} {M } {x} {F(x) } {,} \maabbeledisp {G} {M} {N } {y} {G(y) } {,} und \maabbeledisp {H} {N} {P } {z} {H(z) } {,} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H \circ (G \circ F) }
{ =} { (H \circ G) \circ F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {\verknuepfung {f} {g}} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $\verknuepfung {f} {g}$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch $f$ injektiv.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {\R} {\R } {} Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei
\mathl{f=f_n \circ \cdots \circ f_1}{} ihre \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.} Es sei $k$ die Anzahl der fallenden Funktionen unter den $f_i$. Zeige, dass bei $k$ gerade $f$ \definitionsverweis {wachsend}{}{} und bei $k$ ungerade $f$ \definitionsverweis {fallend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {((4+{ \mathrm i})X^2-3X+9{ \mathrm i}) \cdot ((-3+7{ \mathrm i})X^2+(2+2{ \mathrm i})X-1+6{ \mathrm i})} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Grad}{}{} folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungzwei { $\operatorname{grad} \, (P+Q) \leq \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}$, } { $\operatorname{grad} \, (P \cdot Q) = \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ gilt: Wenn $P,Q \in K[X]$ beide ungleich $0$ sind, so ist auch $PQ \neq 0$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung \maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K } {P} {P(a) } {,} folgende Eigenschaften erfüllt \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$. }{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$. }{$1(a)=1$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Ergebnis, wenn man im \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2-4X+7} { }
die Variable $X$ durch die \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} $2-5{ \mathrm i}$ ersetzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jedes Polynom
\mathl{P \in K[X],\, P \neq 0,}{} eine Produktzerlegung
\mathdisp {P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q} { }
mit
\mathl{\mu_j \geq 1}{} und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $F \in {\mathbb C}[X]$ ein \definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{} \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass $F$ in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{} zerfällt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die \definitionsverweis {Bernoullische Ungleichung}{}{} zum Exponenten $n=3$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der folgenden \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} \maabbdisp {f=g/h} {U} {\R } {,} wobei $U$ jeweils das \definitionsverweis {Komplement}{}{} der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms $h$ sei. \aufzaehlungsieben{$1/x$, }{$1/x^2$, }{$1/(x^2+1)$, }{$x/(x^2+1)$, }{$x^2/(x^2+1)$, }{$x^3/(x^2+1)$, }{$(x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P \in \R[X]$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten und sei $z \in {\mathbb C}$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} von $P$. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {konjugiert-komplexe Zahl}{}{} $\overline{ z }$ eine Nullstelle von $P$ ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {M} {M } {x} {\varphi(x) } {,} die durch die Wertetabelle \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {6} {1} {4} }
{\mazeileunddrei {3} {7} {7} } gegeben ist. Berechne $\varphi^{1003}$, also die $1003$-te \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \zusatzklammer {oder \stichwort {Iteration} {}} {} {} von $\varphi$ mit sich selbst.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {streng wachsende Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $g \circ f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, so ist auch $g$ surjektiv.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( (4+{ \mathrm i})X^3- { \mathrm i}X^2+2X+3+2{ \mathrm i} \right) } \cdot { \left( (2-{ \mathrm i})X^3+(3-5 { \mathrm i})X^2+(2+{ \mathrm i})X+1+5{ \mathrm i} \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(5+ { \mathrm i} )X^4+ { \mathrm i} X^2+(3-2 { \mathrm i} )X-1} {und} {T=X^2+ { \mathrm i} X+3- { \mathrm i}} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{P\in \R[X]}{} ein \definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{} \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad \mathkor {} {1} {oder} {2} {} schreiben kann.

}
{} {}



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