Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 3

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

erfüllen.


Aufgabe

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind.


Aufgabe

Beweise die Formel


Aufgabe *

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.


Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .


Aufgabe *

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.


Aufgabe *

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Für ist
  5. genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.


Aufgabe *

Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. Für ist .


Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

  1. Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. .
  4. .
  5. Für ist .
  6. .


Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 3.15 angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl im Fall .


Aufgabe

Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

für .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Für ist .
  5. .
  6. genau dann, wenn ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien mit . Zeige, dass es für die Gleichung

mindestens eine komplexe Lösung gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde alle drei komplexen Zahlen , die die Bedingung

erfüllen.




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