Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 35/latex

\setcounter{section}{35}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {affin-linearen}{}{} \definitionsverweis {Kurve}{}{} \maabbeledisp {} {[a,b]} {\R^n } {t} {tv+w } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {Kurve}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist, wenn die beiden Einschränkungen von $f$ auf
\mathl{[a,c]}{} und auf
\mathl{[c,b]}{} rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_a^b(f) }
{ =} { L_a^c(f) + L_c^b(f) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3-5x^2+3x-2 } {,} von $-5$ nach $5$.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Helix2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Helix2.png } {} {Siebrand} {nl Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der durch \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {t} {(\cos t,\sin t,t) } {,} gegebenen
\betonung{Schraubenlinie}{} für $t$ zwischen \mathkor {} {0} {und} {b} {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2-1,t^3-t) } {.}

a) Zeige, dass die \definitionsverweis {Bildpunkte}{}{}
\mathl{(x,y)}{} der Kurve die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ =} { x^2+x^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y) }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^2+x^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte \mathkor {} {t_1} {und} {t_2} {} mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {Neilschen Parabel}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2,t^3) } {,} von \mathkor {} {0} {bis} {b} {,} wobei $b \in \mathbb{R}_{>0}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} des \definitionsverweis {cosinus hyperbolicus}{}{}
\mathl{\cosh t}{} von \mathkor {} {a} {nach} {b} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die Länge des Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2-x+13 } {,} zwischen \mathkor {} {4} {und} {8} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die differenzierbare Kurve \maabbeledisp {f} {[0, \pi]} { \R^2 } {t} {(t, \sin t) } {.}

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge $L$ dieser Kurve die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ \leq} { \sqrt{2} \pi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{.} Beweise die Längengleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(\gamma) }
{ =} {L( \varphi \circ \gamma) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ { \left\{ (x, \betrag { x }) \mid x \in \R \right\} } }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Graph}{}{} der \definitionsverweis {reellen Betragsfunktion}{}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R^2 } {} an, deren \definitionsverweis {Bild}{}{} genau $G$ ist.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben \zusatzklammer {einschließlich Aufgabe 35.21} {} {} diskutieren, inwiefern höherdimensional ein \anfuehrung{Mittelwertsatz}{} gelten kann.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^2 } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} mit
\mathl{f(a) \neq f(b)}{.} Zeige, dass es kein
\mathl{c \in [a,b]}{} derart geben muss, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c) }
{ =} {s \cdot { \left( f(b)-f(a) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem
\mathbed {s \in \R} {}
{s \neq 0} {}
{} {} {} {,} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^2 } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} mit
\mathl{f'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in [a,b]}{} und mit
\mathl{f(a) \neq f(b)}{.} Zeige, dass es kein
\mathl{c \in [a,b]}{} derart geben muss, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c) }
{ =} {s \cdot { \left( f(b)-f(a) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem
\mathbed {s \in \R} {}
{s > 0} {}
{} {} {} {,} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^3 } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} mit
\mathl{f'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in [a,b]}{} und mit
\mathl{f(a) \neq f(b)}{.} Zeige, dass es kein
\mathl{c \in [a,b]}{} derart geben muss, dass \mathkor {} {f'(c)} {und} {f(b)-f(a)} {} \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt $0$ von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit $v$ abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve
\mathl{f(t)}{} des Körpers und die zurückgelegte Strecke
\mathl{s(t)}{} in Abhängigkeit von der Zeit $t$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne die \definitionsverweis {Länge}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ 3 } } x^2-4x+11 } {,} zwischen \mathkor {} {2} {und} {9} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {t} { { \left( { \frac{ t^3 }{ 3 } }, { \frac{ 4t^5 }{ 5 } } , { \frac{ 8t^7 }{ 7 } } \right) } } {,} von \mathkor {} {a} {nach} {b} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist, wenn sämtliche \definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{} rektifizierbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp t}{} von \mathkor {} {a} {nach} {b} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R^2 } {} an, deren \definitionsverweis {Bild}{}{} genau das \definitionsverweis {Achsenkreuz}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Die Maiaufgabe}

Die folgende Sonderaufgabe ist bis Ende Mai abzugeben.


\inputaufgabe
{8}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^2 } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} mit
\mathl{f'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in [a,b]}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} derart gibt, dass \mathkor {} {f'(c)} {und} {f(b)-f(a)} {} \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

}
{} {}