Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 34

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve

in jedem Punkt .


Aufgabe

Skizziere die Bilder und die Graphen der folgenden Kurven im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .


Aufgabe

Sei ein euklidischer Vektorraum und . Zeige, dass die Abbildung

differenzierbar ist mit der Ableitung .


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und ein euklidischer Vektorraum. Es seien

zwei in differenzierbare Kurven und es sei

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

  1. Die Summe

    ist in differenzierbar mit

  2. Das Produkt

    ist differenzierbar in mit

    Insbesondere ist für auch differenzierbar in mit

  3. Wenn nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

    in differenzierbar mit


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen euklidischen Vektorraum mit den Komponentenfunktionen

bezüglich einer Basis von . Zeige, dass der Limes

genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten

existieren.


Aufgabe

Es seien

zwei differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Für welche Punkte ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve

zum Nullpunkt maximal, für welche minimal?


Cusp.png

Aufgabe

Das Bild der durch

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung erfüllt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien endlich viele Punkte und sei . Zeige, dass es zu je zwei Punkten eine differenzierbare Kurve

mit und gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

für jeden Punkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Kurve

a) Bestimme die Ableitung von in jedem Punkt .

b) Bestimme die Komponentenfunktionen von bezüglich der neuen Basis

von .

c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von Lemma 34.10.


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein „Doppel-Karussell“, bei dem sich ein Sitz alle Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle Sekunden um einen großen Kreis mit Radius Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand Meter.

a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang (in einem geeigneten Koordinatensystem) als eine differenzierbare Kurve.[1]

b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

c) Berechne die Geschwindigkeit (den Betrag des Geschwindigkeitsvektors) dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme in der Situation von Aufgabe 34.12 die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei

Bestimme die Punkte , für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte zum Punkt minimal wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Kurve und ein Punkt. Es sei derart, dass der Abstand (zwischen und einem Kurvenpunkt) in minimal werde. Zeige, dass senkrecht zu ist.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (6 Punkte)

Erstelle eine Animation zu Aufgabe 34.12.




Fußnoten
  1. Gefragt ist hier nach der mathematischen Überlagerung der beiden Bewegungen, d.h. die große Bewegung verdreht nicht das Koordinatensystem der kleinen Bewegung. Eine volle Umdrehung des kleinen Kreises liegt vor, wenn der Verbindungspfeil aus dem äußeren Drehmittelpunkt und dem Sitz wieder in die gleiche Himmelsrichtung zeigt. Bei der mechanischen Überlagerung, die vorliegt, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit des äußeren montierten Motors feststeht, sieht dies anders aus.



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