Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 35

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}v,w\in \mathbb {R} ^{n}$. Bestimme die Länge der affin-linearen Kurve

$[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto tv+w.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Kurve und ${}c\in [a,b]$. Zeige, dass ${}f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von ${}f$ auf ${}[a,c]$ und auf ${}[c,b]$ rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall

${}L_{a}^{b}(f)=L_{a}^{c}(f)+L_{c}^{b}(f)\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-5x^{2}+3x-2,$

von ${}-5$ nach ${}5$.

Aufgabe *

Bestimme die Länge der durch

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegebenen Schraubenlinie für ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe

Bestimme die Länge der Neilschen Parabel

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}),$

von ${}0$ bis ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{>0}$.

Aufgabe

Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus ${}\cosh t$ von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe *

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x^{2}-x+13,$

zwischen ${}4$ und ${}8$.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${}L$ dieser Kurve die Abschätzung

${}L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

${}L(\gamma )=L(\varphi \circ \gamma )\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G={\left\{(x,\vert {x}\vert )\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ der Graph der reellen Betragsfunktion. Man gebe eine differenzierbare Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Bild genau ${}G$ ist.

Die folgenden Aufgaben (einschließlich Aufgabe 35.21) diskutieren, inwiefern höherdimensional ein „Mittelwertsatz“ gelten kann.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass

${}f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$

mit einem ${}s\in \mathbb {R}$, ${}s\neq 0$, gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$ und mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass

${}f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$

mit einem ${}s\in \mathbb {R}$, ${}s>0$, gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$ und mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass ${}f'(c)$ und ${}f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt ${}0$ von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit ${}v$ abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve ${}f(t)$ des Körpers und die zurückgelegte Strecke ${}s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit ${}t$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{3}}x^{2}-4x+11,$

zwischen ${}2$ und ${}9$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {t^{3}}{3}},{\frac {4t^{5}}{5}},{\frac {8t^{7}}{7}}\right)},$

von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Länge des Graphen der Exponentialfunktion ${}\exp t$ von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine differenzierbare Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Bild genau das Achsenkreuz ist.

Die Maiaufgabe

Die folgende Sonderaufgabe ist bis Ende Mai abzugeben.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$. Zeige, dass es ein ${}c\in [a,b]$ derart gibt, dass ${}f'(c)$ und ${}f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.