Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 35

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Seien . Bestimme die Länge der affin-linearen Kurve


Aufgabe

Sei

eine Kurve und . Zeige, dass genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von auf und auf rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall

gilt.


Aufgabe

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

von nach .


Helix2.png


Aufgabe *

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .


Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.


Aufgabe

Bestimme die Länge der Neilschen Parabel

von bis , wobei .


Aufgabe

Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus von nach .


Aufgabe *

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung

gilt.


Aufgabe *

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit


Aufgabe

Es sei der Graph der reellen Betragsfunktion. Man gebe eine differenzierbare Kurve

an, deren Bild genau ist.


Die folgenden Aufgaben (einschließlich Aufgabe 35.21) diskutieren, inwiefern höherdimensional ein „Mittelwertsatz“ gelten kann.

Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass

mit einem , , gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle und mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass

mit einem , , gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle und mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass und linear abhängig sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit abgeschossen und bewege sich danach Luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve des Körpers und die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

von nach .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kompaktes Intervall und

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Länge des Graphen der Exponentialfunktion von nach .


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine differenzierbare Kurve

an, deren Bild genau das Achsenkreuz ist.




Die Maiaufgabe

Die folgende Sonderaufgabe ist bis Ende Mai abzugeben.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle . Zeige, dass es ein derart gibt, dass und linear abhängig sind.




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