Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( c \cdot x_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( c \cdot x_n \right) }
}
{ =} { c \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
reelle
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ y_n }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ n^k } } \right) }_{ n \in \N }}{} gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Berechne
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {x_0 \cdot y_0, \, x_1 \cdot y_1} {und} {x_2 \cdot y_2} {.}
}{Konvergiert die
\definitionsverweis {Produktfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_n
}
{ = }{x_n \cdot y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
innerhalb der rationalen Zahlen?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine reelle Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.
(a) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ > }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Folge ist streng fallend.
(b) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Folge konstant.
(c) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ < }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Folge ist streng wachsend.
(d) Die Folge konvergiert.
(e) Der Grenzwert ist $a$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{6n^3+3n^2-4n+5}{7n^3-6n^2-2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {P = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}} {und} {Q = \sum_{ i = 0 }^{ e } b_{ i } x^{ i}} {} \definitionsverweis {Polynome}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_d, b_e
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man bestimme in Abhängigkeit von
\mathkor {} {d} {und} {e} {,}
ob die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_n
}
{ =} { { \frac{ P(n) }{ Q(n) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für $n$ hinreichend groß} {} {} definierte \definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die rekursiv definierte
\definitionsverweis {Folge}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} { \frac{ x_n + a/x_n }{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $\sqrt{a}$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{,} die nicht konvergiert, aber eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mathl{(a_n)_{n \in \N}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ f_n }{ f_{n-1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {1 + x^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Berechne daraus $x$.
}
{} {Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.}
Zu zwei nichtnegativen
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
heißt
\mathdisp {\sqrt{ x \cdot y}} { }
das \definitionswort {geometrische Mittel}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { b^{ { \frac{ 1 }{ n } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
}{Zeige, dass sämtliche Folgenglieder $\geq 1$ sind.
}{Zeige, dass die Folge gegen $1$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung
bestimmte Zahl
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n
}
{ =} {[a_n,b_n]
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige unter Verwendung
der Bernoullischen Ungleichung,
dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
ist.
}
{} {}
Mit einem ähnlichen Argument kann man zeigen, dass die Folge
\mathl{{ \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^{n+1}}{} fallend ist und dass durch
\mathl{[ { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^{n}, { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^{n+1} ]}{} eine Intervallschachtelung gegeben ist. Die dadurch festgelegte reelle Zahl ist die eulersche Zahl $e$. Wir werden im Laufe des Kurses noch eine weitere Beschreibung für diese Zahl kennenlernen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{x^n,\, n \in \N}{,}
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {reellen Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} für die es sowohl eine
\definitionsverweis {bestimmt}{}{}
gegen $+ \infty$ als auch eine bestimmt gegen $- \infty$ divergente
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }} { }
gegebene Folge
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( \sqrt{n} \right) }_{ n \in \N }}{}
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $\infty$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge genau dann
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist, wenn ${ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }$ gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 7n^3-3n^2+2n-11 }{ 13n^3-5n+4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Folge}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 2n+5 \sqrt{n} +7 }{ -5 n+3 \sqrt{n} -4 } }} { }
definierten
\definitionsverweis {reellen Folge}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe Beispiele für
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert,
}{gegen $1$ konvergiert,
}{divergiert.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} {{ \frac{ \sqrt{n}^n }{ n! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Folge auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{\R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit dem Grenzwert $x$. Zeige, dass die Folge
\mathl{\sqrt{x_n}}{} gegen
\mathl{\sqrt{x}}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
durch
\mathl{x_0=a}{,}
\mathl{y_0=b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }
\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
ist.
}
{} {}