Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 8

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine reelle konvergente Folge und . Zeige, dass die Folge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe *

Es sei eine reelle konvergente Folge mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe

Es seien und reelle konvergente Folgen. Es sei und für alle . Zeige, dass ebenfalls konvergent ist mit


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe *

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert .

  1. Berechne und .
  2. Berechne und .
  3. Berechne und .
  4. Konvergiert die Produktfolge innerhalb der rationalen Zahlen?


Aufgabe *

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Es seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch

(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen konvergiert.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.


Aufgabe *

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Folge mit konvergiert.


Aufgabe

Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.


Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen und heißt

das geometrische Mittel.


Aufgabe *

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Aufgabe *

Sei eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

().

  1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
  2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder sind.
  3. Zeige, dass die Folge gegen konvergiert ist.


Aufgabe *

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe

Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Aufgabe *

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

wachsend ist.


Mit einem ähnlichen Argument kann man zeigen, dass die Folge fallend ist und dass durch eine Intervallschachtelung gegeben ist. Die dadurch festgelegte reelle Zahl ist die eulersche Zahl . Wir werden im Laufe des Kurses noch eine weitere Beschreibung für diese Zahl kennenlernen.

Aufgabe

Sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge , bestimmt divergent gegen ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer reellen Folge , für die es sowohl eine bestimmt gegen als auch eine bestimmt gegen divergente Teilfolge gibt.


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe

Zeige, dass die Folge bestimmt divergent gegen ist.


Aufgabe

Es sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen ist, wenn gegen konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen und mit , , und mit derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (6 Punkte)

Untersuche die durch

gegebene Folge auf Konvergenz.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine konvergente Folge mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch

Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.



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