Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 8

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle konvergente Folge und  ${}c\in \mathbb {R}$.  Zeige, dass die Folge ${}{\left(c\cdot x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(c\cdot x_{n}\right)}=c\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle konvergente Folge mit  ${}x_{n}\neq 0$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$  und  ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$.  Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle konvergente Folgen. Es sei  ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$  und  ${}x_{n}\neq 0$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Zeige, dass ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent ist mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

Aufgabe

Es sei  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$.  Zeige, dass die Folge ${}{\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startwert  ${}x_{0}=1$  und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {\frac {1}{3}}}$ mit dem Startwert  ${}y_{0}=1$. 

1. Berechne ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$.
2. Berechne ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$.
3. Berechne ${}x_{0}\cdot y_{0},\,x_{1}\cdot y_{1}$ und ${}x_{2}\cdot y_{2}$.
4. Konvergiert die Produktfolge  ${}z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$  innerhalb der rationalen Zahlen?

Aufgabe *

Es sei  ${}a\in \mathbb {R}$.  Zu einem Startwert  ${}x_{0}\in \mathbb {R}$  sei eine reelle Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}\,$

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei  ${}x_{0}>a$  ist  ${}x_{n}>a$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$  und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei  ${}x_{0}=a$  ist die Folge konstant.

(c) Bei  ${}x_{0}<a$  ist  ${}x_{n}<a$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$  und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist ${}a$.

Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {6n^{3}+3n^{2}-4n+5}{7n^{3}-6n^{2}-2}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Es seien ${}P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ und ${}Q=\sum _{i=0}^{e}b_{i}x^{i}$ Polynome mit  ${}a_{d},b_{e}\neq 0$.  Man bestimme in Abhängigkeit von ${}d$ und ${}e$, ob die durch

${}z_{n}={\frac {P(n)}{Q(n)}}\,$

(für ${}n$ hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Es sei  ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$  eine nichtnegative reelle Zahl und  ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$.  Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

${}x_{n+1}:={\frac {x_{n}+a/x_{n}}{2}}\,$

gegen ${}{\sqrt {a}}$ konvergiert.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$, die (in ${}\mathbb {Q}$) nicht konvergiert.

Aufgabe *

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

${}x_{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdots {\frac {2n-1}{2n}}\,$

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge ${}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit  ${}a_{n}={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$  konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

${}x_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\,.$

Zeige, dass diese Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und dass der Grenzwert ${}x$ die Bedingung

${}x=1+x^{-1}\,$

erfüllt. Berechne daraus ${}x$.

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\sqrt {x\cdot y}}$

das geometrische Mittel.

Aufgabe *

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe *

Es sei  ${}b\geq 1$  eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

${}x_{n}:=b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{b}}\,$

(mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$).

1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder ${}\geq 1$ sind.
3. Zeige, dass die Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt  ${}x\in \mathbb {R}$  besteht.

Aufgabe

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit  ${}x_{n}\in I_{n}$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ( ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ )

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe *

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

${}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

wachsend ist.

Mit einem ähnlichen Argument kann man zeigen, dass die Folge ${}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$ fallend ist und dass durch ${}[{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n},{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}]$ eine Intervallschachtelung gegeben ist. Die dadurch festgelegte reelle Zahl ist die eulersche Zahl ${}e$. Wir werden im Laufe des Kurses noch eine weitere Beschreibung für diese Zahl kennenlernen.

Aufgabe

Es sei  ${}x>1$  eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge ${}x^{n},\,n\in \mathbb {N}$, bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, für die es sowohl eine bestimmt gegen ${}+\infty$ als auch eine bestimmt gegen ${}-\infty$ divergente Teilfolge gibt.

Aufgabe

Untersuche die durch

$x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge ${}{\left({\sqrt {n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ bestimmt divergent gegen ${}\infty$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit  ${}x_{n}>0$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist, wenn ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

${}x_{n}={\frac {7n^{3}-3n^{2}+2n-11}{13n^{3}-5n+4}}\,$

definierten Folge.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_{n}={\frac {2n+5{\sqrt {n}}+7}{-5n+3{\sqrt {n}}-4}}$

definierten reellen Folge.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}x_{n}\neq 0$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge

${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

1. gegen ${}0$ konvergiert,
2. gegen ${}1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\,$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die durch

${}x_{n}={\frac {{\sqrt {n}}^{n}}{n!}}\,$

gegebene Folge auf Konvergenz.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$  eine konvergente Folge mit dem Grenzwert ${}x$. Zeige, dass die Folge ${}{\sqrt {x_{n}}}$ gegen ${}{\sqrt {x}}$ konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch ${}x_{0}=a$, ${}y_{0}=b$ und durch

$x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},$

$y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.$

Zeige, dass ${}[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.