Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/17

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Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

In der Vorlesung 17 geht es um die Taylor-Entwicklung, welche verwendet wird, um aus den höheren Ableitungen einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion approximierende Polynome zu entwickeln. Ich habe dabei noch nicht ganz verstanden, was die Taylor-Polynome letztendlich nach der Berechnung aussagen.


Antwort


Die Taylor-Reihe zu einer Funktion ist einfach eine andere Schreibweise für die Funktionsvorschrift. Die Werte sind exakt dieselben. Das Taylorpolynom ist die am -ten Glied abgeschnittene Taylor-Reihe und liefert eine Approximation der Funktion. Wenn man das Taylorpolynom am Entwicklungspunkt auswertet ist es das selbe - sogar bis zur -ten Ableitung. Deshalb sind die Werte nahe am Entwicklungspunkt auch ähnlich. Da man mit Polynomen besser rechnen kann als mit vielen anderen Funktionsvorschriften kann es daher zielführend sein das Taylorpolynom zu bestimmen um bestimmte Eigenschaften um den Entwicklungspunkt zu beweisen oder den Funktionsverlauf nahe am Entwicklungspunkt zu plotten. Weiter weg vom Entwicklungspunkt können das Verhalten und die Werte völlig anders sein, deshalb muss man damit vorsichtig sein.


Studentenfrage

Im Skript gibt es diese Aussage "Entwicklungspunkt ist bekannt" mehrmals, aber ich kann die Erklärung dafür nicht finden. Was ist damit gemeint?


Antwort


Deine Frage bezieht sich wahrscheinlich auf Fakt und Fakt. Du hast das aber falsch interpretiert. Es geht nicht um einen bekannten Entwicklungspunkt sondern wir setzen voraus, dass die Taylorpolynome in dem Entwicklungspunkt bekannt sind. Also die Taylorpolynome sind das bekannte, was du irgendwoher schon kennst und dann kannst du damit die anderen Taylorpolynome ausrechnen.


Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 17


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