Taylorreihe/R/Invertierte Funktion/Bestimmung/Bemerkung

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Es sei

eine -fach differenzierbare Funktion, für die das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt bis zum Grad bekannt sei und für die sei. Dann ist die Funktion auf einem offenen Intervall um definiert und nach Fakt  (4) differenzierbar in . Aufgrund von Fakt gilt (für )

bzw.

d.h. für die Funktion ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt bekannt. Wir ersetzen durch , so dass gilt. Dann kann man die Funktion als die Verknüpfung von mit der Funktion schreiben. Daher erhält man wegen Bemerkung das Taylor-Polynom bis zum Grad von , indem man in das Taylor-Polynom (bis zum Grad ) von im Entwicklungspunkt einsetzt und beim Grad abschneidet. Das Taylor-Polynom von erhält man, indem man durch teilt.