Taylorreihe/R/Invertierte Funktion/Bestimmung/Bemerkung

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine $n$-fach differenzierbare Funktion, für die das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt  $a\in I$  bis zum Grad $n$ bekannt sei und für die  $f(a)\ne 0$  sei. Dann ist die Funktion $1/f$ auf einem offenen Intervall um $a$ definiert und nach Fakt  (4) differenzierbar in $a$. Aufgrund von Fakt gilt (für $|x|<1$)

$\frac{1}{1-x}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^i$

bzw.

$\frac{1}{x}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(1-x{)}^i=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i(x-1{)}^i$

d.h. für die Funktion $\frac{1}{x}$ ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt $1$ bekannt. Wir ersetzen $f$ durch  $h=\frac{1}{f(a)}f$,  sodass  $h(a)=1$  gilt. Dann kann man die Funktion $1/h$ als die Verknüpfung von $h$ mit der Funktion $\frac{1}{x}$ schreiben. Daher erhält man wegen Bemerkung das Taylor-Polynom bis zum Grad $n$ von $1/h$, indem man in $\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(x-1{)}^i$ das Taylor-Polynom (bis zum Grad $n$) von $h$ im Entwicklungspunkt $a$ einsetzt und beim Grad $n$ abschneidet. Das Taylor-Polynom von $1/f$ erhält man, indem man durch $f(a)$ teilt.