Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/18

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

In Beispiel 18.14 geht es um das Treppenintegral. Das Intervall wird dabei in die ${}n$ gleichlangen Teilintervalle der Länge ${}1/n$ unterteilt. Warum wird das Intervall in Teilintervalle der Länge ${}1/n$ unterteilt und nicht in einer anderen Form?

Antwort

${}n$ Teilintervalle der Länge ${}1/n$ ergeben eine Gesamtlänge von ${}1$. Damit unterteilen wir also das gesamte Intervall ${}[0,1]$. Die Unterteilung in gleichlange Teilintervalle hat den Vorteil, dass es im Vergleich zu anderen Unterteilungen sehr einfach zu handhaben ist. Das ${}i$-te Intervall hat einfach die Grenzen ${}\left[{\frac {i}{n}},{\frac {i+1}{n}}\right]$.

Es gibt aber auch Situationen in denen es sinnvoll sein kann andere Unterteilungen zu wählen. Wir können zum Beispiel beim Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dtCheckmeplease$ auf die Idee kommen die Unterteilung in die Intervalle ${}\left[\left({\frac {i}{n}}\right)^{2},\left({\frac {i+1}{n}}\right)^{2}\right]$ für ${}i=0,\ldots ,n-1$ zu wählen, da dann sich in den Werten die Wurzeln wegheben. Die Intervalle haben die Länge

${\frac {(i+1)^{2}-i^{2}}{n^{2}}}={\frac {2i+1}{n^{2}}}$

sind also auf jedenfall nicht gleich lang. Das Untertreppenintegral ist dann

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2i+1}{n^{2}}}\cdot {\frac {i}{n}}={\frac {2}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}+{\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i={\frac {2}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}+{\frac {1}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {4n^{2}-3n-1}{6n^{2}}}.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ konvergiert dies gegen ${}{\frac {2}{3}}$. Entsprechend lässt sich das auch für das Oberintegral durchführen.

Wenn wir diese Unterteilung aber auf das Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dtCheckmeplease$ aus dem Beispiel anwenden, erhalten wir das Treppenintegral

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2i+1}{n^{2}}}\cdot {\frac {i^{4}}{n^{4}}}.$

und das ist nur unnötig kompliziert auszurechnen.

Das Intervall in verschieden lange Intervalle zu unterteilen wird auch bei der numerischen Integration genutzt, also bei der näherungsweisen Berechnung des Integralls durch einen Computer. Dazu werden Abschnitte des Intervalls in der die Funktion eine hohe Steigung aufweist feiner unterteilt als relativ flache Abschnitte. Dadurch konvergieren die Treppenintegrale schneller und wir brauchen insgesamt weniger Rechenschritte für die selbe Genauigkeit.

Studentenfrage

Wenn die Aussagen in Lemma 18.15 äquivalent sind, bedeutet das, wenn es eine Unterteilung derart gibt, dass die einzelnen Einschränkungen Riemann-integrierbar sind (aus 2.), sind auch für jede mögliche Unterteilung die Einschänkungen Riemann-integrierbar (aus 3.)?

Antwort

Ja, das ist eine der Implikationen der Aussage und sicherlich die für sich gesehen am wenigsten intuitive.

Das Lemma besagt die Äquivalenz von drei Aussagen. Um das zu zeigen führt man am Besten einen Ringschluss durch. Man legt also eine Reihenfolge der drei Aussagen fest, sagen wir zum Beispiel 1,2,3 und beweist dann ${}1\Rightarrow 2$, ${}2\Rightarrow 3$ und ${}3\Rightarrow 1$. Damit muss man die geringste Anzahl an Implikationen beweisen. Die Reihenfolge die man wählt hat aber einen Einfluss darauf, wie einfach oder schwer der Beweis ist. Bei den drei Aussagen hier sieht ${}2\Rightarrow 3$ am Schwierigsten aus, also vermeiden wir besser das direkt zu zeigen. Stattdessen zeigen wir ${}1\Rightarrow 3$, ${}3\Rightarrow 2$ und ${}2\Rightarrow 1$. Damit haben wir dann auch die Äquivalenz der drei Aussagen gezeigt, aber es uns vielleicht etwas einfacher gemacht.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 18

Aufgabe 18 und 19 haben viele falsch bearbeitet. Integrieren mit den Integrationsregeln verfehlt die Aufgabenstellung, da explizit gefordert war das direkt über obere und untere Treppenfunktionen auszurechnen - also so wie in Beispiel 18.14 mit dem Unterschied, dass die Intervallgrenzen anders sind und man bei Aufgabe 19 darauf aufpassen muss in welchen Teilintervallen welche Monotonie vorliegt.

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