Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/8/Negative Wurzeln/Studentenfrage/Antwort

Jede ${}k$-te Wurzel einer Zahl ${}a$ ist eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{k}-a$. Es folgt damit aus Satz 6.7, dem Fundamentalsatz der Algebra, dass jede Zahl eine Wurzel in den komplexen Zahlen besitzt.

Satz Satz 8.13 gibt uns die zusätzliche Information, dass wenn ${}a$ eine nichtnegative reelle Zahl ist, dass dann auch genau eine der ${}k$-ten Wurzeln eine nichtnegative reelle Zahl ist.

Wenn ${}a$ negativ ist dann hängt die Existenz von reellen Wurzeln davon ab ob ${}k$ gerade oder ungerade ist. Bei geradem ${}k$ und negativem ${}a$ ist ${}X^{k}-a$ immer echt positiv, denn ${}x^{k}\geq 0$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Also gibt es dann keine reellen Wurzeln. Bei ${}k$ ungerade gibt es aber reelle Wurzeln, da der Graph dann immer einen Nulldurchgang hat - das ergibt Sinn mit dem Zwischenwertsatz aus Vorlesung 11.

Zur beantworteten Studentenfrage