Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/8

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Mich irritiert der Satz:

„Innerhalb der rationalen Zahlen gibt es Cauchy-Folgen, die nicht konvergieren, beispielsweise die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$.“

Ich dachte, das Annähern an ${}{\sqrt {5}}$ würde man auch als konvergieren bezeichnen, selbst wenn man den Grenzwert nicht perfekt genau nennen kann:

„Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert).“

Entweder hab ich was zum Thema konvergieren oder zum Thema Cauchy-Folgen nicht verstanden (oder beides).

Antwort

Damit eine Folge in einem Körper ${}K$ konvergiert muss immer der Grenzwert in ${}K$ existieren. Dein zweites Zitat beschreibt nur die Sprechweise, dass wir von Konvergenz sprechen ohne den Grenzwert anzugeben. Existieren muss er trotzdem!

${}{\sqrt {5}}$ ist keine rationale Zahl, deshalb konvergiert die Heron-folge in ${}\mathbb {Q}$ nicht. Die Folge nähert sich stattdessen der Lücke an. Erst wenn wir die Folge in den reellen Zahlen interpretieren konvergiert sie.

Studentenfrage

Es heißt, dass eine nichtkonvergente Cauchy-Folge innerhalb der rationalen Zahlen eine Lücke entdeckt und adressiert. Innerhalb der reellen Zahlen werden diese Lücken aufgefüllt. Was genau ist damit gemeint?

Antwort

Die reellen Zahlen ${}{\sqrt {2}}$ oder ${}\pi$ sind keine Elemente des Körpers der rationalen Zahlen. Aber es gibt für jede irrationale Zahl Cauchyfolgen mit rationalen Folgengliedern, die in ${}\mathbb {R}$ gegen diese Zahl konvergieren. In ${}\mathbb {Q}$ sind diese Folgen Cauchyfolgen. In diesem Sinne addressieren diese Cauchyfolgen Lücken in ${}\mathbb {Q}$.

Studentenfrage

Is it correct to understand that "For every subset of ${}\mathbb {R}$, which is bounded above, has a least upper bound. Every bounded monotonic sequence in ${}\mathbb {R}$ is convergent. Therefore, we can say every Cauchy sequence in ${}\mathbb {R}$ is convergent. "?

Antwort

In fact the three following statements for an archimedean ordered field ${}K$ are equivalent

• Every bounded above nonempty subset has a supremum (i.e. a least upper bound).
• Every bounded above increasing sequence converges.
• Every Cauchy sequence converges (i.e. the field is complete).

Maybe that is what you mean. But the implications are not as direct as it seems from your assertion as for example most Cauchy sequences are not monotonic.

However if you view this equivalence as one of these being true before the others you should ask yourself why the first assertion is true. In fact one common model for the real numbers (which we don't do in this lecture) is constructed specifically so that Cauchy sequences are convergent. You can also construct the real numbers in different ways where other equivalent properties are true by construction. Then you can deduce all the equivalent completeness properties from the one you constructed with. Thus if you want to think about this further it makes more sense to think about how to construct the real numbers.

For the sake of this lecture and for applications, however, it is best to view the completeness of the real numbers just as an Axiom. As such it is true without proof, because it is one of the defining features of the real numbers. A construction of the real numbers just gives proof that such a thing as the real numbers actually exists.

Studentenfrage

Kann ich eine nach oben beschränkte Folge folgendermaßen beschreiben:

Sei ${}a_{n}$ eine (nichtstreng) wachsende Folge. Es gibt ein ${}n_{0}$ (natürliche Zahl), sodass für alle ${}n>n_{0}$ gilt: ${}a_{n+1}=a_{n}$, und ${}a_{n}$ ist die obere Schranke.

Antwort

Nein, nicht jede nach oben beschränkte Folge hat diese Form. Deine Aussage impliziert, dass alle Glieder ab einem bestimmten Wert gleich sind, was ein sehr spezieller Fall ist. Es gibt solche Folgen, aber nicht jede monoton wachsende beschränkte Folge hat diese Eigenschaft.

Zum Beispiel ist die Folge ${}a_{n}=-{\frac {1}{n}}$ nach oben beschränkt (durch die Null) und monoton wachsend, aber kein Folgenglied ist gleich einem anderen und kein Folgenglied ist gleich der Schranke.

Studentenfrage

In Satz 8.13 (und Vip zu Vorlesung 8) werden für nicht negative reelle Zahlen, die Aussage getroffen, dass die k-te reelle Wurzel existiert mit k aus den Natürlichen Zahlen. Würden wir jetzt auch negative Zahlen zulassen, würden wir uns dann in den Komplexen Zahlen bewegen oder existiert diese Annahme gar nicht?

Antwort

Jede ${}k$-te Wurzel einer Zahl ${}a$ ist eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{k}-a$. Es folgt damit aus Satz 6.7, dem Fundamentalsatz der Algebra, dass jede Zahl eine Wurzel in den komplexen Zahlen besitzt.

Satz Satz 8.13 gibt uns die zusätzliche Information, dass wenn ${}a$ eine nichtnegative reelle Zahl ist, dass dann auch genau eine der ${}k$-ten Wurzeln eine nichtnegative reelle Zahl ist.

Wenn ${}a$ negativ ist dann hängt die Existenz von reellen Wurzeln davon ab ob ${}k$ gerade oder ungerade ist. Bei geradem ${}k$ und negativem ${}a$ ist ${}X^{k}-a$ immer echt positiv, denn ${}x^{k}\geq 0$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Also gibt es dann keine reellen Wurzeln. Bei ${}k$ ungerade gibt es aber reelle Wurzeln, da der Graph dann immer einen Nulldurchgang hat - das ergibt Sinn mit dem Zwischenwertsatz aus Vorlesung 11.

Studentenfrage

Wir haben zuvor ja bereits Quadratwurzeln, sowie die 4. und 8. Wurzel von ${}i$ im Komplexen verwendet. Ist Satz 8.13 jetzt eingeführt worden, da es ein Beispiel für einen Beweis mit Intervallschachtelung ist oder hätten wir die ${}n$-te Wurzel im Reellen bereits vorher verwenden können?

Antwort

Weder noch. Zwar beweisen wir den Satz mit Intervallschachtelung, aber das entscheidende an dem Satz ist, dass es reelle Wurzeln von nichtnegativen reellen Zahlen gibt.

Wir können mit Wurzeln arbeiten sobald wir die Definition von Wurzeln kennen, unabhängig von der allgemeinen Existenz. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt außerdem, dass jede Zahl eine komplexe Wurzel hat. Neu hier ist nur das Verhalten in den reellen Zahlen.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 8

Bei der Bearbeitung von Aufgabe ***** und Aufgabe 8.27 sollten die Grenzwertsätze, also Lemma 8.1, verwendet werden.

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