Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesung 32/latex
\setcounter{section}{32}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller32.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Vorli begleitet dich bei den Vorlesungen. Das hilft sehr, denn Vorli sorgt für eine gute Balance aus Energie und Entspannung.} }
\bildlizenz { Waeller32.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Wir besprechen in dieser und der nächsten Vorlesung Lösungsverfahren für gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {f(t,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
wenn das Vektorfeld
\mathl{f(t,y)}{} eine bestimmte Form besitzt. Heute sprechen wir über sogenannte lineare Differentialgleichungen.
\zwischenueberschrift{Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t)y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\zusatzklammer {$I$ reelles Intervall} {} {}
\maabbeledisp {g} {I} {\R
} {t} {g(t)
} {,}
heißt \definitionswort {gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung}{.}
}
Wir sprechen kurz auch von \stichwort {linearen Differentialgleichungen} {.} Linear bedeutet hierbei, dass im
\zusatzklammer {auf \mathlk{I \times \R}{} definierten} {} {}
Vektorfeld
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t,y)
}
{ = }{g(t) y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ort $y$ linear eingeht, d.h. zu jedem fixierten Zeitpunkt $t_0$ ist
\mathl{f(t_0,y)}{} eine lineare Funktion in $y$.
Die folgende Aussage zeigt, dass solche Differentialgleichungen durch Integration gelöst werden können. Die Nullfunktion ist natürlich immer eine Lösung, interessant sind daher die Lösungen, die noch zusätzliche Eigenschaften \zusatzklammer {typischerweise eine Anfangsbedingung} {} {} erfüllen.
\inputfaktbeweis
{Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t)y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbeledisp {g} {I} {\R
} {t} {g(t)
} {,}
die auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert sei. Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $g$ auf $I$.}
\faktfolgerung {Dann sind die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der Differentialgleichung gleich
\mathdisp {y(t) = c \cdot \exp (G(t)) \text{ mit } c \in \R} { . }
}
\faktzusatz {Das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y' =g(t)y \text{ und } y(t_0)=y_0} { }
\zusatzklammer {mit $t_0 \in I,\, y_0 \in \R$} {} {}
besitzt eine eindeutige Lösung.}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Zunächst gibt es eine Stammfunktion $G$ von $g$ aufgrund von
Korollar 19.5,
sodass die angegebenen Funktionen existieren.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Durch
\definitionsverweis {Ableiten}{}{}
bestätigt man direkt, dass diese Funktionen wirklich Lösungen sind.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei $y$ eine beliebige Lösungsfunktion. Wir betrachten den Quotienten
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{{ \left( \frac{y(t)}{ \exp (G(t)) } \right) }'
}
{ =} { \frac{y'(t) \exp \left( G(t) \right) - y(t) \cdot { \left( \exp (G(t)) \cdot g(t) \right) } }{ \exp^{ 2 } (G(t)) }
}
{ =} { \frac{y(t) g(t) \exp \left( G(t) \right) - y(t) \cdot { \left( \exp (G(t)) \cdot g(t) \right) } }{ \exp^{ 2 } (G(t)) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
sodass aufgrund von
Lemma 19.6
der Quotient
\mathl{\frac{y(t)}{ \exp (G(t)) }}{} konstant sein muss, woraus die Behauptung folgt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{ y_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
legt den Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ \frac{y_0}{ \exp (G(t_0)) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig fest.}
{}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt genau die
\definitionsverweis {konstanten}{}{}
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
\mathdisp {y(t)= c \text{ mit } c \in \R} { . }
Dies folgt direkt aus
Lemma 19.6,
aber auch aus
Satz 32.2.
}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt genau die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
\mathdisp {y(t)= c e^{t} \text{ mit } c \in \R} { . }
}
\inputbeispiel{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {cy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt nach
Satz 32.2
die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
\mathdisp {y(t)= a e^{ct}\text{ mit } a \in \R} { . }
}
In den bisherigen Beispielen war die Funktion
\mathl{g(t)}{} konstant, und es war besonders einfach, die Lösungen anzugeben. Man spricht von einer \stichwort {homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten} {.} Diese sind insbesondere
\definitionsverweis {zeitunabhängig}{}{.}
Die folgenden Beispiele besitzen keine konstanten Koeffizienten, sondern variable Koeffizienten. Diese Differentialgleichungen sind sowohl orts- als auch zeitabhängig.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ t } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der
\definitionsverweis {natürliche Logarithmus}{}{.}
Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind daher nach
Satz 32.2
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c \cdot \exp ( \ln t )
}
{ =} { ct
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ =} {\frac{1}{t^2-1}
}
{ =} {\frac{1}{(t-1)(t+1)}
}
{ =} { \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
gelangt man zur Stammfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(t)
}
{ =} { \frac{1}{2} \ln (t-1) - \frac{1}{2} \ln (t+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
nach
Satz 32.2
gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ c \cdot \exp { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (t-1) -{ \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (t+1) \right) }
}
{ =} { c { \frac{ \exp \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (t-1) \right) }{ \exp \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (t+1) \right) } }
}
{ =} { c { \frac{ \sqrt{ \exp \left( \ln (t-1) \right) } }{ \sqrt{ \exp \left( \ln (t+1) \right) } } }
}
{ =} { c \cdot \frac{\sqrt{t-1} }{\sqrt{t+1} }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ t^2+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine solche ist
\zusatzklammer {nach
Lemma 16.20 (3)} {} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(t)
}
{ =} { \arctan t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Daher sind die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
gleich
\mathdisp {c \cdot \exp ( \arctan t )} { . }
}
\zwischenueberschrift{Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}
Es gibt homogene lineare Gleichungsysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor \zusatzklammer {Störvektor} {} {} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine \stichwort {Störfunktion} {} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig, zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t)y +h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit zwei auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\mathl{t \mapsto g(t)}{} und
\mathl{t \mapsto h(t)}{} heißt \definitionswort {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{.}
}
Die folgende Aussage zeigt, dass solche Differentialgleichungen durch Integration gelöst werden können.
\inputfaktbeweis
{Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t) y +h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\maabb {g,h} {I} {\R
} {.}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von $g$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a(t)
}
{ =} { \exp (G(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der zugehörigen
\definitionsverweis {homogenen linearen Differentialgleichung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die Lösungen
\zusatzklammer {auf $I$} {} {}
der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { c(t)a(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{c(t)}{} eine Stammfunktion zu
\mathl{\frac{h(t)}{a(t)}}{} ist.}
\faktzusatz {Das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y' =g(t)y + h(t) \text{ und } y(t_0)=y_0} { }
\zusatzklammer {mit $t_0 \in I,\, y_0 \in \R$} {} {}
besitzt eine eindeutige Lösung.}
\faktzusatz {}
}
{
Da
\mathl{a(t)}{} keine Nullstelle besitzt, kann man jede
\zusatzklammer {differenzierbare} {} {}
Funktion
\maabbdisp {y} {I} {\R
} {}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} {c(t)a(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer unbekannten
\zusatzklammer {differenzierbaren} {} {}
Funktion
\mathl{c(t)}{} ansetzen. Dabei ist
\zusatzklammer {für eine differenzierbare Funktion $y$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} {c'(t)a(t) +c(t)a'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher kann man die Lösungsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} {g(t)y(t)+h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c'(t)a(t) +c(t)a'(t)
}
{ =} { g(t)c(t)a(t) +h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, und diese gilt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a'(t)
}
{ = }{g(t)a(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c'(t) a(t)
}
{ =} {h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c'(t)
}
{ =} {\frac{h(t)}{a(t)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. D.h.
\mathl{c(t)}{} muss eine Stammfunktion zu
\mathl{\frac{h(t)}{a(t)}}{} sein.
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun noch die
\definitionsverweis {Anfangsbedingung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{y_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Mit
\mathl{c(t)}{} ist auch
\mathl{c(t)+c_0}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_0
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Stammfunktion zu
\mathl{\frac{h(t)}{a(t)}}{.} Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_0
}
{ =} { { \left( c(t_0)+c_0 \right) } a(t_0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
legt dann $c_0$ eindeutig fest.}
{}
Die in diesem Satz verwendete Methode heißt \stichwort {Variation der Konstanten} {.} Man ersetzt dabei die Lösungsfunktionen der zugehörigen homogenen Gleichung, also
\mathl{ca(t)}{} mit konstantem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
durch eine variable Funktion
\mathl{c(t)}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {ay +b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Konstanten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z(t)
}
{ =} { e^{at}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach
Satz 32.10
müssen wir daher eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mathl{b e^{-at}}{} bestimmen. Diese sind durch
\mathl{- { \frac{ b }{ a } } e^{-at} +c}{} gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( - { \frac{ b }{ a } } e^{-at} +c \right) } \cdot e^{at}
}
{ =} { c \cdot e^{at} - { \frac{ b }{ a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cup_of_coffee_5084862159.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Lieber den Kaffee trinken, bevor er gemäß einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung die Außentemperatur angenommen hat.} }
\bildlizenz { Cup of coffee 5084862159.jpg } {Jason Walsh} {Lobo} {Commons} {CC-by-2.0} {}
Eine solche Differentialgleichung tritt bei Abkühlungsprozessen auf. Wenn ein
\zusatzklammer {heißer} {} {} Körper
\zusatzklammer {beispielsweise eine Tasse Kaffee} {} {}
sich in einem umgebenden Medium
\zusatzklammer {beispielsweise in einem Straßencafé} {} {}
mit konstanter Außentemperatur $A$ befindet, so wird die Temperaturentwicklung
\mathl{y(t)}{} des Körpers nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz durch die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} { - d (y(t) - A )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Dieses Gesetz besagt, dass die Abkühlung proportional zur Differenz zwischen Außentemperatur und Körpertemperatur ist
\zusatzklammer {der Proportionalitätsfaktor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Körpers ab} {} {.}
Die Lösungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { c e^{-dt} + A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist das $c$ durch eine Anfangsbedingung bestimmt, also typischerweise durch die Anfangs\-temperatur des Körpers zum Zeitpunkt $0$. Für
\mathl{t \rightarrow +\infty}{} nimmt der Körper die Außentemperatur $A$ an.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y + t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(3)
}
{ = }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a(t)
}
{ = }{ e^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach
Satz 32.10
müssen wir daher eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ t^2 }{ e^t } }
}
{ =} { t^2 \cdot e^{-t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden. Mit zweifacher
partieller Integration
findet man die Stammfunktion
\mathdisp {{ \left( -t^2-2t-2 \right) } e^{-t}} { . }
Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^t { \left( { \left( -t^2-2t-2 \right) } e^{-t} +c \right) }
}
{ =} {-t^2-2t-2 +c e^t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn wir noch die Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(3)
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
berücksichtigen, so ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -9-6-2+c e^3
}
{ =} {-17 +c e^3
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ { \frac{ 21 }{ e^3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { -t^2-2t-2 + { \frac{ 21 }{ e^3 } } e^t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2-1 } } + t-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(2)
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Hier ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(t)
}
{ = }{ t-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Störfunktion und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die zugehörige
\definitionsverweis {homogene lineare Differentialgleichung}{}{.}
Eine Stammfunktion von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ t^2-1 } }}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln ( t-1 ) - { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln ( t+1)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln { \left( { \frac{ t-1 }{ t+1 } } \right) }
}
{ =} { \ln { \left( { \frac{ \sqrt{t-1} }{ \sqrt{t+1} } } \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist nach
Satz 32.2
\zusatzklammer {bzw. nach
Beispiel 32.7} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a(t)
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{t-1} }{ \sqrt{t+1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung zur homogenen Differentialgleichung. Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung brauchen wir eine Stammfunktion zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ h(t) }{ a(t) } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{t+1} }{ \sqrt{t-1} } } \cdot (t-1)
}
{ =} { \sqrt{t+1} \cdot \sqrt{t-1}
}
{ =} { \sqrt{t^2-1}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion dazu ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( t \sqrt{t^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, t \, \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung haben also die Gestalt
\mathdisp {\sqrt{ { \frac{ t-1 }{ t+1 } } } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( t \sqrt{t^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, t \, \right) } +c \right) }} { }
Die Anfangsbedingung führt zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 2 \sqrt{3} - \, \operatorname{arcosh} \, 2 \, \right) } + c_0 \right) }
}
{ =} { 1- { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{3} } } \, \operatorname{arcosh} \, 2 \, + c_0 { \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_0
}
{ =} { 4 \sqrt{3} + { \frac{ 1 }{ 2 } } \, \operatorname{arcosh} \, 2 \,
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Lösung des Anfangswertproblems ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ y(t)
}
{ =} { \sqrt{ { \frac{ t-1 }{ t+1 } } } \cdot
{ \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( t \sqrt{t^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, t \, \right) } + 4 \sqrt{3} + { \frac{ 1 }{ 2 } } \, \operatorname{arcosh} \, 2 \, \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Das folgende Beispiel zeigt, dass man schon bei recht einfach aussehenden linearen Differentialgleichungen schnell an die Integrationsgrenzen kommt.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {ty+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zugehörige homogene Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ = }{ty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat die Lösung
\mathdisp {e^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}} { , }
somit sind nach
Satz 32.10
die Lösungen der inhomogenen Gleichung gleich
\mathl{c(t) e^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}}{,} wobei $c(t)$ eine Stammfunktion von
\mathl{e^{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}}{} ist. Diese Funktion ist aber nicht elementar integrierbar
\zusatzklammer {diese Funktion kommt auch beim sogenannten
\definitionsverweis {Fehlerintegral}{}{}
vor} {} {.}
}