Kurs:Mathematische Modellbildung/Lehrerbedarf/Implementation

Modellierungszyklus 1

Excel/LibreOffice Calc

Vorteile

Open Source (LibreOffice)
Einfache Programmierung von Makros
Einfache deskriptive Statistik

Vorteile für die Schule

Einfache Berechnungen
Erstellung von Wertetabellen und Diagrammen
Stochastische Experimente
Numerische Verfahren

Allgemeines

Implementation in Excel

(C2) Anzahl Studienanfänger 2017 über: =RUNDEN(B2*0,6;0)
(D7) Anzahl Absolventen 2022 über: =RUNDEN(C2*0,6;0)
(E7) Anzahl fertig ausgebildeter Lehrkräfte 2022 über: =D7+10

Anwendungen (Beispiele)

Numerische Verfahren, z.B. Newton Verfahren
Monte-Carlo Simulation
Mittelwert-, Varianzberechnung
Wenn-Abfrage
Zufallszahl
Matrizenrechnung

GeoGebra

Vorteile

Dynamische Geometrie Software
Open Source
Für alle gängige Betriebssysteme
Konstruktionswerkzeug mit Makros
Präzise/sauber/genau
Messfunktion

Vorteile für die Schule

Erforschungswerkzeug
Visualisierungswerkzeug
Erstellung von digitalen Arbeitsblättern und Lernpfaden
Automatische Konstruktionsbeschreibungen
Figuren dynamisch verändern

Studienanfänger

bessere Visualisierung
Anzahl Studienanfänger (Y-Wert) abhängig vom Jahr (X-Wert) als Punkte $P_{1},...,P_{5}$ eintragen
Funktion interpolieren

Tabelle erstellen

Ansicht, Tabelle

Tabelle ausfüllen

A= Jahreszahlen
B= Studentenanzahl

Punkte erstellen

Werte in Tabelle markieren
laues Balkensymbol auswählen
Analyse zweier Variablen

Regressionsmodell

wähle Sinus
Sinusfunktion besseres "Werkzeug" als Polynomfunktion
Sinus oszilliert zwischen oberer und unterer Schranke

entstandene Funktionsgleichung:

$f(x)=41.9239\cdot sin(1.1956\cdot x+2.1237)+336.1706$

Punkte liegen nicht direkt auf dem Graphen von $f$ .
neue Punkte $A,...,E$ erstellen, die dieselben $x$ -Werte wie die Punkte $P_{1},...,P_{5}$ haben, aber auf dem Graphen von $f$ liegen.
$y$ -Werte verändern sich geringfügig. Diese Änderung ist jedoch im Hinblick auf das Ziel der Modellierung vertretbar.

Stauchen des Graphens - Abbrecherquote

Parameter einfügen
$g(x)=a\cdot (41.9239\cdot sin(1.1956\cdot (x-c)+2.1237)+336.1706)+b$
Parameter $a$ sorgt für Streckung bzw. Stauchung in y-Richtung
hier $a$ $=0,6$ (da Abbrecherquote 40% ⇒ 60% schließen Studium ab)

Verschieben des Graphens in x-Richtung - Anzahl Absolventen

Studiendauer: 5 Jahre
Studienanfänger eines Jahres t sind Absolventen des Jahres t+5
Graph von g um 5 Einheiten nach rechts verschieben durch Parameter c
$g(x)=a\cdot (41.9239\cdot sin(1.1956\cdot (x-c)+2.1237)+336.1706)+b$

Verschieben des Graphens in y-Richtung - Quereinsteiger

10 Quereinsteiger jährlich
g um 10 Einheiten nach oben verschieben durch Parameter b
$g(x)=a\cdot (41.9239\cdot sin(1.1956\cdot (x-c)+2.1237)+336.1706)+b$

Anwendungen (Beispiele)

Hypothesentests
Deskriptive Statistik
Über Tool CAS: Ableitungen, Integrale, LGS lösen etc.
Graphische Darstellungen
Geometrische Konstruktionen

Modellierungszyklus 2

wxMaxima

Vorteile

Open Source
Benutzerfreundliche Oberfläche
Einfache Bedienung
Es gibt auch Maxima Web (und Maxima Konsole)

Allgemeines

Computer Algebra System
Eingabezeile gekennzeichnet durch %i(Nummer)
Ausgabe gekennzeichnet durch %o(Nummer)
Anweisungen mit Semikolon oder $-Zeichen abgeschlossen (wird selbstständig ergänzt)
Bestätigung der Eingabe mit Shift & Return
Dezimalzahlen mit Punkten statt mit Kommata eingeben

Teil 1

Im ersten Teil wird nur die durchgeführte Rechnung in Maxima beschrieben. In Teil 2 wird explizit auf die Implementierung in die Software eingangen.

Um eine Vorhersage über die Anzahl an Absolventen nach einem Wanderungszyklus zu treffen, muss die Übergangsmatrix $W$ mit dem Vektor $A$ multipliziert werden
Vektor $A$ gibt die aktuellen Absolventenzahlen plus Quereinsteiger (im Jahr 2022) vor der Wanderung an.

Das Ergebnis der Multiplikation der Übergangsmatrix $W$ mit dem Vektor $A$ wird dabei wieder als Vektor verstanden, der die Anzahl der Absolventen nach ihrer Wanderung angibt

Der entstandene Vektor beinhaltet die Absolventen- und Quereinsteigerzahlen aus dem Jahr 2022 für die jeweiligen Bundesländer
Die obige Rechnung wird nun weitere vier mal durchgeführt
Die erste Zeile der Vektoren (Wert für RLP) wird für die Jahre 2023, 2024, 2025 und 2026 angepasst

Teil 2

Matrizen eingeben

1.Variante

Über "Algebra" auf "Matrix eingeben" klicken

Zeilen- und Spaltenanzahl der Matrix eingeben und diese benennen

Entsprechende Werte in die Matrix eintragen

2.Variante

Direkte Eingabe: Matrix wird zeilenweise eingegeben

matrix([0.991,0.025,0.12],[0.009,0.945,0.28],[0,0.03,0.6])

Analog zu Teil 1 wird die Übergangsmatrix $D$ mit dem Vektor $X$ multipliziert
Dieser Vektor gibt dabei die Gesamtzahlen an pensionierten Lehrkräften, Lehrern im Dienst und Lehrern, die aufgrund gesundheitlicher Probleme pausieren, an (speziell für Mathematik in Rheinland-Pfalz)

Matrizenmultiplikation

Befehl zur Matrizenmultiplikation

Addition zweier Matrizen

Befehl zur Addition (zweier Matrizen)

Runden

Befehl zum Runden (eines Vektors)

Nach der Multiplikation erhält man die entsprechenden Werte für ein Jahr später
Da nicht nur Lehrer aus dem Dienst ausscheiden, werden im nächsten Schritt die neu eingestellten Lehrkräfte aus Teil 1 miteinbezogen und hinzu addiert
Um Dezimalstellen zu vermeiden wird das Ergebnis zum Schluss noch gerundet

Die eben beschriebene Rechnung wird insgesamt fünf Mal (bis 2026), wobei der Startvektor die Zahlen aus dem Vorjahr enthält

Anwendungen (Beispiele)

Matrizenrechnung (Inverse, Determinante etc.)
Lösen von Gleichungen
Bestimmung von Grenzwerten
Integration
Manipulation algebraischer Ausdrücke
Faktorisieren von Polynomen
Lösen von Differentialgleichungen erster/zweiter Ordnung

Modellierungszyklus 3

Excel/LibreOffice Calc

Vorteile

Open Source (LibreOffice)
Einfache Programmierung von Makros
Einfache deskriptive Statistik

Vorteile für die Schule

Einfache Berechnungen
Erstellung von Wertetabellen und Diagrammen
Stochastische Experimente
Numerische Verfahren

Implementation der Migranten 2018 & 2020 in Excel

Einwohnerzahl der Herkunftsländer und Migrantenzahl in Deutschland bekannt
Migrantenzahl in Rheinland-Pfalz soll bestimmt werden
(D2) Befehl für die Migranten aus Ägypten in RLP (2018): =RUNDEN(0,05*C2;0)
(F2) Befehl für die Migranten aus Ägypten in RLP (2020): =RUNDEN(0,05*E2;0)
alle weiteren Länder analog
(D11), (F11) Summe der in Rheinland-Pfalz lebenden Migranten über den Befehl: =SUMME(D2:D9) bzw. =SUMME(F2:F9)

Implementation Anteile der Migranten in Excel

Anteil der 10- bis 14-Jährigen und 15- bis 19-Jährigen aus den Bevölkerungsdiagrammen der Länder entnommen
Anteil der 15-Jährigen aus dem Anteil der 15- bis 19-Jährigen bestimmt
(D2) 15-Jährige in Ägypten über den Befehl: =C2*0,2
(E2) Damit 10- bis 15-Jährige in Ägypten über den Befehl: =B2+D2
alle weiteren Länder analog
(E12) Arithmetischer Mittelwert über den Befehl: =MITTELWERT(E2:E9)

Anteil der 0- bis 4-Jährigen und 5- bis 9-Jährigen aus den Bevölkerungsdiagrammen der Länder entnommen
(C2) 4-Jährige in Ägypten über den Befehl: =B2*0,2
(E2) Damit 4- bis 9-Jährige in Ägypten über den Befehl: =C2+D2
Migrantenzahl in RLP (2020) aus vorherigen Berechnungen bekannt
(G2) Ägyptische Kinder zwischen 4 und 9 Jahren in RLP über den Befehl: =RUNDEN(E2*F2;0)
alle weiteren Länder analog
(G12) Summe aller migrierten 4- bis 9-Jährigen in RLP (2020) über den Befehl: =SUMME(G2:G9)

Anwendungen (Beispiele)

Numerische Verfahren, z.B. Newton Verfahren
Monte-Carlo Simulation
Mittelwert-, Varianzberechnung
Wenn-Abfrage
Zufallszahl
Matrizenrechnung

wxMaxima

Vorteile

Open Source
Benutzerfreundliche Oberfläche
Einfache Bedienung
Es gibt auch Maxima Web (und Maxima Konsole)

Allgemeines

Computer Algebra System
Eingabezeile gekennzeichnet durch %i(Nummer)
Ausgabe gekennzeichnet durch %o(Nummer)
Anweisungen mit Semikolon oder $-Zeichen abgeschlossen (wird selbstständig ergänzt)
Bestätigung der Eingabe mit Shift & Return
Dezimalzahlen mit Punkten statt mit Kommata eingeben