Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Modellierungszyklus 3

Ziele

• Vergleich der Rückenformen mehrerer Personen
• Stellen mit großen Abweichungen zwischen Personen identifizieren und mit Polster aussstatten
• Stellen mit geringen Abweichungen zwischen Personen identifizieren und mit möglichst wenig Polster ausstatten (Kraftübertragung ermöglichen)

Datenerhebung Rückenform

• Erhebung der Rückenform von vier Studierenden
• Versuchsaufbau:
  • Testpersonen steht mit ca. 20 bis 30 cm Entfernung vor einer Wand (Rücken zeigt zur Wand)
  • an der Wand: quadratisches Raster (5cm)
  • Position der Testperson: Wirbelsäule befindet sich vor einer senkrechten Linie
  • zweite Person misst Abstand von Rücken zur Wand an den Gitterpunkten des Rasters
  • Beginn der Messungen: Schulterhöhe (Beginns der Brustwirbelsäule)
  • Ende der Messungen: auf Höhe des Beckenknochens

Versuchsaufbau Datenerhebung

Bearbeitung der Daten

• Daten beschreiben ein Negativ des tatsächlichen Rückens (Abstand Rücken - Wand)
• gesucht: "Positiv-Werte", dazu "Umkehrung" der Messwerte
• Methode: Bildung der Differenz zwischen einer gedachten senkrechten Ebene und dem Negativ-Rücken
• Folge: Rücken befindet sich auf einer gewissen Höhe (wird im Kapitel "Vergleich der Rückenformen" relevant)

Messwerte ("Positiv-Werte")

Beschreibung des Rückens durch dreidimensionale Funktionen

Beispiel: 10cm-Raster

• Gesamtfläche: 20 cm x 40 cm
• Messwerte:

${\begin{pmatrix}9&11&9\\11&10&11\\8&7&8\\4&6&4\\7&7&7\end{pmatrix}}$

Abbildung: 10er-Raster

Einteilung der Rückenfläche

• acht Quadrate (Seitenlänge 10 cm)
• jedes Quadrat entlang einer Diagonalen in zwei Dreiecke geteilt (ergibt 16 Dreiecke)
• Hintergrund:
  • drei Punkte im Raum spannen genau eine Ebene auf
  • vier Punkte im Raum liegen ggfs. nicht in einer Ebene

Einteilung der Dreiecke

• Quadrat kann entlang seiner zwei Diagonalen geteilt werden
• verschiedene Anordnungen der Dreiecke möglich (siehe "Bewertung, Modellierungsalternativen und Optimierung")
• Beispielrechnung zeigt Vorgehensweise für beide Diagonalen
• Ursprung des Koordinatensystems links unten

Einteilung Quadrat 1

• Quadrat 1: $[0,10]\times [0,10]$
  • Diagonale $d_{1}:y=-x+10$
  • Dreieck 1 (unten): ${\begin{array}{ccc}D_{1}&=&\{(x,y)^{T}|(x,y)\in [0,10]\times [0,10]\land y\leq -x+10\}\\&=&\{(x,y)^{T}|(x,y)\in [0,10]\times [0,10]\land x+y\leq 10\}\end{array}}$
  • Dreieck 2 (oben): ${\begin{array}{ccc}D_{2}&=&\{(x,y)^{T}|(x,y)\in [0,10]\times [0,10]\land y\geq -x+10\}\\&=&\{(x,y)^{T}|(x,y)\in [0,10]\times [0,10]\land x+y\geq 10\}\\\end{array}}$

Einteilung Quadrat 2

• Quadrat 2: $[10,20]\times [0,10]$
  • Diagonale $d_{2}:y=x-10$
  • Dreieck 3 (unten): ${\begin{array}{ccc}D_{3}&=&\{(x,y)^{T}|(x,y)\in [10,20]\times [0,10]\land y\leq x-10\}\\&=&\{(x,y)^{T}|(x,y)\in [10,20]\times [0,10]\land y-x\leq -10\}\\\end{array}}$
  • Dreieck 4 (oben): ${\begin{array}{ccc}D_{4}&=&\{(x,y)^{T}|(x,y)\in [10,20]\times [0,10]\land y\geq x-10\}\\&=&\{(x,y)^{T}|(x,y)\in [10,20]\times [0,10]\land y-x\geq -10\}\\\end{array}}$

Abbildung: Position der Dreiecke

Abbildung Dreieck 1

Berechnung Dreieck 1 Teil 1

• Stützpunkt $P_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
• Darstellung von Punkten in Dreieck 1: ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix}}$
  • dabei: $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2}$ im Intervall $[0,1]$, falls ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in D_{1}$
  • Auflösen ergibt: ${\begin{Bmatrix}\lambda _{1}={\frac {x}{10}}\\\lambda _{2}={\frac {y}{10}}\end{Bmatrix}}$

Berechnung Dreieck 1 Teil 2

• gesuchte Funktion: $f_{1}((x,y)^{T})$ (kurz: $f_{1}(x,y)$)
• benötigte Werte:
  • Höhe des Stützpunkts $P_{1}$: $7$
  • Höhendifferenz in x-Richtung: $0$
  • Höhendifferenz in y-Richtung: $-3$

Berechnung Dreieck 1 Teil 3

• Funktionsvorschrift: $f_{1}(x,y)=7+\lambda _{1}\cdot 0+\lambda _{2}\cdot (-3)=7+{\frac {x}{10}}\cdot 0+{\frac {y}{10}}\cdot (-3)=7-{\frac {3y}{10}}$
• Funktion: $f_{1}(x,y)=7-{\frac {3y}{10}}$, falls $0\leq x\leq 10\land 0\leq y\leq 10\land x+y\leq 10$.

Abbildung Dreieck 2

Berechnung Dreieck 2 Teil 1

• Stützpunkt $P_{2}={\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}}$
• Darstellung von Punkten in Dreieck 2: ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}}+\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}-10\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-10\end{pmatrix}}$
• Auflösen ergibt: ${\begin{Bmatrix}\lambda _{1}=1-{\frac {x}{10}}\\\lambda _{2}=1-{\frac {y}{10}}\end{Bmatrix}}$.

Berechnung Dreieck 2 Teil 2

• Höhe des Stützpunkts $P_{2}$: $6$
• Höhendifferenz in x-Richtung: $-2$
• Höhendifferenz in y-Richtung: $1$

Berechnung Dreieck 2 Teil 3

• Funktionsvorschrift: ${\begin{array}{ccl}f_{2}(x,y)&=&6+\lambda _{1}\cdot (-2)+\lambda _{2}\cdot 1\\&=&6+(1-{\frac {x}{10}})\cdot (-2)+(1-{\frac {y}{10}})\cdot 1\\&=&5+{\frac {2x-y}{10}}\end{array}}$
• Funktion: $f_{2}(x,y)=5+{\frac {2x-y}{10}}$, falls $0\leq x\leq 10\land 0\leq y\leq 10\land x+y\geq 10$

Abbildung Dreieck 3

Berechnung Dreieck 3 Teil 1

• Stützpunkt: $P_{3}={\begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}}$
• Darstellung von Punkten in Dreieck 3: ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}-10\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix}}$
• Auflösen ergibt: ${\begin{Bmatrix}\lambda _{1}=2+{\frac {x}{10}}\\\lambda _{2}={\frac {y}{10}}\end{Bmatrix}}$

Berechnung Dreieck 3 Teil 2

• Höhe des Stützpunkts $P_{3}$: $7$
• Höhendifferenz in x-Richtung: $0$
• Höhendifferenz in y-Richtung: $-3$

Berechnung Dreieck 3 Teil 3

• Funktionsvorschrift: $f_{3}(x,y)=7+\lambda _{1}\cdot 0+\lambda _{2}\cdot (-3)=7+(2+{\frac {x}{10}})\cdot 0+{\frac {y}{10}}\cdot (-3)=7-{\frac {3y}{10}}$
• Funktion: $f_{3}(x,y)=7-{\frac {3y}{10}}$, falls $10\leq x\leq 20\land 0\leq y\leq 10\land y-x\leq -10$

Abbildung Dreieck 4

Berechnung Dreieck 4 Teil 1

• Stützpunkt: $P_{4}={\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}}$
• Darstellung von Punkten in Dreieck 4: ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}}+\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-10\end{pmatrix}}$
• Auflösen ergibt: ${\begin{Bmatrix}\lambda _{1}={\frac {x}{10}}-1\\\lambda _{2}=1-{\frac {y}{10}}\end{Bmatrix}}$

Berechnung Dreieck 4 Teil 2

• Höhe des Stützpunkts $P_{4}$: $6$
• Höhendifferenz in x-Richtung: $-2$
• Höhendifferenz in y-Richtung: $1$

Berechnung Dreieck 4 Teil 3

• Funktionsvorschrift: ${\begin{array}{ccl}f_{4}(x,y)&=&6+\lambda _{1}\cdot (-2)+\lambda _{2}\cdot 1\\&=&6+({\frac {x}{10}}-1)\cdot (-2)+(1-{\frac {y}{10}})\cdot 1\\&=&9-{\frac {2x+y}{10}}\end{array}}$
• Funktion: $f_{4}(x,y)=9-{\frac {2x+y}{10}}$, falls $10\leq x\leq 20\land 0\leq y\leq 10\land y-x\geq -10$

Zwischenfazit

Visualisierung Dreiecke 1 bis 4

Bestimmung der Funktionen mit wxMaxima

Beschreibung der Datei Teil 1

• Funktionsweise der Datei:
  • Eingabe der Messwerte (Matrix mit "Positiv-Werten", Zeilen absteigend eingeben wegen Ursprung an der rechten unteren Ecke des Rückens)
  • Ausgabe der Funktionsvorschriften

Beschreibung der Datei Teil 2

• Verwendung des "block"-Befehls zur Zusammenfassung von Befehlen (Name: "Höhe(A)")
• allgemeine Berechnungen:
  • Definition der lokalen Variablen
  • Bestimmung der Abmessungen der eingegebenen Matrix (Zeilen- und Spaltenanzahl)
  • Berechnung der Anzahl der Dreiecke in x- und y-Richtung (jeweils eines weniger als die Anzahl der Messwerte)
  • Definition der Schrittweite / Intervalllänge der Messungen ("s")

Beschreibung der Datei Teil 3

• vier ähnliche Abschnitte für Arten der Ausrichtung der Dreiecke (vgl. Dreieck 1 bis 4 im Beispiel)
  • Rückenfläche parallel zur y-Achse in zwei Teile geteilt ("linke Hälfte" und "rechte Hälfte")
  • linke Hälfte wie Quadrat 1 (Diagonale von oben links nach unten rechts)
  • rechte Hälfte wie Quadrat 2 (Diagonale von unten links nach oben rechts)

Beschreibung der Datei Teil 4

• Aufbau eines solchen Abschnitt:
  • Überschrift (wird bei der Ausführung der Datei ausgegeben, mit "print")
  • zwei ineinander verschachtelte for-Schleifen für die Dreiecke in x- bzw. y-Richtung
    • äußere for-Schleife (y-Richtung): über die gesamte Länge des Rechtecks
    • innere for-Schleife (x-Richtung): über die halbe Breite (rechts bzw. links)

Beschreibung der Datei Teil 5

• innerhalb der Schleifen:
  • Definition des Stützpunkts ${\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$
  • Beschreibung eines beliebigen Punktes ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ im Dreieck durch ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}+\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}\pm 10\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}0\\\pm 10\end{pmatrix}}$
  • Auflösen des LGS nach $\lambda _{1}=:l_{1}$ und $\lambda _{2}=:l_{2}$

Beschreibung der Datei Teil 6

• Aufstellen der Gleichung aus ...
  • den Termen für $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2}$,
  • den in der Matrix A stehenden Werten für die Rückenhöhe und
  • den jeweils passenden Vektoren ${\begin{pmatrix}\pm 10\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\\pm 10\end{pmatrix}}$

Beschreibung der Datei Teil 7

• Zugreifen auf die korrekten Werte aus A erfordert Zugreifen auf Einträge der transponierten Matrix $A^{T}$
• Ausgabe über "print"-Befehl:
  • Definitionsbereich
  • Funktionsvorschrift (Lösung der Gleichung aus dem vorherigen Schritt)

Beschreibung der Datei Teil 8

• insgesamt: Datei gibt Funktion für alle Dreiecke aus
• Ausgabe sortiert nach
  • "links, untere Dreiecke"
  • "links, obere Dreiecke"
  • "rechts, untere Dreiecke"
  • "rechts, obere Dreiecke"

Beschreibung der Datei Teil 9

• Form der Ausgabe für Eingabe in GeoGebra optimiert
• Erklärung des Quellcodes durch Kommentare (/* ... */), die bei Ausführung unbeachtet bleiben

Abbildung der Datei (Ausschnitt)

Quellcode

Ausgabe der Datei (Beispielrechnung)

Ausgabe der Datei (Vergleich mit Beispielrechnung)

Visualisierung der Funktionen in GeoGebra 3D

Bewertung, Modellierungsalternativen und Optimierung

• Festlegung:
  • Teilung des Rückens entlang einer vertikal verlaufenden Mittellinie in zwei Hälften
  • links: Diagonale von oben links nach unten rechts
  • rechts: Diagonale von unten links nach oben rechts
• Konsequenz: V-Form
  • plausibel für Beschreibung des menschlichen Rückens (Wirbelsäule teilt Rücken in zwei Hälften)
  • Vorteil: Höhenunterschiede im Bereich der Wirbelsäule und Symmetrien zwischen den Rückenhälften erkennbar

Modellierungsalternativen Teil 1

• Alternativen zur V-Form:
  • Streifen-Muster (durch parallele Diagonalen erzeugt)
  • Rauten-Muster (durch Vertauschung der Diagonalen in jeder zweiten Reihe)

Modellierungsalternativen Teil 2

Abbildung: Raster beim Streifen- und Rautenmuster

Bewertung der Modellierungsalternativen

• Rauten-Muster:
  • Vorteil: einzelne Erhebungen oder Senken am Rücken gut sichtbar
  • Nachteil: bei Umsetzung in wxMaxima doppelte Anzahl der Fallunterscheidungen nötig
  • Nachteil: Verlauf der Rückenform wegen mehrfach wechselnder Richtung der Diagonalen evtl. nicht so gut erkennbar wie bei V-Form
• Streifen-Muster:
  • Nachteil: Symmetrie zwischen den beiden Rückenhälften nicht so gut erkennbar

Vergleich der Modellierungsalternativen (10er-Raster)

Optimierung der Datei (wxMaxima) Teil 1

• Ziel: möglichst einfache Eingabe (Matrix mit Messwerten)
• Folge: Intervalllänge zur Berechnung der Messpunkte muss an anderer Stelle festgelegt werden
• Alternative 1: alle Koordinaten der Messpunkte eingeben (nicht nur Höhe), Eingabe der Intervalllänge nicht nötig
• Nachteil: Eingabe-Matrix wird komplex
• Alternativ 2: Eingabe als Liste bestehend aus Messwerten und Intervalllänge
• Vorteil: Intervalllänge muss nicht manuell im Quellcode manuell verändert werden

Optimierung der Datei (wxMaxima) Teil 2

• Festlegung: Ursprung des Koordinatensystems an der rechten unteren Ecke des Rückens
• Folge: Zeilen müssen bei Eingabe der Matrix in absteigender Reihenfolge eingegeben werden
• Hintergrund:
  • über Variablen wird auf Einträge der Matrix zugegriffen
  • Variablen beginnen jeweils am Anfang der Abschnitte
• Nachteil: umgekehrte Eingabe der Werte ist fehleranfällig
• Alternative 1: Eingabe der Messwerte entsprechend der Messung, Umsortierung der Matrix innerhalb der Datei
• Alternative 2: Ursprung des Koordinatensystems an die obere rechte Ecke legen, Rücken in den for-Schleifen von oben nach unten durchlaufen

Optimierung der Datei (wxMaxima) Teil 3

• Ausgabe der Funktionen optimiert für Eingabe in GeoGebra
• erforderliche Schritte:
  • Funktionen in Textdokument kopieren
  • Anführungszeichen mit "Suchen und ersetzen" entfernen
  • Funktionen einzeln in GeoGebra-Datei kopieren
  • Alternative 1: Ausgabe einer abschnittsweise definierten Funktion für den gesamten Rücken
  • Vorteil: Funktion kann in einem Schritt z.B. in eine GeoGebra-Datei kopiert werden
  • dafür: Funktionen in for-Schleifen mit Indizes versehen, Ausgabe der Funktionen außerhalb der for-Schleifen

Optimierung der Datei (wxMaxima) Teil 4

• Während Programmierung der wxMaxima-Datei: Eingabe einer 9x15-Matrix (4er-Raster)
• Einteilung des Rückens in $8\cdot 14$ Quadrate, $8\cdot 14\cdot 2=224$ Dreiecke
• Berechnung der 224 Funktionen: mehrere Minuten lang, dabei mehrfach aufgehängt
• Übertragung der Funktionsvorschriften in z.B. eine GeoGebra-Datei sehr aufwändig (nicht vollständig durchgeführt)
• wxMaxima für Berechnungen in diesem Umfang evtl. nicht optimal geeignet
• Alternative: leistungsstärkere Programme zur Datenverarbeitung (z.B. Octave)

Abbildung 4er-Raster (Ausschnitt)

Abbildung der unteren 12 cm des 4er-Rasters aus GeoGebra

Darstellung der Rückenformen der Testpersonen

Messwerte der Testpersonen (5er-Raster, "Negativ-Werte")

Messwerte der Testpersonen (5er-Raster, "Positiv-Werte")

Messwerte der Testpersonen (5er-Raster, "Positiv-Werte", für wxMaxima angepasst)

Funktionen für Testperson 1

Visualisierung in GeoGebra (Testperson 1)

5er Raster des Rücken von Person 1 in GeoGebra

(andere Personen analog)

Darstellungsfehler in GeoGebra

• bei wachsender Anzahl der Funktionen: Anzeigeprobleme in GeoGebra
• Beispiel: unvollständige Darstellung der Flächen

Visualisierung in Octave

• Alternative zu GeoGebra: Visualisierung in Octave
• Befehl "mesh": Erstellung dreidimensionaler Profile
• Darstellung entsteht direkt aus der Matrix mit den Messwerten
• Vorteil: weniger Zeitaufwand
• Nachteil: Einteilung des Rückens in Dreiecke nicht erkennbar

Abbildung: Visualisierung in Octave (Testperson 1)

Vergleich der Rückenformen der Testpersonen

Vorgehensweise bei der Berechnung Teil 1

• Idee 1: Differenzfunktion der Rückenformen der Testpersonen berechnen, Maxima identifizieren, diese Stellen mit Polster ausfüllen
• im Verlauf der Modellierung: Verwerfung dieser Idee wegen hohem Rechenaufwand
  • Vergleich von jeweils zwei Personen führt zu hoher Anzahl von Funktionen
    • bei 4 Personen: 6 Funktionen (3+2+1)
    • bei n Personen: $\sum _{i=1}^{n-1}{i}={\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$ Funktionen
    • bei 10 Personen: 36 Funktionen
    • bei 20 Personen: 171 Funktionen

Vorgehensweise bei der Berechnung Teil 2

• Idee 2: Berechnung nur mit Matrizen der Messwerte
• Vorarbeit: Messwerte der Testpersonen auf ein einheitliches Niveau skalieren (Bezeichnung: $b_{k}$)
  • Ankerpunkt: mittlerer Messwert auf Höhe der Schultern
  • Vorgehensweise: Addition / Subtraktion der Messwerte von einer gedachten Ebene (absolute Höhe nicht relevant)
• Bildung von Mittelwerten der Testpersonen an jedem Messpunkt ergibt "Norm-Rückenform" / "Durchschnittsrücken" (Bezeichnung: $m$)
  • Berechnung in Octave

Vorgehensweise bei der Berechnung Teil 3

• Bildung der Differenzmatrizen $c_{k}$ ($m-b_{k}$)
• Übertragung der Werte aus Octave in eine Tabellenkalkulation (LibreOffice Calc) mit "odswrite('Wunschname.ods',zu exportierende Variable)"
• Tabellenkalkulation: Aufstellung von Regeln zur bedingten Formatierung abhängig von den Zellwerten
• Ziel: Stellen mit auffälligen Abweichungen identifizieren (mit Polster versehen)

Regeln zur bedingten Formatierung

Vorgehensweise bei der Berechnung Teil 4

• Annahmen bei der bedingten Formatierung:
  • weniger als 0,5 cm Abweichung: unproblematisch (grün)
  • Abweichung zwischen (einschließlich) 0,5 und (ausschließlich) 1: ggfs. relevant (gelb)
  • Abweichung von 1 oder mehr: relevant (rot (negativ) oder blau (positiv))

Vorgehensweise bei der Interpretation der Ergebnisse Teil 1

• positiver Wert in Differenzmatrix $c_{k}$: Rücken der Testperson niedriger als Durchschnittsrücken
• negativer Wert in Differenzmatrix $c_{k}$: Rücken der Testperson höher als Durchschnittsrücken
• Modellierung des Schulranzens wieder Durchschnittsrücken $m$ (Rückseite aus festem Material)
• Anpassungen an auffälligen Stellen

Vorgehensweise bei der Interpretation der Ergebnisse Teil 2

• positive Abweichungen: zusätzliches Polster
  • bei betroffenen Personen: Polster ausgedehnt
  • bei nicht betroffenen Personen: Polster zusammengedrückt
• negative Abweichungen: festes Material durch Polster ersetzen
  • bei betroffenen Personen: Erhebungen am Rücken fügen sich in Polster ein
  • bei nicht betroffenen Personen: Polster bleibt in der Form des Durchschnittsrückens
• positive und negative Abweichungen: beide Arten von Polster

Vorgehensweise bei der Interpretation der Ergebnisse Teil 3

• wichtig: genügend Stellen ohne Polster
• Hintergrund: wirkende Kräfte entlang des Rückens bestmöglich verteilen (nicht nur über Rucksackträger übertragen)
• nötig: Kompromiss finden zwischen ...
  • flexibler Anpassung an verschiedene Rückenformen
  • Stabilität und Formfestigkeit des Rucksacks für gute Kraftverteilung

Berechnungen mit den vorliegenden Messwerten Teil 1

• Matrizen $b_{1}$ bis $b_{4}$ (in der Höhe angepasst):

Berechnungen mit den vorliegenden Messwerten Teil 2

• Durchschnittsrücken $m$:

• klar: Vergleichspunkt hat Wert 5

Berechnungen mit den vorliegenden Messwerten Teil 3

• Differenzmatrizen $c_{k}=m-b_{k}$:

• klar: Vergleichspunkt hat überall Wert 5

Berechnungen mit den vorliegenden Messwerten Teil 4

• Ansicht mit bedingter Formatierung (LibreOffice Calc):

Formatierte Matrizen in Calc

Interpretation der Ergebnisse Teil 1

• Person 1: viele negative Abweichungen (Rücken an vielen Stellen höher als der Durchschnittsrücken)
  • Folgerung: Rückenfläche großflächig aus Polster herstellen
• Personen 2-4: vereinzelte positive Abweichungen an den Rändern (Rücken niedriger als der Durchschnittsrücken)
  • Folgerung: an den Rändern zusätzliches Polster anbringen

Interpretation der Ergebnisse Teil 2

• Problem: zur Kraftübertragung sollten einige Stellen von Polster freigehalten werden
• weitere Untersuchungen nötig: Welche Stellen sind hierfür am besten geeignet?

Interpretation der Ergebnisse: weitere Auffälligkeiten

• nur Person 1: großflächig negative Abweichungen (bei Person 2-4: unter 1 cm)
  • Erklärung: Messfehler? Auffällige Rückenform (z.B. Rundrücken / Buckel)?
• Person 2-4: positive Abweichungen im oberen Bereich an den Rändern der Rücken
  • Erklärung: eher schmaler Brustkorb?
• Person 2 und 3: direkt nebeneinander Abweichungen in beide Richtungen (rechts)
  • Erklärung: unterschiedliche Schulterformen und -breiten?

Bewertung und Optimierung

• Ergebnisse nur bedingt aussagekräftig, weil...

Stichprobengröße sehr gering

• Stichprobengröße: n=4 (Ergebnisse nicht repräsentativ)
  • nötig: größere Stichprobe untersuchen
  • Vorteil: auffällige Stellen können besser identifiziert werden

Datenerhebung fehleranfällig

• Messungenauigkeiten nicht auszuschließen
  • Ausmessung der Rückenform mithilfe eines Maßbands
  • mehrere Minuten bewegungslos auf der Stelle stehen
• nötig: genauere Methoden zur Datenerhebung suchen
  • Idee: Verwendung von Laser-Abstandsmessgeräten (genauer und schneller)

Durchschnittsrücken aus Messwerten der Testpersonen bestimmt

• Folge: Rückenformen der Testpersonen weichen vermutlich weniger vom Durchschnittsrücken ab als in der Realität
• Möglichkeiten:
  • rechnerischer Ausgleich (z.B. korrigierte Stichprobenvarianz)
  • Rückenformen von zwei Gruppen erheben (eine Gruppe für Durchschnittsrücken, andere Gruppe für Vergleich)

Datenerhebung bei Erwachsenen

• eigentliche Zielgruppe der Modellierung: Jugendliche (12 bis 16 Jahre)
• nötig: Testpersonen im Alter der Zielgruppe untersuchen (Vorgehensweise übertragbar)

Graphische Auswertung der Matrizen

• bei kleiner Stichprobenzahl: gut umsetzbar
• bei großer Anzahl an Testpersonen: sehr unübersichtlich, Interpretation ungenau
• nötig: Methoden für einfacheren Vergleich der Matrizen suchen (z.B. Streuung berechnen)

Weitere Anmerkungen

• Annahme der Symmetrie des Rückens ist zu überprüfen
  • Frage: Zeigt die Stichprobe einheitliche Asymmetrien?
  • Frage: Ist eine symmetrische Modellierung eines Rucksacks sinnvoll / angebracht?
• gemeinsame Interpretation der Daten von männlichen und weiblichen Testpersonen
  • Realität: unterschiedliche Körpergrößen, Rückenlängen und Schulterbreiten zwischen Mädchen und Jungen in der Pubertät
  • Frage: Sind getrennte Rucksäcke für Mädchen und Jungen sinnvoller als ein Rucksack für alle Geschlechter?

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