Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Theoretische Grundlagen für Zyklus 1

Quelle

Physik-Lehrbuch von Tipler et al. von 2015, S.296-300

Hebel und Drehmoment

• Hebel: starrer Körper, der sich um einen Drehpunkt bewegt
• bei Ausübung von Kraft auf Hebel: Drehmoment wirkt auf Drehpunkt
• Drehmoment: physikalische Größe, die die Drehwirkung von Kräften auf einen Körper beschreibt
  • abhängig von Länge des Hebels und Betrag der Kraft, die auf den Hebel wirkt
  • Drehmoment ${\vec {M}}$: Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, die durch die Vektoren ${\vec {r}}$ (Radiusvektor) und ${\vec {F}}$ (Kraftvektor) aufgespannt wird
  • Formel: ${\vec {M}}={\vec {F}}\times {\vec {r}}$

Betrag des Drehmoments

• Betrag des Drehmoments in Nm (Newtonmeter)
• Berechnung Drehmoment: $a\cdot F=r\cdot F\cdot \sin(\varphi )$
  • Berechnung des Hebelarms (Abstand von Drehpunkt zur Kraft) $a$ über trigonometrische Beziehung im rechtwinkligen Dreieck $\sin(\alpha )={\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse}}$: $a=r\cdot \sin(\varphi )$
  • dabei: $\varphi$ ist der Winkel zwischen Radius (Hebel) und Kraft
  • $F$ ist Betrag der Kraft ${\vec {F}}$

Abbildung

Drehmoment (allgemein)

Besonderheit bei der Berechnung

• falls $\varphi >90^{\circ }$: Verwendung des Nebenwinkels $\varphi '=180^{\circ }-\varphi$ zur Berechnung des Hebelarms
  • wegen Symmetrie der Sinus-Funktion: $\sin(180^{\circ }-\varphi )=\sin(\varphi )$
  • also: $M=r\cdot F\cdot \sin(\varphi )$ ohne Beachtung der Größe von $\varphi$ verwendbar

Anwendung in der Modellierung des Schulranzens

• Hebel: Boden des Schulranzens
• Radius größer, je weiter der Rucksack vom Rücken absteht
• Kraft, die auf den Hebel wirkt: Gewichtskraft $F_{G}$
  • wird durch Masse des Körpers (Schulranzen) $m$ und Erdbeschleunigung $g$ erzeugt
  • Berechnung: $F_{G}=m\cdot g$
  • Annahme: Gewichtskraft $F_{G}$ wirkt senkrecht auf den Boden des Rucksacks
  • $\varphi =90^{\circ }$
  • $\sin(90^{\circ })=1$
  • Berechnung des Drehmoments in diesem Fall: $M=r\cdot F_{G}$

Abbildung

Skizze: Schulranzen mit angreifender Kraft (Seitenansicht)

Einteilung des Rucksacks in Abschnitte

• Ziel: Positionierung der Gegenstände im Rucksack in die Berechnung einfließen lassen
• Vorgehensweise: Rucksack in Abschnitte unterteilen, Teil-Drehmomente $M_{k}$ berechnen
• Gesamt-Drehmoment $M$ ist Summe der Teil-Drehmomente $M_{k}$

Berechnung des Drehmoments:

• ${\begin{array}{ccc}M&=&M_{1}+M_{2}+...+M_{n}=\sum _{k=1}^{n}M_{k}\\&=&\sum _{k=1}^{n}r_{k}\cdot (F_{G})_{k}\\&=&\sum _{k=1}^{n}r_{k}\cdot m_{k}\cdot g\\\end{array}}$

• Massen der Gegenstände im Rucksack werden mit dem jeweiligen Radius multipliziert, daher Drehmoment umso größer, je weiter die größeren Massen vom Rücken (Drehpunkt) entfernt sind

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