Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester/Stadtklima hinsichtlich des Klimawandels

Klimatisieren von Städten

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Anmerkungen und Hilfestellungen (AH)

• Das Portfolio darf auf vergangener Bearbeitung aus WS 2020/21 aufbauen

[Klimawandel]

• Räumliche Wärmeverbreitung als Diffusionsprozess (hier betrachte u(x,y,t) als Temperatur): Räumliche Diffusion mit finiten Differenzen
• siehe auch Diffusion

Gruppenteilnehmer

1. Julian Adam
2. Lenny Dörr
3. Julius Stutzenberger
4. Jakob Wawersich

Motivation des Themas

Städte und ländliche Regionen unterscheiden sich hinsichtlich ihres Klimas zum Teil sehr stark. In Städten ist es zumeist wärmer, trockener und windstiller. Seit 1937 ist schon bekannt, dass das Klima in Städten sich von dem Klima des Umlandes unterscheiden kann , weswegen man auch von dem sogenannten Stadtklima spricht. Gerade in Zeiten des Klimawandels gewinnt das Thema an Bedeutung. Voraussichtlich wird die Bevölkerung in den kommenden Jahren noch wachsen und insbesondere die Städte sind besonders davon betroffen. Diese kühlen sich im Vergleich zu ländlichen Regionen langsamer ab. Außerdem hat sich die Höchsttemperatur von Metropolen von 1986 bis 2015 um fast bis zu einem Grad erhöht und aller Wahrscheinlichkeit nach wird sich dieser Trend auch in den nächsten Jahren fortsetzen.

Um dieser Entwicklung des Klimas in Städten entgegenzuwirken, gibt es mehrere Maßnahmen, die eingesetzt werden können, um Städte auch zukünftig auf möglichst ressourcenschonende Art kühl zu halten . Hierzu zählen:

1. Begrünung der Stadt in Form von Bäumen
2. Bepflanzung der Häuserdächer
3. Flüsse als natürlicher Weg der Wärmeaufnahme 

In dem kommenden Modellierung-Prozess wird sich auf inhaltlich verschieden Niveaus mit den ersten beiden obigen Maßnahmen beschäftigt.

Ziel der Modellierung

Das Ziel dieses Modellierungsprozesses ist es den Einfluss fünf verschiedener Objekte (Baum, Fluss, Straße, Hausdach begrünt und Hausdach Bitumen) auf die Temperatur in ihrem unmittelbaren Umgebung und den dortigen Wärmeaustausch zu untersuchen. Dabei wird sowohl die Temperaturdifferenz, als auch die Abkühlung beziehungsweise Erwärmung in Abhängigkeit zum Abstand betrachtet.

Im ersten Zyklus wird in GeoGebra ein linearer Zusammenhang zwischen Temperatur und Objektabstand modelliert. Daraufhin folgt im zweiten Zyklus eine Verbesserung durch Interpolation mehrere Datenpunkte mithilfe von Maxima, um eine adäquatere Funktion zu erhalten. Unser finaler Zyklus enthält die modellhafte Darstellung des Wärmetransports in Comsol. Dafür werden Daten in Comsol implementiert und anschließend vom Programm selber modelliert. Dabei werden in allen Zyklen Annahmen getroffen, die die Objekte und Sachverhalte vereinfacht darstellen.

Nachhaltigkeitsziele

SDG 3: Gesundheit und Wohlergehen

Die steigende Temperatur in Städten sind ein immer größer werdendes Problem für die Gesundheit und das Wohlergehen der Menschen. Die Hitzebelastung beansprucht den menschlichen Organismus sehr, was zu Problemen bei dem Herz-Kreislaufsystem führen kann. Des Weiteren können langanhaltende Hitzeperioden zu einem Hitzeschlag führen. Außerdem bewirkt eine schlechtere Luftqualität Atemproblemen bei Menschen. Der Erhitzung von Städten kann entgegengewirkt werden, indem verschiedene Maßnahmen zur Regulierung der Temperatur entwickelt und umgesetzt werden, welche bestimmte Gebiete kühlen. Die verschiedenen Möglichkeiten zur Klimatisierung sind dabei auch in anderer Hinsicht für die Gesundheit förderlich. So Klimatisieren die natürlichen Maßnahmen nicht nur, sondern liefern zusätzlich Sauerstoff, geben Tieren ein Zuhause und stärken die seelische Gesundheit und das Wohlergehen der Menschen.

SDG 11: Nachhaltige Städte und Gemeinden

Bei der Betrachtung des Stadtklimas hinsichtlich des Klimawandels hat die Nachhaltigkeit eine wichtige Rolle. Um dieses Ziel zu erreichen, ist es nötig, dass auch die Maßnahmen, welche die Städte klimatisieren sollen, nachhaltig sind. In dieser Modellierung ist uns daher wichtig, dass wir mit in der Natur bereits vorliegende Materialien, wie Bäume, Flüsse und Begrünung von Dächern arbeiten, anstatt mit der Hilfe von Klimageräte oder ähnlichem. Diese Materialien können ohne große Probleme nachhaltig angepflanzt und bei Bedarf wieder nachhaltig entsorgt werden. Zusätzlich regulieren und heilen sich die Pflanzen selbst und müssen nicht wie die Klimageräte gewartet werden. Somit kann das Ziel von nachhaltigem Klima in Städten erreicht werden.

SDG 13: Maßnahmen zum Klimaschutz

Der Klimawandel betrifft bereits jedes Land der Erde und wirkt sich negativ auf das Leben jedes Einzelnen aus. Um den Klimawandel und seinen verheerenden Folgen entgegenzuwirken sind Maßnahmen vonnöten. Die nachhaltige Abkühlung, insbesondere von Städten, welche bekanntlich Hitzeinseln bilden, ist eine mögliche Vorgehensweise. Auch die Verwendung von nachhaltigen Methoden anstatt Herstellung zusätzlicher Produkte wie Klimageräte sind beim Klimaschutz ein wichtiger Punkt. Den neben der Herstellung ist auch das entsorgen von elektronischen Geräten schädlich.

Softwarenutzung

GeoGebra

Für den ersten Zyklus wurde GeoGebra als Programm der Wahl ausgesucht. GeoGebra bietet eine sehr gute Anschauung und eine recht leichte Anwendung auch aufgrund von Makros (Werkzeuge). Diese erleichtern die Arbeitsschritte. Außerdem gibt es die Möglichkeit, selber Werkzeuge anzulegen. Zuletzt hat es auch den Vorteil des Zugmodus, das für Schüler, sowohl eine Kontrolle als auch eine Möglichkeit zum Vergleich bietet.

Maxima

Maxima wurde für Zyklus 2 gewählt, um die linearen Gleichungssysteme zu lösen. Der Vorteil an dem Programm ist, dass es verhältnismäßig noch leicht verständlich ist und wenig bis keine Code-Erfahrung nötig ist. Außerdem hat es ein übersichtlicheres Interface als beispielsweise R Studio. Dies ist vor allem bei der Arbeit mit Schülern ein Vorteil.

COMSOL Multiphysics

Comsol Multiphysics war für das angestrebte Ziel am opportunsten. Es hat den Vorteil, dass physikalische Gegebenheiten und Wechselwirkungen in den Prozess miteinbezogen werden, was zu einer adäquateren Beschreibung der Realität führt. Außerdem sind fast alle Komponenten individuell modifizierbar, wodurch man das Modell bestmöglich auf die Situation anpassen kann. Des Weiteren wird auch ein bildliches Modell entwickelt, was die Anschauungsqualität erhöht.

Annahmen und Datenerhebung

Annahmen

Bevor die Modellierungszyklen entwickelt werden können, sind einige vereinfachende Annahmen zu treffen. So werden in allen Modellierungszyklen die Einflüsse auf die Temperatur, welche durch Menschen, Autos und sonstige infrastrukturelle Aspekte verursacht werden, vernachlässigt. Zudem wird auch sämtliche atmosphärische Zirkulation, insbesondere Winde innerhalb der Stadt vernachlässigt. Stattdessen gehen wir von einer homogenen Umgebungstemperatur von $25\;^{\circ }{\text{C}}$ aus. Die Objekte befinden sich in einem fiktiven Grundraum, welcher als abgeschlossenes System betrachtet wird, damit erfolgt kein Wärmeaustausch über die Grenzen hinaus.

Für die einzelnen zu untersuchenden Objekte wurden folgende Annahmen getroffen: 

Baum

• Die Baumkrone wird kugelförmig angenommen, woraus eine kreisförmige Querschnittfläche resultiert.
• Der Schattenwurf eines Baumes wird hier vernachlässigt, da die Kühlung durch Verdunstung deutlich stärker ist.
• Das Material in der Baumkrone wird als Luft angenommen, da innerhalb der Baumkrone größtenteils Luft vorliegt.

Fluss

• Der Fluss fließt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $v=5\;{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$.
• Der Flussquerschnitt hat die Form eines Halbkreises mit einem Radius von $r=3\;{\text{m}}$.
• Der Fluss transportiert durch seine Fließgeschwindigkeit genauso viel Wärme ab, wie er aufnimmt $\Rightarrow$ Der Fluss hat eine konstante Temperatur.

Straße

• Verkehr und Infrastruktur wird vernachlässigt.
• Da die Straße nicht immer die volle Sonneneinstrahlung abbekommt, hat sie eine niedrigere Temperatur als die Häuserdächer.
• Es werden homogene Materialeigenschaften von Asphalt angenommen.
• Material ist $\approx$ Beton.

Gründach

• Das Material auf dem begrünten Dach wird als Luft angenommen, da innerhalb der Begrünung größtenteils Luft vorliegt.
• Homogene Verteilung der gleichen Pflanzenart (Sedum) auf dem Dach.
• Die Sonneneinstrahlung auf dem Dach wird als homogen angenommen.

Bitumen Dach

• Es werden homogene Materialeigenschaften von Bitumen angenommen.
• Die Sonneneinstrahlung auf dem Dach wird als homogen angenommen.

Datenerhebung

Die Datenerhebung für die hier betrachteten Objekte erfolgte mit dem Programm Comsol MultiPhysics. Die hier erhalten Daten wurden anschließend genutzt um Zyklus I und Zyklus II zu realisieren.

Die genaue Erhebung der Daten ist im Modellierungszyklus 3 kleinschrittig dargestellt.

Modellierungszyklen

Modellierungszyklus 1 - Sek I

Ziel bzw. Vorgehensweise des Zyklus

In diesem Modellierungszyklus soll ein linearer Zusammenhang zwischen der Temperatur und dem Abstand zur Kühl- bzw. Wärmequelle modelliert werden. Hierfür bieten sich lineare Funktionen an, welche die allgemeine Form

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=mx+b$

haben. Der y-Achsenabschnitt $b$ dieser Funktionen stellt hierbei die Temperatur am Rand unserer Kühl- bzw. Wärmequelle dar. Um nun die Steigung $m$ unserer Funktionen zu bestimmen, entnehmen wir unseren Daten den Abstand $x_{1}$ von dem Rand der Kühl- bzw. Wärmequelle, bis zu dem Punkt, ab dem die Umgebungstemperatur wieder erreicht ist, also $f(x_{1})=25\;^{\circ }{\text{C}}$ und berechnen hieraus eine Änderungsrate.

$m:={\frac {f(x_{1})-b}{x_{1}-0}}$

Die Darstellung dieser Daten, der einzelnen Objekte, erfolgt dann in GeoGebra. Dabei beschreibt die vertikale Achse die Temperatur in °Celsius und die horizontale Achse den Abstand vom Rand des Objektes in Dezimeter. Die zwei bekannten Punkte $A(0|b)$ und $B(x_{1}|f(x_{1}))$ definieren eine eindeutige Lineare Funktion. Aus der Steigung dieser zwei Punkte lässt sich die linearen Funktion feststellen, welche das Verhältnis von Temperaturänderung pro Abstand für die gesuchte Funktion angibt. Anschaulich gesprochen verbinden wir unsere zwei Punkte im Raum durch eine Gerade. Sobald die lineare Funktion den Punkt $B$ erreicht, ist der Abstand so groß, dass die Umgebungstemperatur für diesen und jeden Punkt mit größerem Abstand konstant $25\;^{\circ }{\text{C}}$ ist. Aufgrund dessen verläuft in GeoGebra eine Halbgerade, welche von Punkt $B$ ausgeht, parallel zur horizontalen Achse, auf der Höhe der Umgebungstemperatur. Speziell haben die Funktionen also die Form:

$f:[0,x_{1}]\to \mathbb {R}$ mit $f(x)=mx+b$

Verwendete Daten

Die verwendeten Daten stammen zum Teil aus der Literatur und zum Teil aus den mit Comsol Multiphysics erstellen Modellen des 3. Zyklus. Es wird für den Zyklus 1 der Sekundarstufe I die Annahme getroffen, dass die Objekte eine homogene und über die Zeit konstante Temperatur haben. Die Werte dafür sind aus der Literatur entnommen. Aus Comsol wurde nach vollständigem Modellieren der einzelnen Objekte der vom Objekt nächstgelegenen Datenpunkt ausgewertet, bei dem keine Temperaturänderung zur Umgebungstemperatur mehr erkennbar ist. Die Daten sind in folgender Tabelle zusammengefasst:

Tabelle 1: Verwendet Daten für Zyklus 1

	Baum	Fluss	Straße	Haus (Bitumen)	Haus (Gründach)
Homogene Temperatur des Objektes $b$ in [°C]	23	22,5	52	90	30
Minimaler Abstand zur Umgebungstemperatur in [m]	0,945	1,4	1,44	2,353	1,625
Minimaler Abstand zur Umgebungstemperatur $x_{1}$in [dm]	9,45	14	14,4	23,53	16,25
Umgebungstemperatur $f(x_{1})$ in [°C]	25	25	25	25	25

Darstellung

Temperaturverlauf eines Baumes

Temperaturverlauf eines Baumes

Aus Tabelle 1 lassen sich $b_{B},x_{1,B},f(x_{1,B})$ ablesen. Für diese Werte gilt:

${\begin{array}{ccl}b_{B}&=&23\;^{\circ }{\text{C}}\\x_{1,B}&=&9,45\;{\text{dm}}\\f(x_{1,B})&=&25\;^{\circ }{\text{C}}\end{array}}$

Somit gilt für die Steigung $m_{B}$:

$m_{B}={\frac {f(x_{1,B})-b_{B}}{x_{1,B}}}=0,{\overline {211640}}\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\approx 0,212\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}$

Somit erhält man die Funktion:

$f_{B}:[0;9,45]\to \mathbb {R}$ mit $f_{B}(x)=0,212\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+23\;^{\circ }{\text{C}}$

Temperaturverlauf eines Flusses

Temperaturverlauf eines Flusses

Aus Tabelle 1 lassen sich $b_{F},x_{1,F},f(x_{1,F})$ ablesen. Für diese Werte gilt:

${\begin{array}{ccl}b_{F}&=&22,5\;^{\circ }{\text{C}}\\x_{1,F}&=&14\;{\text{dm}}\\f(x_{1,F})&=&25\;^{\circ }{\text{C}}\end{array}}$

Somit gilt für die Steigung $m_{F}$:

$m_{F}={\frac {f(x_{1,F})-b_{F}}{x_{1,F}}}=0,17{\overline {857142}}\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\approx 0,179\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}$

Somit erhält man die Funktion:

$f_{F}:[0;14]\to \mathbb {R}$ mit $f_{F}=0,179\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+22,5\;^{\circ }{\text{C}}$

Temperaturverlauf einer Straße

Temperaturverlauf einer Straße

Aus Tabelle 1 lassen sich $b_{S},x_{1,S},f(x_{1,S})$ ablesen. Für diese Werte gilt:

${\begin{array}{ccl}b_{S}&=&52\;^{\circ }{\text{C}}\\x_{1,S}&=&14,4\;{\text{dm}}\\f(x_{1,S})&=&25\;^{\circ }{\text{C}}\end{array}}$

Somit gilt für die Steigung $m_{S}$:

$m_{S}={\frac {f(x_{1,S})-b_{S}}{x_{1,S}}}=-1,875\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}$

Somit erhält man die Funktion:

$f_{S}:[0;14,4]\to \mathbb {R}$ mit $f_{S}(x)=-1,875\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+52\;^{\circ }{\text{C}}$

Temperaturverlauf eines Hauses mit Bitumendach

Temperaturverlauf eines Hauses mit Bitumendach

Aus Tabelle 1 lassen sich $b_{HB},x_{1,HB},f(x_{1,HB})$ ablesen. Für diese Werte gilt:

${\begin{array}{ccl}b_{HB}&=&90\;^{\circ }{\text{C}}\\x_{1,HB}&=&23,53\;{\text{dm}}\\f(x_{1,HB})&=&25\;^{\circ }{\text{C}}\end{array}}$

Somit gilt für die Steigung $m_{HB}$:

$m_{HB}={\frac {f(x_{1,HB})-b_{HB}}{x_{1,HB}}}=-2,7624309392\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\approx -2,762\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}$

Somit erhält man die Funktion:

$f_{HB}:[0;23,53]\to \mathbb {R}$ mit $f_{HB}(x)=-2,762\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+90\;^{\circ }{\text{C}}$

Temperaturverlauf eines Hauses mit Gründach

Temperaturverlauf eines Hauses mit Gründach

Aus Tabelle 1 lassen sich $b_{HG},x_{1,HG},f(x_{1,HG})$ ablesen. Für diese Werte gilt:

${\begin{array}{ccl}b_{HG}&=&30\;^{\circ }{\text{C}}\\x_{1,HG}&=&16,25\;{\text{dm}}\\f(x_{1,HG})&=&25\;^{\circ }{\text{C}}\end{array}}$

Somit gilt für die Steigung $m_{HG}$:

$m_{HG}={\frac {f(x_{1,HG})-b_{HG}}{x_{1,HG}}}=-0,{\overline {307692}}\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\approx -0,308\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}$

Somit erhält man die Funktion:

$f_{HG}:[0;16,25]\to \mathbb {R}$ mit $f_{HG}(x)=-0,308\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+30\;^{\circ }{\text{C}}$

Ergebnisse

Die in GeoGebra berechneten und dargestellten Funktionen sind in folgender Tabelle zusammengetragen.

Alle Objekte im Vergleich

Tabelle 2: Ergebnisse Zyklus 1

Objekt	Funktion $f(x)$
Baum	$f(x_{B})=0,212\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+23\;^{\circ }{\text{C}}$
Fluss	$f(x_{F})=0,179\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+22,5\;^{\circ }{\text{C}}$
Straße	$f(x_{S})=-1,875\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+52\;^{\circ }{\text{C}}$
Haus (Bitumen)	$f(x_{HB})=-2,762\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+90\;^{\circ }{\text{C}}$
Haus (Gründach)	$f(x_{HG})=-0,308\;{\frac {^{\circ }{\text{C}}}{\text{dm}}}\cdot x+30\;^{\circ }{\text{C}}$

Eine wichtige Anmerkung für die Interpretation der Daten ist, dass, entgegen der Intuition, negative Vorzeichen beziehungsweise Daten eine Erwärmung und positive Vorzeichen einen Kühleffekt beschreiben. Es ist zu erkennen, dass Häuser mit einem Bitumendach einen besonders hohen Einfluss auf die Umgebungstemperatur haben. Im Vergleich ist das Gründach zum Bitumendach um ca. 796,75% effizienter. Ein solches Ergebnis ließ sich erwarten, da Häuserdächer immer der vollen Sonneneinstrahlung ausgesetzt sind. Das Begrünen von Häuserdächern kann hier jedoch Abhilfe schaffen. Es ergibt sich zudem, dass die Kühlung eines einzelnen Baumes beziehungsweise eines Flusssegmentes deutlich geringere Wirkung aufzeigt als erwartet, jedoch ist auch deren Wirkung nicht zu vernachlässigen und könnte durch eine große Anzahl sowie durch die richtige Positionierung für eine nachhaltige Kühlung sorgen.

Bewertung

Die Temperatur Ab- beziehungsweise Zunahme vom Rand des Objektes verhält sich in der Realität nicht linear. Die Temperatur und der Abstand des Objektes sind nicht proportional zueinander. Um eine genauere Betrachtung zu ermöglichen, ist eine Interpolation von bekannten Daten möglich. Damit kann eine Funktion konstruiert werden, welche den tatsächlichen Verlauf genauer annähert und beschreibt. Zudem versagt die Annäherung durch lineare Funktionen ab dem Abstand $x_{1}$, ⁣ da ab diesem gilt:

$f(x_{1})>25\;^{\circ }{\text{C}}\quad \lor \quad f(x_{1})<25\;^{\circ }{\text{C}}$

und somit ab hier aus den Annahmen eine konstante Temperatur von $25\;^{\circ }{\text{C}}$ folgt. Behoben werden kann dies, indem man die Funktion $f$ abschnittsweise definiert. Jedoch sind solche Funktionen in der Sekundarstufe I nicht bekannt.

Modellierungszyklus 2 - Sek II

Ziel bzw. Vorgehensweise des Zyklus

In diesem Zyklus soll der Zusammenhang zwischen der Temperatur und dem Abstand zur Kühl- bzw. Wärmequelle verbessert werden. In Zyklus I wurde ein linearer Zusammenhang angenommen, dieser entspricht jedoch nicht der Realität. Um das Modell nun zu verbessern, werden mehrere Datenpunkte linear interpoliert. Das bedeutet, dass zwei benachbarte der $n$ Datenpunkten immer durch eine lineare Funktion "verbunden" werden.

Seine $P_{i}=(x_{i},y_{i})$ und $P_{i-1}=(x_{i-1},y_{i-1})$ zwei benachbarte Datenpunkte. Das diese durch dieselbe lineare Funktion verlaufen, müssen folgende Gleichungen erfüllt sein:

${\begin{array}{cccl}1.&y_{i}&=&mx_{i}+b\\2.&y_{i-1}&=&mx_{i-1}+b\end{array}}$

Hierbei handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem, welches sich unter anderem mit dem Gauß-Algorithmus lösen lässt. Die Lösung dieses Gleichungssystem sieht im Allgemeinen wie folgt aus:

${\begin{array}{cccl}m&=&{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}\\b&=&{\frac {x_{i}y_{i-1}-x_{i-1}y_{i}}{x_{i}-x_{i-1}}}\end{array}}$

Somit ergibt sich der Funktionsterm für die Datenpunkte $P_{i}=(x_{i},y_{i})$ und $P_{i-1}=(x_{i-1},y_{i-1})$ $i\in \{1,2,3,...,n\}$ wie folgt:

$g_{i}(x)={\frac {y_{i}-y_{i-y}}{x_{i}-x_{i-1}}}\cdot x+{\frac {x_{i}y_{i-1}-x_{i-1}y_{i}}{x_{i}-x_{i-1}}}$

Für eine lineare Funktion lässt sich dies noch per Hand rechnen, da aber zum Teil über 50 Datenpunkte existieren wird auf Maxima zurückgegriffen, welches uns die Funktionen $g_{i}(x)$ errechnet.

Vorteil einer solchen Interpolation ist, dass man für jeden beliebigen Abstand eine Temperatur angeben kann. Der Fokus dieses Zyklus liegt jedoch nicht auf dem funktionalen Zusammenhang, sondern vielmehr auf der grafischen Darstellung. Um die Funktion $g(x)$, welche eine zusammengesetzte Funktion aus den $g_{i}(x)$ ist, darzustellen, wird im folgenden Maxima genutzt.

Verwendete Daten

Die verwendeten Daten wurden aus den mit Comsol Multiphysics erstellten Modellen des 3. Zyklus exportiert. Die Tabellen stellen die Temperaturen in Abhängigkeit von dem Abstand zum Rand der Objekte auf einer Geraden senkrecht zu den Objekte da. Dabei wurde zur besseren Darstellung die Datenwerte auf die 3. Nachkommastelle gerundet, wobei in Maxima zur besseren Genauigkeit mit den nicht gerundeteten Daten gearbeitet wurde. Die Daten sind in folgenden Tabellen dargestellt:

Tabelle 3: Verwendete Daten für Zyklus 2 - Baum

Datenpunkt i	Abstand zum Rand $x_{i,B}$ in [dm]	Temperatur $y_{i,B}$ in [°C]
1	0	23,673
2	0,167	23,711
3	0,333	23,75
4	0,5	23,789
5	0,667	23,828
6	0,833	23,867
7	1	23,906
8	1,167	23,942
9	1,333	23,977
10	1,5	24,013
11	1,667	24,049
12	1,833	24,085
13	2	24,121
14	2,167	24,153
15	2,333	24,185
16	2,5	24,217
17	2,667	24,249
18	2,833	24,281
19	3	24,313
20	3,167	24,34
21	3,333	24,368
22	3,5	24,395
23	3,667	24,423
24	3,833	24,45
25	4	24,478
26	4,167	24,501
27	4,333	24,524
28	4,5	24,546
29	4,667	24,569
30	4,833	24,592
31	5	24,615
32	5,167	24,633
33	5,333	24,651
34	5,5	24,669
35	5,667	24,687
36	5,833	24,705
37	6	24,723
38	6,167	24,737
39	6,333	24,751
40	6,5	24,765
41	6,667	24,779
42	6,833	24,793
43	7	24,807
44	7,167	24,817
45	7,333	24,828
46	7,5	24,838
47	7,667	24,848
48	7,833	24,859
49	8	24,869
50	8,167	24,877
51	8,333	24,884
52	8,5	24,891
53	8,667	24,899
54	8,833	24,906
55	9	24,914
56	9,167	24,919
57	9,333	24,924
58	9,5	24,929

Tabelle 4: Verwendete Daten für Zyklus 2 - Fluss

Datenpunkt i	Abstand zum Rand $x_{i,F}$ in [dm]	Temperatur $y_{i,F}$ in [°C]
1	0	21,015
2	0,648	21,332
3	1,296	21,648
4	1,944	21,965
5	2,593	22,281
6	3,241	22,598
7	3,889	22,914
8	4,537	23,122
9	5,185	23,331
10	5,833	23,539
11	6,481	23,747
12	7,13	23,955
13	7,778	24,163
14	8,426	24,26
15	9,074	24,356
16	9,722	24,452
17	10,37	24,549
18	11,019	24,645
19	11,667	24,741
20	12,315	24,774
21	12,963	24,806
22	13,611	24,839
23	14,259	24,872
24	14,907	24,904

Tabelle 5: Verwendete Daten für Zyklus 2 - Straße

Datenpunkt i	Abstand zum Rand $x_{i,S}$ in [dm]	Temperatur $y_{i,S}$ in [°C]
1	0	53,003
2	0,833	50,029
3	1,667	47,055
4	2,5	44,08
5	3,333	41,106
6	4,167	38,132
7	5	35,158
8	5,833	33,81
9	6,667	32,462
10	7,5	31,114
11	8,333	29,766
12	9,167	28,418
13	10	27,07
14	10,833	26,769
15	11,667	26,469
16	12,5	26,168
17	13,333	25,868
18	14,167	25,567

Tabelle 6: Verwendete Daten für Zyklus 2 - Haus (Bitumen)

Datenpunkt i	Abstand zum Rand $x_{i,HB}$ in [dm]	Temperatur $y_{i,HB}$ in [°C]
1	0	89,938
2	0,980	83,859
3	1,961	77,781
4	2,941	71,702
5	3,922	65,624
6	4,902	59,546
7	5,882	53,467
8	6,863	50,012
9	7,843	46,556
10	8,824	43,101
11	9,804	39,645
12	10,784	36,19
13	11,765	32,735
14	12,745	31,673
15	13,725	30,611
16	14,706	29,55
17	15,686	28,488
18	16,667	27,426
19	17,647	26,365
20	18,627	26,168
21	19,608	25,972
22	20,588	25,775
23	21,569	25,578
24	22,549	25,382
25	23,529	25,185

Tabelle 7: Verwendete Daten für Zyklus 2 - Haus (Gründach)

Datenpunkt i	Abstand zum Rand $x_{i,HG}$ in [dm]	Temperatur $y_{i,HG}$ in [°C]
1	0	28,407
2	0,980	28,109
3	1,961	27,811
4	2,941	27,513
5	3,922	27,214
6	4,902	26,916
7	5,882	26,618
8	6,863	26,436
9	7,843	26,253
10	8,824	26,071
11	9,804	25,888
12	10,784	25,706
13	11,765	25,523
14	12,745	25,457
15	13,725	25,391
16	14,706	25,325
17	15,686	25,259
18	16,667	25,193

Darstellung

Temperaturverlauf einer Straße

Zu Beginn wurden unsere Datenpunkte in Maxima importiert:

Aus diesen Datenpunkten lässt sich mit der Bibliothek interpol eine lineare Funktion zwischen zwei benachbarten Datenpunkten erstellen. Dies wurde über den Befehl linearinterpol( ) umgesetzt.

Zuletzt wurde mithilfe der if-then-else-Befehlsstruktur unsere Abschnittsweiße definierte Funktion $g(x)$ realisiert.

Diese Funktion lässt sich nun durch wxplot2d([g(x)], ... ) grafisch darstellen.

Somit gilt für den Temperaturverlauf in Abhängigkeit vom Ort folgender Zusammenhang:

Temperaturverlauf einer Straße (linear interpoliert)

Temperaturverlauf eines Baumes

Das Vorgehen beim Baum ist analog zum Vorgehen bei der Straße. Durch das oben erläuterte Vorgehen erhält man folgenden Temperaturverlauf in Abhängigkeit vom Ort:

Temperaturverlauf eines Baumes (linear interpoliert)

Temperaturverlauf eines Flusses

Das Vorgehen beim Fluss ist analog zum Vorgehen bei der Straße. Durch das oben erläuterte Vorgehen erhält man folgenden Temperaturverlauf in Abhängigkeit vom Ort:

Temperaturverlauf eines Flusses (linear interpoliert)

Temperaturverlauf eines Hauses mit Bitumendach

Das Vorgehen beim Haus mit Bitumendach ist analog zum Vorgehen bei der Straße. Durch das oben erläuterte Vorgehen erhält man folgenden Temperaturverlauf in Abhängigkeit vom Ort:

Temperaturverlauf eines Hauses mit Bitumendach (linear interpoliert)

Temperaturverlauf eines Hauses mit Gründach

Das Vorgehen beim Haus mit Gründach ist analog zum Vorgehen bei der Straße. Durch das oben erläuterte Vorgehen erhält man folgenden Temperaturverlauf in Abhängigkeit vom Ort:

Temperaturverlauf eines Hauses mit Gründach (linear interpoliert)

Ergebnisse

Die mit Maxima interpolierten Funktionen sind in nachliegender Tabelle zum Vergleichen zusammengefasst:

Tabelle 9: Vergleich der Ergebnisse vom Baum

Zyklus 1	Zyklus 2

Tabelle 10: Vergleich der Ergebnisse vom Fluss

Zyklus 1	Zyklus 2

Tabelle 11: Vergleich der Ergebnisse vom Straße

Zyklus 1	Zyklus 2

Tabelle 12: Vergleich der Ergebnisse vom Haus mit Bitumendach

Zyklus 1	Zyklus 2

Tabelle 13: Vergleich der Ergebnisse vom Haus mit Gründach

Zyklus 1	Zyklus 2

Bewertung

Um die Annäherung aus Zyklus eins zu verbessern, wurde im zweiten Zyklus eine lineare Interpolation durchgeführt. Die darauf resultierende Funktion $g(x)$ ist auf gesamt $\mathbb {R}$ definiert, wodurch man für jeden beliebigen $x$-Wert eine Temperatur erhält.

Dennoch muss man anmerken, dass die Heranführung mit einem höheren Erkläraufwand verbunden ist und es nicht die anschaulichste Vorgehensweise ist. Eine naheliegendere Vorgehensweise ist es, zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten eine lineare Funktion zu suchen, die durch beide verläuft, aber auch nur in dem Bereich zwischen den zwei Punkten angewendet wird. In dem Fall werden die beiden Punkte als Teil der linearen Funktion angesehen, die jeweiligen x-Werte eingesetzt und mit den dazugehörigen y-Werten der Punkte gleichgesetzt und zuletzt nach m und b aufgelöst. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie anschaulicher und leichter verständlich ist. Auch spricht sie grundlegende und bekannte Handlungsweisen an. Aber bei der großen Menge an Daten ist das eine langwierige und aufwendige Vorgehensweise, da man für jedes Punkte-Paar eine separate Funktion aufstellen müsste.

Zuletzt gebe es noch die Möglichkeit der Interpolation durch Polynome. Dabei entstehen hochgradige Polynomfunktionen, in Abhängigkeit zur Anzahl der verwendeten Datenpunkte. Auch sie sorgen zwar im Vergleich zu Zyklus I zu einer Verbesserung, aber je hochgradiger die Polynome werden, desto mehr oszilliert der Graph beziehungsweise die Funktion. Deswegen wären Polynome niederen Grades besser, worunter aber die Genauigkeit leiden würde. Unabhängig davon, welches Vorgehen man wählt, die Ergebnisse sind weiterhin nur eine Annäherung an die Realität, da wir bei unserer Datenerhebung schon viele Annahmen getroffen haben und es viele weitere Einflussfaktoren gibt. Aufgrund der erschwerten Datensuche modellierten wir im 3. Zyklus unsere Daten selber mit dem Programm COMSOL Multiphysics, da dieses auch die Differenzialgleichung berücksichtigt.

Modellierungszyklus 3 - Universitätsniveau

Ziel bzw. Vorgehensweise des Zyklus

Auf Ratschlag der Lehrperson wurde in Modellierungzyklus 3 auf dem Niveau der Universität die Modellierung mit dem Programm COMSOL Multiphysics gestaltet. Es handelt sich dabei um ein Programm, welches zum Simulieren physikalischer Sachverhalte geeignet ist, welche durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Beispiele dafür sind:

• Laplace-Gleichung
• Diffusions Gleichung
• Wellengleichung

oder auch die Wärmegleichung für Fluiden, die für unsere Modellierung verwendet wurde. Das Ziel des 3. Zyklus ist es, den Wärmeaustausch von kühlenden und wärmenden Objekten in Städten mithilfe der Wärmeleitungsgleichung, einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, zu beschreiben. Dafür werden, unter Berücksichtigung verschiedenster Annahmen, alle einzelnen Objekte (Baum, Fluss, Straße und Hausdächer mit Bitumen und Begrünung) und in ein Simulationsgebiet im Comsol konstruiert und anschließend in einer Studie simuliert. Ebenfalls zielt dieser Zyklus darauf ab, Comsol Daten zu entnehmen und zu vereinfachen, so dass diese für die Zyklen 1 und 2 verwendet werden können.

Vorbereitung der Daten zur Modellierung

Für die Modellierung in Comsol wurde die Wärmstromdichte ${\dot {q}}$ oder die Wärmeleistung ${\dot {Q}}$, auch Wärmestrom genannt, der einzelnen Objekte benötigt. Die Wärmestromdichte ${\dot {q}}$ gibt den Wärmestrom pro Fläche $A$ an. Der Wärmestrom ist die in der Zeit $dt$ übertragene Wärme $dQ$.

Die Wärmeleistung ${\dot {Q}}$ ist gegeben durch folgende Gleichung:

${\dot {Q}}={\frac {dQ}{dt}}={\frac {m\cdot c\cdot \Delta T}{\Delta t}}={\dot {m}}\cdot c\cdot \Delta T$

Wobei gilt:

${\begin{array}{ccl}m&-&{\text{Masse}}\\c&-&{\text{spezifische Wärmekapazität}}\\{\dot {m}}&-&{\text{Massenstrom}}\\Q&-&{\text{Wärme}}\\T&-&{\text{Temperatur}}\\t&-&{\text{Zeit}}\end{array}}$

Für die Berechnung der Wärmestromdichte ${\dot {q}}$ bietet sich das Fourier'sches Gesetz an:

${\frac {1}{A}}{\frac {dQ}{dt}}={\dot {q}}=-\lambda {\frac {\Delta T}{L}}$.

Wobei gilt:

${\begin{array}{ccl}\lambda &-&{\text{Wärmeleitfähigkeit}}\\A&-&{\text{Kontaktfläche}}\\L&-&{\text{Abstand bzw. Dickes des Körpers}}\end{array}}$

Baum

Für einen einzelnen Baum ergibt sich eine Kühlleistung von 20 bis 30 Kilowatt. Hier wurde sich für den Mittelwert

${\dot {Q}}_{Baum}=-25\cdot 10^{3}\;{\text{W}}$

entschieden. Das Minus resultiert dabei aus dem kühlenden Effekt des Baumes, da dieser die Umgebung mit höherer Temperatur abkühlt. Aus der Literatur ergab sich, dass ein Baum die Luft in näherer Umgebung um $2\;^{\circ }{\text{C}}$ abkühlt.

Fluss

Für den Fluss erfolgte die Ermittlung der Wärneleistung durch Berechnung. Dazu wurde die Gleichung der Wärmeleistung wie folgt umgeformt:

${\begin{array}{ccl}&{\dot {Q}}&=&{\dot {m}}\cdot c\cdot \Delta T\\\Leftrightarrow &{\dot {Q}}&=&{\dot {V}}\cdot \rho \cdot c\cdot \Delta T\\\Leftrightarrow &{\dot {Q}}&=&v\cdot A_{F}\cdot \rho \cdot c\cdot \Delta T\end{array}}$

Wobei gilt:

${\begin{array}{ccl}{\dot {V}}&-&{\text{Volumenstrom}}\\\rho &-&{\text{Dichte}}\\v&-&{\text{Geschwindigkeit}}\\A_{F}&-&{\text{Querschnittsfläche des Flusses}}\end{array}}$

Bevor die Wärmeleistung des Flusses berechnet werden kann, ist der Flussquerschnitt zu ermitteln. Dafür wurde vorab die Annahme getroffen, dass es sich bei der Querschnittsform des Flusses und einem Halbkreis handelt. Für den Radius des Halbkreises wurde sich an der Queich in der Innenstadt von Landau in der Pfalz orientiert und einen Radius von $r=3\;{\text{m}}$ gewählt. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet $A_{K}=\pi \cdot r^{2}$. Damit ergibt sich für einen Halbkreis ein Flächeninhalt von $A_{HK}={\frac {1}{2}}\cdot \pi \cdot r^{2}$ und mit $r=3\;{\text{m}}$ hat man für den Fluss eine Querschnittsfläche von $A_{F}={\frac {1}{2}}\cdot \pi \cdot (3\;{m})^{2}=4,5\pi \;{m}^{2}$.

Nun kann mit der spezifischen Wärmekapazität von Wasser $c=4190\;{\frac {\text{J}}{{\text{g}}\cdot {\text{K}}}}$ , der Dichte von Wasser $\rho =997\;{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}$ , einer Temperaturdifferenz vom Fluss zur Umgebungstemperatur $\Delta T=-2,5\;^{\circ }{\text{C}}$ , der konstanten Flussgeschwindigkeit von $v=5\;{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$ und dem vorher berechneten Flussquerschnitt $A_{F}=4,5\pi \;{\text{m}}^{2}$ die Wärmeleistung berechnet werden:

${\dot {Q}}_{Fluss}=5\;{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\cdot 4,5\pi \;m^{2}\cdot 997\;{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}\cdot 4190\;{\frac {\text{J}}{\text{kg}}}\cdot {\text{K}}\cdot -2,5\;^{\circ }{\text{C}}\thickapprox -7,3821\cdot 10^{8}\;{\text{W}}$

Straße

Für die Straße wurde das Fouriersche Gesetz genutzt, um es nach der Wärmeleistung umzuformen und dann anschließend diese zu berechnen.

${\begin{array}{cccl}&{\frac {1}{A}}{\frac {dQ}{dt}}&=&-\lambda {\frac {\Delta T}{L}}\\\Leftrightarrow &{\frac {dQ}{dt}}&=&-\lambda {\frac {\Delta T\cdot A}{L}}\\\Leftrightarrow &{\dot {Q}}&=&-\lambda {\frac {\Delta T\cdot A}{L}}\end{array}}$

Die Dicke der Asphaltschicht beträgt ungefähr $10\;{\text{cm}}$ bzw. $L=0,1\;{\text{m}}$. Als Modell haben wir eine $b=7\;{\text{m}}$ breite und $l=25\;{\text{m}}$ lange Straße gebaut. Damit ergibt sich ein Flächeninhalt für die Straße von $A=b\cdot l=7\;{\text{m}}\cdot 25\;{\text{m}}=175\;{\text{m}}^{2}$, was wiederum der Kontaktfläche im Fourier'schen Gesetz entspricht. Die Wärmeleitfähigkeit von Asphalt entspricht $\lambda _{A}=0,7\;{\frac {\text{W}}{{\text{m}}\cdot {\text{K}}}}$. Bei einer Umgebungstemperatur von $25\;^{\circ }{\text{C}}$ erhitzt sich Asphalt bis auf $52\;^{\circ }{\text{C}}$ , woraus eine Temperaturdifferenz von $\Delta T=25\;^{\circ }{\text{C}}-52\;^{\circ }{\text{C}}=-27\;^{\circ }{\text{C}}\;{\widehat {=}}-27\;{\text{K}}$ entsteht.

Setzt man die Daten in die Formel ein, erhält man folgenden Wärmestrom:

${\dot {Q}}_{Strasse}=-0,7\;{\frac {\text{W}}{{\text{m}}\cdot {\text{K}}}}{\frac {-27\;{\text{K}}\cdot 175\;{\text{m}}^{2}}{0,1\;{\text{m}}}}=33075\;{\text{W}}$

Gründach

Zur Berechnung der Wärmeleistung wurde die Formel ${\dot {Q}}=-\lambda {\frac {\Delta T\cdot A}{L}}$ herangezogen, welche bereits beim Fluss hergeleitet wurde. Für die Modellierung der Dächer wurden quadratische Häuser mit einer Kantenlänge von $a=10\;m$ und ebenso großen Dächern angenommen. Damit erhält man eine Oberfläche von $A=a\cdot a=10{\text{m}}\cdot 10\;{\text{m}}=100\;{\text{m}}^{2}$. Bei Dächern mit Begrünung liegt eine Temperatur von $30\;^{\circ }{\text{C}}$ vor, woraus eine Temperaturdifferenz zur Umgebungstemperatur von $\Delta T=25\;^{\circ }{\text{C}}-30\;^{\circ }{\text{C}}=-5\;^{\circ }{\text{C}}\;{\widehat {=}}-5\;{\text{K}}$ folgt. Nun kann mit der Wärmeleitfähigkeit von $\lambda _{GD}=0,022\;{\frac {W}{m\cdot {\text{K}}}}$ und der Höhe der Bepflanzungsfläche von $L=0,15\;m$ der Wärmestrom ermittelt werden.

${\dot {Q}}_{\text{Gründach}}=-0,022\;{\frac {\text{W}}{{\text{m}}\cdot {\text{K}}}}{\frac {-5\;{\text{K}}\cdot 100\;{\text{m}}^{2}}{0,15\;{\text{m}}}}=73,33\;{\text{W}}$

Zusätzlich liegt die spezifische Wärmekapazität von Pflanzenmaterial vor:

$c=1200\;{\frac {\text{J}}{{\text{kg}}\cdot {\text{K}}}}$

Bitumendach

Zur Berechnung der Wärmeleistung wurde die Formel ${\dot {Q}}=-\lambda {\frac {\Delta T\cdot A}{L}}$ herangezogen, welche bereits beim Fluss hergeleitet wurde. Dabei wurden die Daten entsprechend angepasst. Für die Modellierung der Dächer wurden quadratische Häuser mit einer Kantenlänge von $a=10\;m$ und ebenso großen Dächern angenommen. Damit erhält man eine Oberfläche von $A=a\cdot a=10\;{\text{m}}\cdot 10\;{\text{m}}=100\;{\text{m}}^{2}$. Die Wärmeleitfähigkeit von Bitumen beträgt $\lambda _{B}=0,16\;{\frac {\text{W}}{{\text{m}}\cdot {\text{K}}}}$ . Bitumendächer erhitzen sich bis zu $90\;^{\circ }{\text{C}}$ , was bei einer Umgebungstemperatur von $25\;^{\circ }{\text{C}}$ eine Temperaturdifferenz von $\Delta T=25\;^{\circ }{\text{C}}-90\;^{\circ }{\text{C}}=-65\;^{\circ }{\text{C}}\;{\widehat {=}}-65\;{\text{K}}$ ergibt. Des Weiteren wird Bitumen in einer ungefähr 2 mm dicken Schicht aufgetragen, was einer Dicke von $d=0,002\;{\text{m}}$ entspricht. Somit erhält man beim Einsetzen der für das Bitumendach angedachten Daten in die Gleichung das Ergebnis:

${\dot {Q}}_{Bitumendach}=-0,16\;{\frac {\text{W}}{{\text{m}}\cdot {\text{K}}}}{\frac {-65\;{\text{K}}\cdot 100\;{\text{m}}^{2}}{0,002\;{\text{m}}}}=520000\;{\text{W}}$

Weitere materialspezifische Daten von Bitumen sind:

• Dichte $\rho =1040\;{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}$
• spezifische Wärmekapazität $c=1700\;{\frac {\text{J}}{{\text{kg}}\cdot {\text{K}}}}$

Vorbereitung der Dateien zur Modellierung

Zur erfolgreichen Modellierung und Darstellung unserer Objekte müssen diese vorab im Programm COMSOL Multiphysics entwickelt werden. Dazu wurde jedes Objekt einzeln entwickelt, wobei bei der Vorgehensweise zur Erstellung selbstverständlich überwiegen Überschneidungen vorliegen. So wurde für alle Objekte zu Beginn den Modell-Assistenten ausgewählt. Dieser hat bei der Auswahl der gewünschten Physik eine bereits vorstrukturierte und passend ausgewählte Oberfläche mit den gewünschten Formeln vorbereitet. Bei der Raumdimension wurde sich für ein zweidimensionales Modell entschieden. Als physikalischen Kontext innerhalb des Wärmetransports wurde der Wärmetransport in Fluiden gewählt. Die Entscheidung entstand daraus, dass man darauf abzielt, hauptsächlich die Temperatur der umliegenden Luft der verschiedenen Objekte zu modellieren. Für das Modell ist es wichtig, eine zeitabhängige Studie zu wählen, denn das Ziel der Modellierung ist es, den Wärmeaustausch und damit verbundenen Temperaturverlauf nach einer bestimmten Zeit zu untersuchen. Daraus erfolgt die Vorlage für die Modellierung aller einzelnen Objekte.

Um die einzelnen Objekte im genauen zu modellieren, ist die Vorgehensweise immer gleich, nur die Daten unterscheiden sich. So sind für alle Objekte zuerst mithilfe der Geometrie eine Grundfläche modelliert worden. Diese Grundfläche soll die Umgebung der Objekte als abgeschlossenes System darstellen. Der Mittelpunkt der Fläche wird automatisch von Comsol in den Mittelpunkt des Koordinatensystems der Darstellung gesetzt. Für die Grundfläche wurde für jedes Objekt eine rechteckige Grundfläche gewählt, mit teilweise verschiedenen Kantenlängen. Dabei ist für die Grundfläche zu beachten, dass sie groß genug sein muss, damit ein realistischer Wärmeaustausch stattfinden kann, aber trotzdem klein genug, sodass der Umfang der Berechnung für Comsol nicht zu groß ist. Die Daten wurden dabei nach eigener Abschätzung ausgewählt und setzen sich wie folgt zusammen:

Tabelle 14: Abmessung der Grundfläche

	Baum	Fluss	Straße	Haus (Bitumen)	Haus (Gründach)
Länge der Grundfläche [m]	5	20	25	30	30
Breite der Grundfläche in [m]	5	20	25	30	30
Grundfläche in [$m^{2}$]	25	400	625	900	900

In die Grundflächen wurde dann jeweils zentriert die Geometrie der Objekte eingebaut, die ebenfalls ihren Mittelpunkt auf dem Ursprung des Koordinatensystems haben. Die Größen und Flächen der Objekte wurden bereits im Kapitel Vorbereitung der Daten zur Modellierung des 3. Zyklus erhoben. Sie sind in nachfolgender Tabelle zusammengetragen:

Tabelle 15: Abmessung der Objekte

	Baum	Fluss	Straße	Haus (Bitumen)	Haus (Gründach)
Länge der Fläche [m]	-	6	7	10	10
Breite der Fläche in [m]	-	20	25	10	10
Radius in [m]	1	-	-	-	-
Fläche in [$m^{2}$]	$\pi$	120	175	100	100

Sobald die Geometrie vervollständigt ist, können die Materialien, welche für die Modellierung der einzelnen Objekte nötig sind, in das Modell eingebaut werden. Benötigte Materialien für die einzelnen Modelle sind, neben der Luft, welche für alle Modelle gebraucht wird, das Wasser für das Modell des Flusses, Beton modifiziert durch die Eigenschaften von Asphalt für das Straßenmodell und Bitumen für das Bitumendach. Ebenfalls wurden in dem Abschnitt der Materialien gleich die passenden Gebiete ausgewählt, welche die Objekte darstellen sollen.

Wie bereits vor dem Modellierungszyklus erwähnt, wurden spezielle Annahmen zu den Materialien getroffen. So wurde die Annahme getroffen, dass der Baum und das Gründach aus Luft bestehen, da sich in den Zwischenräumen der Pflanzen überwiegend Luft befindet. Ebenfalls ist als Annäherung die Straße aus Beton konstruiert worden anstatt aus Asphalt. Für Bitumen oder Bitumen ähnliche Produkte gab es keine Materialien innerhalb von Comsol. Auf diesem Grund wurde Bitumen von uns vollständig neu zusammengestellt. Comsol hatte dafür nur wenige materialspezifische Daten benötigt. Damit ergab sich mit dem Eintragen der Dichte, dem Wärmeleitkoeffizient und der spezifischen Wärmekapazität bereits ein neues Material, mit dem Comsol vollständig arbeiten und modellieren konnte.

Für den Wärmeaustausch wurden unsere Objekte als Wärmequelle deklariert und es wurde ihnen eine bestimmte Wärmeleistung zugewiesen. Comsol hätte als Alternative auch die Wärmestromdichte verwenden können, es benötigte zur Modellierung aber jeweils nur eines der beiden Werte. Die Objekte, wie der Baum und der Fluss, haben als kühlende Objekte ein Minus als Vorzeichen. Die Gleichungen, die Herleitung und die Ergebnisse der Wärmeleistungen der einzelnen Objekte wurden in dem Kapitel Vorbereitung der Daten zur Modellierung bereits kleinschrittig erklärt. Zusammengefasst sind die Daten in der folgenden Tabelle dargestellt:

Tabelle 16: Wärmeleistung der Objekte

	Baum	Fluss	Straße	Haus (Bitumen)	Haus (Gründach)
Wärmeleistung in [W]	$-25\cdot 10^{3}$	$-7,3821\cdot 10^{8}$	$33.075$	$520.000$	$73,33$

Jeder Grundfläche wurde eine konstante Temperatur zugewiesen. Die Umgebungstemperatur ist als Annahme homogen und über das ganze System hinweg $25\;^{\circ }{\text{C}}$. Comsol benötigte die Temperatur in der SI-Einheit Kelvin, was genau $25\,{\text{°C}}\;{\widehat {=}}\;298,15\,{\text{K}}$. Für die Ausbreitung wurden alle Materialien als Isotrop aufgefasst, was bedeutet, die Wärmeleitfähigkeit ist unabhängig von der Raumrichtung.

Die Diskretisierung unserer konstruierten Modelle erledigte Comsol vollkommen selbstständig. Es nahm dafür unstrukturierte Dreiecksgitter. Diese verfeinerte das Programm in der Nähe der Kontaktstelle zwischen dem Objekt und der Grundfläche automatisch. Es wurde bewusst keine Änderung an der Diskretisierung vorgenommen, da sich in unseren Augen die Feinheit für unsere Zwecke vollkommen ausreichte. Zusätzlich gab es Bedenken, dass sich beim Verfeinern der Gitter die Modellierung in Comsol erschwerte, hingegen würde bei einem gröberen Gitter würde die Modellierung darunter leiden.

Für die ersten Versuche der Modellierung entstand das Problem, dass Comsol Schwierigkeiten mit der Konvergenz der Wärmequelle hatte, also das Problem die Wärmequelle am Anfang der Modellierung auf voller Leistung zu entwickeln. Um die Leistung für die ersten Augenblicke der Modellierung zu regulieren und eine Konvergenz zu erstellen, wurde eine von Comsol vorgefertigte Rampenfunktion eingebaut und mit der Wärmeleistung multipliziert. Die Rampenfunktion hatte bereits nach nur einer Sekunde den Wert von 1 erreicht, wodurch dann die volle Leistung in der Modellierung wirkt.

Bei unseren nächsten Versuchen der Modellierung entstand das Problem, dass sich die Leistung der Objekte über die ganze Entstehung hinweg streckte. So erreichte der Baum in den ersten funktionierenden Versuchen Temperaturen von bis zu $-120\;^{\circ }{\text{C}}$. Dies entspricht natürlich nicht der Realität, da zum Beispiel Bäume ab einer umliegenden Temperatur von $23\;^{\circ }{\text{C}}$ aufhören zu kühlen. Durch das Problem ergab sich die Idee einer Hilfsfunktion, mit der die Leistung der Objekte durch Einschränkungen besser kontrolliert wird. Für am sinnvollsten wurde für unseren Fall die Stufenfunktion betrachet, welche in ihrer allgemeinen Form wie folgt aussieht:

${\begin{aligned}\Theta _{allg.}\colon \;&\mathbb {R} \to \{0,1\}\\\ &x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\\1:&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}$

Die Funktion wurde speziell für unsere Problematik angepasst. Dazu wurde über die Modellierung hinweg mit einem Maximumsoperator folgender Form in Comsol gearbeitet:

$max({\bigl |}T-T_{ext}{\bigr |})$

Dabei sind $T$ die Temperatur auf der ganzen Fläche und $T_{ext}$ die Umgebungstemperatur von 25°C. Damit bestimmt anschaulich gesprochen dieser Maximumsoperator in der Simulation die größte Temperaturdifferenz über die Zeit hinweg.

Sobald der Maximumoperator den Betrag der Temperaturdifferenz ${\bigl |}\Delta T{\bigr |}$ übersteigt, soll die Wärmeleistung des Objektes aufhören. Speziell für unseren Fall ergibt sich die Stufenfunktion:

${\begin{aligned}\Theta _{spez.}\colon \;&\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\\ &x\mapsto {\begin{cases}1:&max({\bigl |}T-T_{ext}{\bigr |})\leq {\bigl |}\Delta T{\bigr |}\\0:&max({\bigl |}T-T_{ext}{\bigr |})>{\bigl |}\Delta T{\bigr |}\end{cases}}\end{aligned}}$

Die Beträge der Temperaturdifferenzen sind dabei für jedes Objekt individuell und sind aus dem Kapitel Vorbereitung der Daten zur Modellierung hier nochmal zusammengetragen.

Tabelle 17: Betrag der Temperaturdifferenz

	Baum	Fluss	Straße	Haus (Bitumen)	Haus (Gründach)
Betrag der Temperaturdifferenz ${\bigl |}\Delta T{\bigr |}$ in [°C]	2	2,5	27	5	65

Die erstellte Stufenfunktion wurde dann ebenfalls mit der Wärmeleistung multipliziert, sodass sich diese zu dem gewünschten Zeitpunkt deaktiviert und nur noch Wärmeaustausch ohne zusätzliche Leistung des Objektes stattfindet.

Um später die Daten für den zweiten Zyklus zu exportieren, ist es notwendig, dass in der Geometrie von Comsol eine Gerade eingebaut wird, welche senkrecht vom Mittelpunkt oder zur Mittelsenkrechten bis zum Rand der Grundfläche verläuft. Diese muss in jedem Objekt einzeln eingetragen werden. Bezüglich der Diskretisierung legt Comsol die Gitterpunkte von ganz allein auf die Gerade, sodass später die Daten einfach exportiert werden können.

Somit sollten alle Konstruktionen erstellt werden, alle notwendigen Eintragungen erledigt und alle Probleme, die bei der Modellierung entstehen könnten, eliminiert. Wenn das der Fall sein sollte, kann die Modellierung mithilfe einer Studie erstellt werden. Dafür wurde bei allen Objekten die Zeiteinheit Sekunden gewählt. Als Modellierungsdauer wurden 6000 Sekunden gewählt, was 100 Minuten entspricht, bei Intervallschritten von einer Dauer von 0,2 Sekunden.

Darstellung der Modellierung

Zur Simulation verwendet Comsol die Wärmeleitgleichung, welche eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. Sie hat folgende Form:

$\underbrace {d_{z}\rho C_{p}} _{\alpha }{\frac {\partial T}{\partial t}}+\underbrace {d_{z}\rho C_{p}} _{\alpha }u\cdot \nabla T+\nabla \cdot q=d_{z}Q+q_{0}+d_{z}Q_{p}+d_{z}Q_{vd}$

Wobei gilt:

$q=-d_{z}k\nabla T$

mit

${\begin{array}{ccl}d_{z}&-&{\text{Dicke des Modells in Comsol in [m]}}\\\rho &-&{\text{Dichte in }}\left[{\frac {kg}{m^{3}}}\right]\\C_{p}&-&{\text{spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck in }}\left[{\frac {J}{kg\cdot K}}\right]\\T&-&{\text{Absolute Temepratur in [K]}}\\u&-&{\text{Geschwindigikeitsvektor in }}\left[{\frac {m}{s}}\right]\\p&-&{\text{Druck in [Pa]}}\\k&-&{\text{Wärmeleitfähigkeit in }}\left[{\frac {W}{m\cdot K}}\right]\\\nabla &-&{\text{Nabla-operator}}\\q&-&{\text{Wärmefluss durch Wärmeleitung in }}\left[{\frac {W}{m^{2}}}\right]\\\alpha _{p}&-&{\text{Ausdehnugkoeffizent in }}\left[{\frac {1}{K}}\right]\\Q&-&{\text{Wärmequelle}}\left[{\frac {W}{m^{3}}}\right]\\q_{0}&-&{\text{Wärmefluss über die Grenze}}\left[{\frac {W}{m^{3}}}\right]\\Q_{p}&-&{\text{Punktförmige Wärmequelle}}\left[{\frac {W}{m^{3}}}\right]\\Q_{vd}&-&{\text{Viskose Dissipation}}\left[{\frac {W}{m^{3}}}\right]\end{array}}$

Diese Form der Wärmeleitgleichung ist nicht die herkömmliche Form, vereinfacht man obige Formel zunächst, viele der obigen Terme sind 0 erhält man:

$\alpha {\frac {\partial T}{\partial t}}+\nabla \cdot q=d_{z}Q$

Mithilfe des Fouriersche Gesetz gilt nun:

${\begin{array}{ccl}&\alpha {\frac {\partial T}{\partial t}}+\nabla \cdot (-\lambda \cdot \nabla T)&=&d_{z}Q\\\Leftrightarrow &\alpha {\frac {\partial T}{\partial t}}-\lambda \Delta T&=&d_{z}Q\end{array}}$

Die obige Gleichung lässt sich nun schnell über den ersten Hauptsatz der Thermodynamik herleiten.

Tabelle 18: Modellierung Baum

Temperaturdarstellung	Liniengraph

Tabelle 19: Modellierung Fluss

Temperaturdarstellung	Liniengraph

Tabelle 20: Modellierung Straße

Temperaturdarstellung	Liniengraph

Tabelle 21: Modellierung Haus (Bitumen)

Temperaturdarstellung	Liniengraph

Tabelle 22: Modellierung Haus (Gründach)

Temperaturdarstellung	Liniengraph

Export der Daten für Zyklus 2

Um die Daten für Zyklus 2 zu exportieren mussten man wie bereits geschrieben einen Liniengraphen in die Modelle hinzufügen. Die neue Geometrie ermöglicht durch erneutes Plotten die benötigten Daten sowie den abgebildeten Liniengraph zu erhalten. Um die Daten dann final zu exportieren, musste man diese zunächst zu einem Teilabschnitt der Ergebnisse, dem Export in Comsol hinzufügen. Nachdem anpassen weiterer Einstellungen wie Separator, Dateiname und Dateityp, konnte man die Daten, welche in Abhängigkeit von Temperatur und Abstand in Dezimeter dargestellt sind, als CSV-Datei exportieren. Durch die CSV-Datei konnten die benötigten Daten kopiert und in Maxima zur weiteren Modellierung übertragen werden.

Bewertung

Die erstellten Simulationen zeigen schon eine beachtliche Annäherung an die Realität. Durch die ganzen Annahmen leiden aber doch die Simulation von Comsol darunter. Insbesondere die Annahmen zu den abgeschlossenen Systemen und zur Vernachlässigung von Luftströmen und der infrastrukturellen Aspekte, wie Autos und Menschen, haben einen großen Einfluss. Natürlich haben auch alle anderen Annahmen einen Einfluss auf die Wärmeverteilung des Systems, wenn auch nicht einen so großen. Um das Modell am Ende noch zu verbessern, wäre eine mögliche Vorgehensweise, die Annahmen durch Anpassung zu eliminieren. Das bedeutet, dass man sich Annahmen nimmt und überlegt, wie man diese in das Modell einbaut. Somit wäre anstatt einer Annahme, welche Faktoren unberücksichtigt lässt und dadurch Daten verfälscht, eine Annäherung an die Realität gewonnen. Auch könnte man anstatt der vollständigen Elimination einer Annahme versuchen, diese zu beschränken. Als Beispiel wäre die Vernachlässigung der Luftströmung, anstatt des vollkommenen Ausschließens der Strömung, wäre eine dauerhafte homogene Luftströmung in immer der gleichen Richtung möglich. Damit wäre annäherungsweise ein Wind konstruiert, welcher auch maßgebend bei der Wärmeverteilung mitwirkt, auch wenn dieser nicht der Realität entspricht.

Ergebnisse und Diskussion

In den Zyklen sind nun verschiedene Objekte und ihre Auswirkungen auf den Wärmeaustausch und die Temperatur in näherer Umgebung modelliert worden. Im ersten Zyklus als lineare Funktion, im zweiten Zyklus durch Interpolation auf einem Intervall definierte lineare Funktionen und in dem dritten als 2D-Simulation mithilfe des Programms Comsol. Für die Zukunft sind verschiedene Ausblicke für anstehende Modellierungen möglich. So geht zum Beispiel die Frage einher, wie sich verschiedene Objekte gegenseitig und zusammen in ihrer näheren Umgebung beeinflussen. Dazu könnte man ein größeres Modell konstruieren, indem mehrere Objekte gleichzeitig eingebaut werden. Ebenfalls ist unklar, wie eine optimale Positionierung von kühlenden Objekten in einer Stadt sein muss, damit ein möglichst angenehmes Klima herrscht. Auch hier wäre ein größeres Modell möglich, mit dem sich eine oder sogar die optimale Positionierung der Objekte finden lässt. Die Modelle und ihre zukünftigen Aussichten sind auch in ihrer Dimension erweiterbar, so ist anstatt einer zweidimensionalen Betrachtung auch die Erweiterung der Modellierung auf drei Dimensionen möglich. Anstatt einer zwei- oder dreidimensionalen Betrachtung ist es auch möglich, mehrere Objekte als Querschnitt zu modellieren und Ihre Überlagerung des Temperaturverlaufs als Funktionsgraph intervallweise darzustellen.

Auch hinsichtlich der Annahme der konstanten Umgebungstemperatur ist eine Erweiterung des Zyklus möglich. So könnte man verschiedene Umgebungstemperaturen in Betracht ziehen, um so die Wirkung der Objekte in unterschiedlichen Umgebungen zu untersuchen. Selbstverständlich ist auch eine Ergänzung von Objekten denkbar, die größeren Einfluss auf ihre Umgebung und die damit eingehende Wärmeleistung haben.

Wie in der Bewertung des Zyklus 3 erwähnt, ist auch das Verbessern und Vertiefen der Modellierung möglich, indem die Annahmen, welche getroffen wurden, reduziert werden. So könnte, wie bereits in dem Kapitel Bewertung Zyklus 3 erwähnt, zum Beispiel ein homogener Wind eingebaut werden, welcher als Annäherung für den tatsächlichen Wind gilt. Bei einer solchen Annäherung spielt die Ausrichtung der Häuser eine wichtige Rolle. Auch bei der Tageszeit wurde der damit verbundene Verlauf der Sonne und die damit entstehende Sonneneinstrahlung nicht mit in den Zyklus integriert.

Alle erwähnten Punkte sind Aussichten, wie die bisher bestehenden Modellierungen erweitert und vertieft werden können.