Zielsetzung

In diesem Zyklus soll ein Modell aus der Linearen Algebra konzipiert werden, mit dem wir eine bessere Prognose für die Zukunft erhalten.

Daten

Es handelt sich bei den Anteilen hier jeweils um relative Anteile.

Die Einträge in der 18. Zelle sind je die Mittelwerte (z.B. im Feld 18C ist der Mittelwert der Bevölkerungszahlen Deutschlands von 2000 bis 2015).

Vorgehensweise

In den folgenden Zyklen verwenden wir vor allem Maxima und Tabellenkalkulation.

Zyklus 3a

D = Deutschland
W\D = Welt ohne Deutschland
Der Pfeil, der von D nach W\D führt, stellt den Anteil der Auswanderer aus D nach W\D dar. Der Pfeil, der von W\D nach D führt, stellt den Anteil der Einwanderer nach D von W\D kommend dar. Der Pfeil, der von D nach D selbst führt, gibt den Anteil derer an, die in D bleiben. Analog gibt der Pfeil, der von W\D nach W\D führt, den Anteil derer an, die in W\D bleiben. Für die Anteile der Ein- und Auswanderer an der Weltbevölkerung wurden Mittelwerte der Jahre 2000 bis 2015 verwendet, ablesbar bei "Daten" (siehe oben). Der Mittelwert der Anteile der Einwanderer steht in Feld K18, die Mittelwerte der Anteile der Auswanderer in J18.

Aus dem Schaubild kann man die Werte für die im folgenden verwendete Übergangsmatrix ablesen:

Wir geben die Übergangsmatrix in Maxima ein und nennen sie A. Ebenso geben wir einen "Startvektor", x2011 benannt, in Maxima ein. Wir haben uns dafür entschieden mit den Berechnungen ab 2011 anzufangen, da ab 2011 ein hoher Anstieg der Einwanderung in D zu erkennen ist. Da wir davon ausgehen, dass auch in Zukunft immer mehr Menschen nach Deutschland einwandern, sind für uns die Werte ab 2011 besonders relevant. Der Vektor x2011 stellt also die Anteile von D an der Weltbevölkerung und die Anteile von W\D an der Weltbevölkerung im Jahr 2011 dar. (Dementsprechend ergibt die Summe der beiden Zeilen des Vektors 1.) Multipliziert man die Übergangsmatrix (A) mit dem Vektor des Jahres 2011 (x2011), so erhält den Vektor für das Folgejahr, also x2012. Möchte man den Vektor x2013 für das Jahr 2013 ausrechnen, so multipliziert man A² mit x2011. usw.

Übergangsmatrix in Maxima:

Vektor x2011:

Berechnete Vektoren für 2012 und 2013:

Da uns eine Prognose zukünftiger Zahlen interessiert, haben wir diese Berechnungen weiter geführt bis 2050.

Möchte man Jahre berechnen, die vor dem Startvektor x2011 liegen, so muss man die inverse Übergangsmatrix mit dem Startvektor multiplizieren. Um also x2010 auszurechnen, multipliziert man A^-1 mit x2011:

Ergebnis

Sind unsere Ergebnisse nun eine gute oder schlechte Prognose? Von den Jahren 2000 bis 2015 haben wir reale Daten, mit denen verglichen werden kann. Ab 2016 haben wir Prognosen für die deutsche Bevölkerungszahl und die Weltbevölkerung (vom Statistischen Bundesamt) herangezogen. Mit diesen Daten haben wir unsere errechneten Werte verglichen, um abzuwägen, wie gut unsere Vorausberechnungen sind. Dafür haben wir je die Differenz zwischen errechneten (Prognose-)Werten und Prognosewerten des Statistischen Bundesamtes betrachtet und auch die prozentuale Abweichung des berechneten Daten von den Prognosewerten des statistischen Bundesamtes berechnet.

Die Abweichung von den vom Statistischen Bundesamt prognostizierten Zahlen ist für die Jahre bis 2015 nicht zu groß. Sobald man jedoch die Differenzen der von uns prognostizierten Jahre betrachtet, hat man Differenzen im 8-stelligen Bereich bzw. prozentuale Abweichungen zu den vom Statistischen Bundesamt prognostizierten Zahlen, die nicht nur über 50%, sondern teilweise über 90% liegen. Deswegen sind wir zu dem Entschluss gekommen, dass uns diese Berechnungen keine guten Ergebnisse für Prognosen liefern.
Somit werden wir im nächsten Berechnungsversuch eine andere Übergangsmatrix aufstellen.

Zyklus 3b

Zur möglichen Verbesserung versuchen wir nun eine Übergangsmatrix mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems zu erstellen, welche den Übergang in 5 Jahren beschreibt. Zuerst stellen wir Vektoren, welche die Anteile von D an der Weltbevölkerung und die Anteile von W\D an der Weltbevölkerung aufzeigen, für die Jahre 2005, 2010 und 2015 auf.

Mit dem Befehl linsolve in Maxima erhalten wir als Lösung folgende Werte für a₁, a₂, a₃ und a₄ :

und somit die Übergangsmatrix A:

Multipliziert man die Übergangsmatrix (A) mit dem Vektor x2005 des Jahres 2005, so erhält den Vektor x2010 für das Jahr 2010, also 5 Jahre später. Möchte man den Vektor x2015 für das Jahr 2015 ausrechnen, so multipliziert man A² mit dem Vektor von 2005 usw.

Berechnete Vektoren für 2010 und 2015

Da uns auch hier die Prognosen zukünftiger Zahlen interessieren, haben wir Daten bis zum Jahr 2050 berechnet.

Ergebnis

Genau wie in Zyklus 3a haben wir unsere berechneten Daten mit den Prognosen des Statistischen Bundesamtes verglichen, indem wir wieder deren Differenzen und die zugehörige prozentuale Abweichung berechneten, um so erneut abzuwägen, wie gut unsere errechneten Prognosen sind.

Wir können hier eine deutliche Verbesserung zu dem vorherigen Zyklus erkennen. Die prozentualen Abweichungen erreichen hier zwar immer noch Werte von bis zu 25%, allerdings bleiben diese weit unter 50%. Die mittlere prozentuale Abweichung beträgt hier nur knapp 10%. Dieses Ergebnis können wir akzeptieren. Wir müssen immer wieder bedenken, dass unsere Berechnungen lediglich die Ein-und Auswanderung Deutschlands beinhalten. Die Prognosen des Statistischen Bundesamtes lässt bei ihrer Berechnung mehrere wichtige Faktoren zusätzlich mit einfließen, so zum Beispiel die Geburten- und Sterberate.