Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Modellierungszyklus 1

Datenerhebung

• Grundlage für unser Modellierungszyklus sind Daten zum deutschen Fleischkonsums vom Bundesinformationszentrum Landwirtschaft (BZL)
• listet seit 1991 den jährlichen Pro-Kopf-Verbrauch in Deutschland auf
• Daten standen uns bis 2021 zur Verfügung
• wachsende und schrumpfende Bevölkerung kann aufgrund des erhobenen Pro-Kopf-Verbrauch ignoriert werden
• berücksichtigen keine statischen Effekte

Erste Näherung: Lineare Regression

• Daten mit einfachen linearen Regression beschreiben
• unabhängige Variable x: jeweiligen Jahre (Jahr 1991 bis 2050)
• abhängige Variable y: deutschen Pro-Kopf-Fleischverbrauch
• Regressionsgerade wurde mit Hilfe von Tabellenkalkulation in LibreOffice Calc erstellt

Lineare Funktion mit Hilfe der Regressionsgerade

• erhalten folgende Funktion: $f(x)=-0,2633x+618,42$
• y-Achsenabschnitt bezieht sich auf das Jahr 0 (Funktion macht ab Beginn der Daten im Jahr 1991 Sinn)
• Steigung m beträgt -0,2633, d.h. der Fleischkonsum pro Kopf sinkt jährlich um ca. ${\frac {1}{4}}$-Kilogramm

Graph der Regressionsgerade

Abbildung 1: Fleischkonsum in Deutschland

Prognosewerte der linearen Funktion

• mit Hilfe der linearen Funktion haben wir nun die ersten Prognosen für die folgenden Jahre erstellt
• z.B.:
  • Jahr 2023: ca. 85,7 kg/pro Kopf,
  • Jahr 2025: ca. 85,2 kg/pro Kopf,
  • Jahr 2030: ca. 83,9 kg/pro Kopf,
  • Jahr 2040: ca. 81,3 kg/pro Kopf,
  • Jahr 2050: ca. 78,7 kg/pro Kopf

Bewertung und Optimierung

• man erkennt Trend eines abfallenden Fleischkonsums → jedoch eher gering
• Fehler wird für die letzten erhobenen Daten besonders groß
• Problematik:
  • stärker abnehmende Trend von 2018-2021 wird keine Bedeutung zugemessen
  • Gerade würde irgendwann die x-Achse schneiden und somit in den negativen Fleischkonsum gelangen
• um Schülerinnen und Schüler einen ersten Trend erkennen zu lassen und eine Vorstellung für die Größenordnung zu entwickeln, ist das Modell sinnvoll

Software

• Tabellenkalkulation

Zweite Näherung: Funktionstypen im Vergleich

Beobachtungen

• Fleischkonsum stagniert in den 90er-Jahren
• springt zum Teil nach oben (besonders in den Jahren 1998 und 1999)
• klare Abnahme des Konsums findet erst ab 2018 statt
• um dies zu berücksichtigen, betrachten wir die zwei folgenden Funktionstypen

Exponentialfunktion

• $g(x)=a\cdot e^{-\left({\frac {x}{s}}\right)^{2}}$ Exponentialfunktion (roter Funktionsgraph)
• betrachten Graphen erst ab Stelle x=0, da wir eine Prognose für die Zukunft anstreben (Werte vorher sind für uns unrelevant)
• konvergiert für x -> ∞ gegen 0 und verfügt über keine Nullstellen
• Parameter a = Anfangswert des Fleischkonsums
• Parameter s = staucht bzw. streckt den Graphen
• Maximum befindet sich im Punkt (0|a)
• im x-Bereich von 0 bis ∞ besitzt die Funktion eine Wendestelle

Gebrochenrationale Funktion

• $f(x)={\tfrac {a}{1+({\tfrac {x}{s}})^{2}}}$ gebrochenrationale Funktion (grüner Funktionsgraph)
• konvergiert für x -> ∞ gegen 0 und verfügt über keine Nullstellen
• ähnelt stark der Gaußfunktion, jedoch schmiegt sich die gebrochenrationale Funktion langsamer an die x-Achse an
• Parameter a = Anfangswert des Fleischkonsums
• Parameter s = staucht bzw. streckt den Graphen
• Maximum befindet sich im Punkt (0|a)
• verfügt über eine Wendestelle im positiven x-Bereich

Graphen der Funktionen

Abbildung 2: Annäherungen in Geogebra

GeoGebra-Datei und Einstellen der Parameter

• beide Graphen in GeoGebra ploten
• Jahr 1991: Jahr 0 auf der x-Achse
• Jahr 2021:Jahr 30 auf der x-Achse
• Betrachte Datenpunkte des Jahres 1991 D₀ (0|95,3) und 2021 D₃₀ (30|81.7)
• Vorteil: Beide Punkte liegen genau auf dem Graphen drauf
• Parameter a = Maximum unserer Funktion, stellt Funktionswert an der Stelle x=0 dar → a wird auf 95,3 eingestellt (Anfangswert unserer Datenreihe)
• Parameter s wird so gewählt, dass der Graph durch den Punkt D₃₀ geht
• beide Graphen laufen somit durch beide Punkte

Vergleich der beiden Graphen

• beide Funktionen stellen eine deutliche Verbesserung im Vergleich zur linearen Funktion dar
• Bereich 0 bis 30 sind kaum Unterschiede zu erkennen, erst nach dem x-Wert 30
• g(x) (rote Funktion) nähert sich deutlich schneller der x-Achse
• bevorzugen deshalb die gebrochenrationale Funktion f(x)

Anpassung der Prognosefunktion

• mit der Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion $f(x)={\tfrac {a}{1+({\tfrac {x}{s}})^{2}}}$ können wir die Parameter a, s genau bestimmen
• Ziel: Punkte D₀ (0|95,3) und D₃₀ (30|81,7) sollen genau auf den Graphen liegen
• Parameter a gibt den Funktionswert an der Stelle x= 0 da, weshalb a = 95,3 ist
• Einsetzen von D₃₀ (30|81,7) und Parameter a=95,3 in die Funktionsgleichung

 -> $81,7={\tfrac {95,3}{1+({\tfrac {30}{s}})^{2}}}$

• Gleichung lässt sich in „Maxima“ mit der Funktion „solve“ schnell lösen
• Parameter s = 73,5 (gerundet)

Abbildung 3: Anpassung der Prognosefunktion

Bewertung und Optimierung

• Modell konnte im Vergleich zur linearen Regression deutlich verbessert werden
• Verhindern eines negativen Fleischkonsums und das Berücksichtigen einer stärkeren Abnahme in den letzten Jahren wurde umgesetzt
• Funktion wurde so bestimmt, dass sie mit den zwei Punkten übereinstimmt
• zur Vereinfachung wurden nur zwei Datenpunkte gewählt
• anderen Datenpunkte wurden noch nicht berücksichtigt

Vergleich der Prognosefunktion mit vorliegenden Daten

• gebrochenrationale Funktion scheint eine gute Annäherung an den Fleischkonsum zu liefern
• im nächsten Schritt soll der Fehler zwischen Prognosefunktion und den tatsächlichen Daten berechnet werden

Abbildung 4: Vergleich zwischen Prognose und vorliegenden Daten

Software

• LibreOffice Calc
• GeoGebra
• Maxima