Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Modellierungszyklus 3

Modellierungszyklus 3 - Uni-Niveau

Ziel des Modellierungszyklus

• Funktion $f(x)={\frac {a}{1+({\frac {x}{s}})^{2}}}$ optimieren
• Berücksichtigung aller Datenpunkte
• Bisherige Wahl der Parameter: a = 95,3 und s = 73,5
• Wahl der Parameter, sodass der Fehler der Funktion minimal wird
• Werkzeug: Gradientenabstiegsverfahren

Fehlerfunktion und Partielle Ableitungen

• Fehlerfunktion: $E(a,s):=1/31*\sum _{k=0}^{30}(f(x_{k},a,s)-y_{k})^{2}$.
• E(a,s) berechnet das Mittel der quadratischen Abweichungen der Prognose und der Daten
• Alle 31 Datenpunkte werden in der Fehlerfunktion berücksichtigt

• Zur Bestimmung des Gradienten werden die partiellen Ableitungen benötigt:

• partielle Ableitung nach a: ${\frac {\partial E}{\partial a}}(x,a,s):=2/31*\sum _{k=0}^{30}(f(x_{k},a,s)-y_{k})*{\frac {1}{({\frac {x_{k}^{2}}{s^{2}}}+1)}}$

• partielle Ableitung nach s: ${\frac {\partial E}{\partial s}}(x,a,s):=2/31*\sum _{k=0}^{30}(f(x_{k},a,s)-y_{k})*{\frac {2*a*x^{2}}{s^{3}*({\frac {x_{k}^{2}}{s^{2}}}+1)^{2}}}$

Ablauf Gradientenabstiegsverfahren (1)

• Ziel: Minimum der Fehlerfunktion E(a,s) finden
• 1.Schritt: Startpunkt ${\begin{pmatrix}a_{0}\\s_{0}\end{pmatrix}}$ und Schrittweite wählen
• 2.Schritt: Fehler mit den Startwerten ${\begin{pmatrix}a_{0}\\s_{0}\end{pmatrix}}$ berechnen
• 3.Schritt: Gradienten an der Stelle ${\begin{pmatrix}a_{j}\\s_{j}\end{pmatrix}}$ mit Hilfe der partiellen Ableitungen berechnen
• 4.Schritt: Länge des Gradienten ${\begin{pmatrix}a_{j}\\s_{j}\end{pmatrix}}$ bestimmen

Ablauf Gradientenabstiegsverfahren (2)

• 5.Schritt: ${\begin{pmatrix}a_{j}\\s_{j}\end{pmatrix}}$ in entgegengesetzte Richtung des Gradienten verschieben und auf Schrittweite normieren
• 6.Schritt: Überprüfen, ob sich der Fehler verringert hat
• 7.Schritt: Falls sich der Fehler nicht verringert hat: Schrittweite halbieren und zurück zu Schritt 5 gehen
• 8.Schritt: Schritte 3 bis 7 beliebig wiederholen

Durchführung des Gradientenabstiegsverfahren

• Umsetzung mit LibreOffice Calc
• Startwerte: $a_{0}=95.3,s_{0}=73.5$ (Werte aus vorherigen Zyklen)

Konvergenz des Gradientenabstiegsverfahrens

• Verfahren konvergiert nach vielen Iterationsschritten gegen folgende Werte:

Abbildung 10: Gradientenabstiegsverfahren Tabelle 2

Ergebnisse (1)

• Deutliche Minimierung des Fehlers E(a,s)
• Mittlerer quadratischer Fehler mit Ausgangswerten: 7,57
• Mittlerer quadratischer Fehler am Ende des Verfahrens: 3,65
• Konvergenz für die Werte a ≈ 92,81 und s ≈ 101,91

Ergebnisse (2)

• Verbesserte Prognosefunktion: $f(x)={\frac {92,81}{1+({\frac {x}{101,91}})^{2}}}$

• Grün: Optimierte Prognosefunktion f(x)
• Grau: Prognosefunktion aus Zyklus 2

Bewertung und Optimierung (1)

• Deutliche Optimierung der Prognosefunktion
• Fehler der Prognose hat sich mehr als halbiert
• Auszug einiger Prognosewerte:

2025: ca. 83,51 kg/Kopf;

2030: ca. 80,95 kg/Kopf;

2035: ca. 78,23 kg/Kopf;

2040: ca. 75,38 kg/Kopf;

2045: ca. 72,46 kg/Kopf;

2050: ca. 69,51 kg/Kopf;

2060: ca. 63,64 kg/Kopf

Bewertung und Optimierung (2)

• Werte erscheinen auf den ersten Blick realistisch
• Bestehendes Problem: Fleischkonsum laut Prognose in den nächsten Jahren wieder leicht erhöht (siehe Prognose 2025: 83,51 kg/Kopf und gemessener Wert 2021: 81,7 kg/Kopf)
• Besonders für weiter in der Zukunft liegende Werte aber gut nutzbar
• Mit den vorliegenden Daten diese Prognosefunktion aktuell nicht optimierbar
• Für noch genauere Prognose anderer Funktionstyp nötig

Ausblick

• Aber: Prognose kann in Zukunft mit weiteren Daten gefüttert werden
• Dann Verbesserung dieser Prognosefunktion möglich
• Gradientenabstiegsverfahren liefert dann neue Werte für Parameter a und s