Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Perfekter Freistoß/komplette Präsentation

Definition - (perfekter) Freistoß

Der Schütze spielt den Ball so, dass dieser knapp über die Mauer fliegt und in einem oberen Winkel einschlägt.
Dabei soll der Ball möglichst genau in den Winkel fliegen.

Grundannahmen

• Tor: Breite 7.32m, Höhe 2.44m
• Ball: Durchmesser 20cm
• Freistoß: Distanz zum Tor 16m (mittig)
• Mauer: Höhe 1,80 (ohne Sprung) 2m (Sprung)

Distanz Tor-Mauer:6,75m

Distanz Mauer-Freistoßposition: 9,15m

Modellierungsziel

• Welche Bedingungen muss der Freistoß erfüllen, um dem "perfekten Freistoß" möglichst nahe zu kommen?
• Wie lassen sich Handlungsempfehlungen an den Schützen formulieren, sodass sein individuelles Schussprofil verbessert werden kann?
• Wie lässt sich ein Schussprofil erstellen?

Nutzergruppe

• Fortgeschrittene Fußballspieler können ihre Freistoßtechnik analysieren und mittels eines Schussprofils auswerten.

• Zudem können auch Amateurfußballer ein Schussprofil erstellen und Erkenntnisse zu ihrer Schusstechnik gewinnen.

Softwarenutzung

• Tabellenkalkulation
• Geogebra
• wxMaxima

Vorgehen

Ziel: Ermittlung der optimalen Höhe an der Mauer um Handlungsempfehlungen an den Schützen zu geben.

1. Ausgehen von einem Spannschuss (lineare Funktion der Form f(x)=ax+b)
2. näherungsweise (maschinelles) Annähern an "die perfekte Ballhöhe über der Mauer"
3. Aufteilen in zwei lineare Funktionen

perfekte Freistoßkurve als lineare Funktionen

Berechnung (1)

• Berechnung der Funktion des Spannschusses anhand der gegebenen Punkte (0/2.24) und (16/0)

f(x)= -0,14x + 2,24

• Deuten des Ergebnisses: Ball überwindet Mauer nicht
• Benutzen einer Schritttweite als Handlungsempfehlung für den Schützen (10cm)
• Handlungsempfehlung wird so lange ausgeführt, bis der Ball die Mauer überwindet (egal ob Mauer springt oder nicht), ca. 2,1m

Berechnung (2)

• Einteilung in zwei lineare Funktionen
• Berechnen der linearen Funktionen

1. Funktion Freistoßpositon-Mauer: f(x)=-0,23x+3,68

2. Funktion Mauer bis Tor f(x)=-0,02x+2,24

perfekte Höhe des Balles bei Mauerposition

Ergebnisse

• Höhe des Balles bei Mauer (2,1m)
• Spannschuss geht über das Tor bei optimaler Höhe an der Mauer
• Einteilung in Teilfunktionen, allerdings realitätsfern
• Daher Zyklus 2

Vorgehen

• Erkenntnisgewinn aus Zyklus 1: Schusstechnik wird entsprechend angepasst
• Betrachten der perfekte Freistoßkurve nun als quadratische Funktion
• Berücksichtigen des Punktes (6,85/2,10)
• Verbesserung der Schusstechnik durch Differenz der Integrale sichtbar

Perfekte Flugkurve

• Ziel: Durch Handlungsempfehlungen der "perfekten" quadratischen Funktion annähern

Zyklus 2 - perfekte Freistoßkurve als quadratische Gleichung

Herleitung Integral (1)

• Idee: Einteilung der Fläche in viele kleine Rechtecke
• Rechtecke berechnen sich als Höhe x Breite, d.h. f(Stützwert) x Abstand der x-Werte
• Breite der Rechtecke ist äquidistant, d.h. gleich breit
• Fläche entspricht der Summe der unendlich vielen und kleinen Rechtecke

Herleitung Integral (2)

• Abstand der x-Werte der Rechtecke geht gegen 0 und heißt Differential (dx)
• Riemann-Integral ist somit die unendliche Summe von den unendlich kleinen Rechtecken

Definition Integral

Berechnung

wxMaxima

• Berechnung der Freistoßfunktionen anhand eines Gleichungssystem der Form A*x=b
• b:= gemessene Werte, an den Stellen (x=0, x=16, x=6,85)^T
• Gleichungssystem auflösen nach x:= (a,b,c) durch Multiplikation mit A^-1 auf beiden Seiten
• Dann kann die Funktionsgleichung der Form f(x)= ax² + bx + c abgelesen werden

Exemplarische Berechnung

• --> Perfekte Freistoßkurve: f(x)=-0,013x²+0,069x+2,24

Geogebra

• Berechnung der Fläche zwischen den realen Schüssen und der perfekten Kurve

Tabellenkalkulation (1)

• Betrachtung der relevanten Punkte: Tor (2,24) und Mauer (2,1)
• Wenn der Schuss z.B. deutlich über die Mauer geht soll der Schütze nächstes mal tiefer gehen
• Wenn der Schuss in die Mauer geht, dann soll der Schütze nächstes mal höher schießen
• Analog erfolgt eine Handlungsempfehlung mit Blick auf die Höhe des Balles im Tor

Tabellenkalkulation (2)

• Berechnete Flächen aus Geogebra dienen zur Interpretation

Zyklus 2 - Handlungsempfehlungen

Ergebnisse

• Durch individuelle Handlungsempfehlungen konnten wir die Schusstechnik des Schützens verbessern bzw. der perfekten Kurve annähren
• Handlungsempfehlungen dienen jedoch nur als grobe Orientierung
• Genauere Analyse des Schussprofils nötig (Zyklus 3)

Vorgehen

Zunächst haben wir das Schussprofil (20 Freistöße) mittels einer Dichtefunktion erfasst. Anhand dieser konnten wir das Schussprofil graphisch darstellen und interpretieren.

Dichtefunktion allgemein

Eine Funktion f heißt Dichtefunktion (oder Dichte), falls folgende Bedingungen gelten:

• f(x) ≥ 0 für alle x aus der Ergebnismenge
• f ist integrierbar

Ihre Höhe gibt keine Wahrscheinlichkeit, sondern Dichte an.

Unsere Dichtefunktion

f(x,y,x0,y0,h):=h/(1+Laenge(x-x0,y-y0)^2)

• Laenge(x,y):=sqrt(x^2+y^2)
• x0 und y0 sind die gemessenen Einschlagskoordinaten eines Freistoßes
• h ist die Häufigkeit
• x und y sind die Koordinaten, die betrachtet werden

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)

Bei uns bietet sich eine WDF an, da zwei Menschen nicht exakt gleich gut schießen bzw. zwei Schüsse kaum exakt gleich sind.

Mit so einer Funktion lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Intervall bspw. einer Schussgenauigkeit in einem bestimmten Bereich bestimmen.

Definition WDF

f: R --> R heißt WDF, falls gilt:

• f ist nicht negativ, d.h. f(x) ≥ 0 für alle x
• f ist integrierbar
• f ist normiert, in dem Sinne, dass

  

  WDF Normiert.svg

dann ist f eine WDF und wie folgt definiert:

WDF

Diese Formel gilt genauso für die Intervalle (a,b), (a,b] und [a,b]. Denn die WDF gibt im stetigen Fall keine Wahrscheinlichkeit für einen konkreten Wert an. Die Wahrscheinlichkeit für einen konkreten Wert X ist P(X)=0.

Kennzahlen WDF

• Erwartungswert:

  

• Varianz:

• Standardabweichung: Wurzel(Var(x))

Berechnung

wxMaxima

Folgendes Schussprofil (20 Schüsse) konnten wir mithilfe unserer Dichtefunktion erstellen:

Dichte(x,y):=f(x,y,0.2,2.24,1)+f(x,y,0.2,3,1)+f(x,y,2,2.6,1)+....

Problem?

Nun wollten wir mittels wxMaxima die Dichte in einem bestimmten Intervall berechnen und ins Verhältnis mit dem Gesamtintegral setzen. Leider kam wxMaxima bei diesem Doppelintegral an seine Grenzen. Jedoch konnten wir das Integral annäherungsweise mittels Tabellenkalkulation (Excel) berechnen.

Tabellenkalkulation

• Bestimmung der Funktionswerte durch vorgegebene Schrittweite für x und y von 0,1.

• Für jeden Schuss haben wir so einzelne Schussprofile (Tabellenblätter) angelegt.

• Durch aufsummieren aller Schussprofile ergab sich ein Gesamtschussprofil (Dichte) der 20 Schüsse.

• Dividiert man jede Zelle durch das Gesamtintegral (Summe Gesamtbereich) erhält man die WDF, da nun das Gesamtintegral bzw. Gesamtsumme 1 entspricht.

Volumenberechnung

Darstellung - Geogebra

Ergebnisse

• Maxima ist an seine Grenzen gekommen (Berechnungen der Integrale)
• Daher näherungsweise Bestimmung des Volumens durch Excel
• Im näherungsweise "interessanten Intervall": x=[0,1] und y=[0.5,2.4] liegen ca. 23%
• Einschränkend muss erwähnt werden, dass wir als Gesamtintervall nur x ∈ [-1,6] und y ∈ [0,3] betrachtet haben, da -inf bis inf via Excel nicht darstellbar ist

Auswertung

Schwierigkeiten/Probleme

• Grenzen von wxMaxima in Zyklus 3
• Einige Einflussfaktoren werden nicht berücksichtigt (z.B. Wetter, Platzverhältnisse, Begabung des Schützen)
• Handlungsempfehlungen (Zyklus 1 und 2) dienen eher als Orientierung

Bewertung der Modellbildung

• Eine Anwendung in der Schule ist möglich
• Ein Schussprofil für jeden Schützen kann angefertigt werden
• Zyklus 3 kann aufgrund einer numerischen Vorgehensweise mittels Tabellenkalkulation vereinfacht dargestellt werden. Dadurch ist eine schnelle Erstellung von Schussprofilen möglich, für Profis, Amateure und für Anfänger.