Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Mathematische Grundlagen Sek II
Mathematische Grundlagen Sek II[Bearbeiten]
Definition Differenzierbarkeit und Ableitung[Bearbeiten]
- Sei f eine Funktion auf D → IR und sei D eine Teilmenge von IR.
- Sei a aus D eine Stelle, die in D\{a} approximierbar ("annäherbar") ist
- Man nennt f differenzierbar an der Stelle a, falls der Grenzwert aus IR existiert. (Beachte: für x=a ist dieser Term nicht definiert.)
Ableitung[Bearbeiten]
- In dem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert auch als Ableitung von f an der Stelle a und schreibt:
- . f'(a) ist gerade der Grenzwert der Steigung der Sekanten in a, was der Steigung der Tangente in a entspricht.
- Eine Funktion heißt differenzierbar auf einer Menge A, welche eine Teilmenge des Definitionsbereiches ist, wenn an jeder Stelle a aus A der obige Grenzwert existiert, die Funktion also an jeder Stelle a differenzierbar ist.
Differenzialgleichungen[Bearbeiten]
- Jede Gleichung, in der eine Ableitung vorkommt, wird als Differenzialgleichung bezeichnet.
- Ordnung der Differentialgleichung richtet sich nach der höchsten vorkommenden Ableitungsordnung
- Bei der Differentialgleichung für logistisches Wachstum handelt es sich um eine nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung.
Differentialgleichung logistischen Wachstums[Bearbeiten]
- Durch wird diese Differentialgleichung zu einer nicht linearen Differentialgleichung. In einer linearen Differentialgleichung dürfte f(t) lediglich mit einem konstanten Faktor multipliziert werden.
- Die Lösung dieser Differentialgleichung wurde innerhalb des Zyklus 2 durchgeführt.
Anwendung Logistisches Wachstum[Bearbeiten]
Hintergrund[Bearbeiten]
- durch Lösen der Differentialgleichung ergibt sich für das logistische Wachstum
Lineare Regression[Bearbeiten]
Idee:[Bearbeiten]
Für Zahlenpaare soll eine lineare Funktion gefunden werden, sodass . Graphisch soll also eine Ausgleichs- oder Regressionsgerade gefunden werden, an der alle Punkte so nah wie möglich liegen.
Berechnung:[Bearbeiten]
- So nah wie möglich bedeutet für die lineare Regression, dass die Summe der quadratischen Abweichungen, also minimiert werden soll.
- Mit dieser Bedingung gibt es immer eine eindeutig bestimmte Regressionsgerade, die sich ergibt mit
- und
- Steigung der Geraden, (Mittelwert der x-Werte), (Mittelwert der y-Werte), y-Achsenabschnitt
Herleitung[Bearbeiten]
- soll minimal werden
- ⇒ soll minimal werden
- 1. Schritt: Wähle ein willkürliches, festes und zeige, dass nur dann minimal sein kann, wenn b die angegebene Form hat. Also sind nun feste Zahlen und hängt nur von ab.
- ⇒
2. Schritt:[Bearbeiten]
- Bekannt: für das optimale Paar gilt (b aus Schritt 1)
- Betrachte nun
Berechnung Regressionsgerade für Zyklus 2:[Bearbeiten]
Tabelle[Bearbeiten]
Berechnung[Bearbeiten]
- ⇒
- ⇒
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Lineare Regression[Bearbeiten]
https://www.geogebra.org/classic/j97aj8f3
Siehe auch[Bearbeiten]
Seiteninformation[Bearbeiten]
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Wiki2Reveal[Bearbeiten]
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