Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Mathematische Grundlagen Uni

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Mathematischer Hintergrund Zyklus 3: Uni-Niveau[Bearbeiten]

  • Im Modellierungszyklus 3 wurde versucht, ein System von gekoppelten Differentialgleichungen zu lösen
  • Das Differentialgleichungssystem lautet wie folgt:
  • (1)
  • (2)
  • Da dieses Differentialgleichungssystem nicht zu einem äquivalenten System umgewandelt werden kann, deren Differentialgleichungen unabhängig voneinander gelöst werden können, spricht man von gekoppelten Differentialgleichungen

Lösen der gekoppelten Differentialgleichungen[Bearbeiten]

  • Zunächst werden die beiden Gleichungen umgeschrieben:
  • (3)
  • (4)
  • Hierbei gilt und .

Erklärung[Bearbeiten]

  • (3)
  • Wachstum F'(t) ist proportional zum Bestand F(t) und zur Differenz
  • B(t)= der Bestand der Borkenkäfer zum Zeitpunkt t
  • =kritischer Wert
  • Falls , so ist das Wachstum der Fichtenpopulation positiv → Fichtenpopulation nimmt zu
  • Falls , so ist das Wachstum negativ → Fichtenpopulation nimmt ab

Erklärung 2[Bearbeiten]

  • (4)
  • Wachstum B'(t) ist proportional zum Bestand B(t) und zur Differenz zwischen der Fichtenpopulation und dem kritischen Wert
  • Ist , so ist zu wenig Nahrung vorhanden → Borkenkäferpopulation nimmt ab
  • Gilt , so ist Nahrung im Überfluss vorhanden → Population der Borkenkäfer nimmt zu

Erklärung 3[Bearbeiten]

  • Gleichungen (1) und (2) bilden ein nicht lineares Gleichungssystem, da F(t) und B(t) multipliziert auftreten
  • Das Gleichungssystem aus den Gleichungen (1) und (2) wird folgendermaßen umgeschrieben:
  • (1')
  • (2')
  • Es wurde durch F(t) bzw. durch B(t) geteilt, was hier zu keinem Problem führt, da im Kontext diese beiden Werte nicht 0 sein können, da sonst die Arten ausgestorben wären

Multiplizieren von (1') und (2') führt zu folgender Gleichung:[Bearbeiten]

  • Also:

Stammfunktionen finden:[Bearbeiten]

  • Auf der rechten Seite steht die Ableitung von und links von .
  • Diese beiden Funktionen sind Stammfunktionen derselben Funktion, weshalb sie sich nur in einer Konstante k unterscheiden → die Differenz der beiden Funktionen ergibt Konstante k
  • Hier darf die Exponentialfunktion angewendet werden, da diese auf den ganzen Reellen Zahlen definiert ist

Exponenzieren führt zu:[Bearbeiten]

  • Es gilt .
  • Ist das Funktionspaar F(t), B(t) eine Lösung der Lotka-Volterra-Differentialgleichung mit den Parametern a,b,c,d, so liegen alle Paare (F(t), B(t)) auf einer Höhenlinie der Funktion

Höhenlinien im 1. Quadranten[Bearbeiten]

  • Negative Anzahlen für Fichten- bzw. Borkenkäferpopulation in der Realität ausgeschlossen
  • Im Folgenden wird nun gezeigt, dass es ein lokales Minimum der Funktion gibt und die restlichen Höhenlinien geschlossene Kurven sind
  • Um kritische Punkte, wie z.B. Minima/Maxima zu bestimmen, muss der Gradient der Funktion bestimmt werden und dieser muss Null gesetzt werden
  • Für den Gradienten sind die Partiellen Ableitungen der Funktion F(x,y) nötig.

Partielle Ableitungen[Bearbeiten]

  • =
  • =

Nullsetzten der partiellen Ableitungen ergibt:[Bearbeiten]

  • ⇔ x =
  • ⇔ y =
  • Man hat also den kritischen Punkt (, ) = (, ) gefunden
  • zeigen, dass es sich um ein lokales Minimum handelt mit Hilfe der Hessematrix
  • positiv definitiv → lokales Minimum

Hessematrix[Bearbeiten]

  • mit Maxima erstellt, indem man eine Matrix erstellt, bei der:
  • der erste Eintrag in der ersten Spalte ist die Funktion F(x,y) zweimal nach x abgeleitet
  • der zweite Eintrag der ersten Spalte ist die Funktion zuerst nach x und dann nach y abgeleitet
  • der erste Eintrag der zweiten Spalte ist die Funktion zuerst nach y und dann nach x abgeleitet
  • der zweite Eintrag der zweiten Spalte ist die Funktion zweimal nach y abgeleitet

Es entsteht folgende Matrix mit folgenden Eigenwerten:[Bearbeiten]

Abbildung:Hessematrix und Eigenwerte
  • Beide Eigenwerte sind größer als Null → positiv definite Hessematrix → gefundener kritischer Punkt ist lokales Minimum

Höhenlinien[Bearbeiten]

  • Höhenlinien von F(x,y) sind geschlossene Kurven → F(t) und B(t) sind periodisch in t mit einer gemeinsamen Periode T.
  • erste Gleichheit gilt, da F periodisch mit Periode T ist.
  • zweite Gleichheit gilt nach der gewöhnlichen Integralrechnung, also dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
  • drittes Gleichzeichen wird verwendet, dass die logarithmische Ableitung von F(t) die Funktion ist.

Demnach sieht man:[Bearbeiten]

  • Also ist der Mittelwert der Funktion B:
  • Der Mittelwert von F ergibt sich analog mit:
  • Der Mittelwert der Bestände an Fichten und Borkenkäfern ist also unabhängig von der jeweiligen Lösung der Differentialgleichung.

Berechnung von Eigenwerten[Bearbeiten]

  • Multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor, so erhält man erneut einen Vektor.
  • Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man mit der Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor, der sich lediglich um einen Vorfaktor unterscheidet, erhält. → Eigenvektor (≠ Nullvektor), Vorfaktor als Eigenwert

Eigenwerte[Bearbeiten]

  • Um nun die Eigenwerte zu berechnen, bildet man zunächst die Matrix ist dabei die 2x2 Einheitsmatrix.
  • Man muss also auf der Diagonalen der Matrix A immer den Wert h abziehen.
  • Nun berechnet man die Determinante der neu erhaltenen 2x2 Matrix, indem man vom Produkt der Hauptdiagonalen das Produkt der Nebendiagonalen abzieht.
  • Die Determinante wird als Charakteristisches Polynom bezeichnet.
  • Um nun die Eigenwerte zu erhalten bestimmt man die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms.

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