Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Mathematische Grundlagen Uni

Mathematischer Hintergrund Zyklus 3: Uni-Niveau

Im Modellierungszyklus 3 wurde versucht, ein System von gekoppelten Differentialgleichungen zu lösen

Das Differentialgleichungssystem lautet wie folgt:

(1) $F'(t)=a\cdot F(t)-b\cdot F(t)\cdot B(t)$

(2) $B'(t)=-c\cdot B(t)+d\cdot F(t)\cdot B(t)$

Da dieses Differentialgleichungssystem nicht zu einem äquivalenten System umgewandelt werden kann, deren Differentialgleichungen unabhängig voneinander gelöst werden können, spricht man von gekoppelten Differentialgleichungen

Lösen der gekoppelten Differentialgleichungen

Zunächst werden die beiden Gleichungen umgeschrieben:

(3) $F'(t)=b\cdot F(t)\cdot (b_{0}-B(t))$

(4) $B'(t)=d\cdot B(t)\cdot (F(t)-f_{0})$

Hierbei gilt $b_{0}=a/b$ und $f_{0}=c/d$ .

Erklärung

(3) $F'(t)=b\cdot F(t)\cdot (b_{0}-B(t))$
Wachstum F'(t) ist proportional zum Bestand F(t) und zur Differenz $b_{0}-B(t)$
B(t)= der Bestand der Borkenkäfer zum Zeitpunkt t
$b_{0}$ =kritischer Wert

Falls $B(t)<b_{0}$ , so ist das Wachstum der Fichtenpopulation positiv → Fichtenpopulation nimmt zu
Falls $B(t)>b_{0}$ , so ist das Wachstum negativ → Fichtenpopulation nimmt ab

Erklärung 2

(4) $B'(t)=d\cdot B(t)\cdot (F(t)-f_{0})$
Wachstum B'(t) ist proportional zum Bestand B(t) und zur Differenz zwischen der Fichtenpopulation und dem kritischen Wert $f_{0}$
Ist $F(t)<f_{0}$ , so ist zu wenig Nahrung vorhanden → Borkenkäferpopulation nimmt ab
Gilt $F(t)>f_{0}$ , so ist Nahrung im Überfluss vorhanden → Population der Borkenkäfer nimmt zu

Erklärung 3

Gleichungen (1) und (2) bilden ein nicht lineares Gleichungssystem, da F(t) und B(t) multipliziert auftreten

Das Gleichungssystem aus den Gleichungen (1) und (2) wird folgendermaßen umgeschrieben:

(1') ${F'(t) \over F(t)}=a-b\cdot B(t)$

(2') ${B'(t) \over B(t)}=-c+d\cdot F(t)$

Es wurde durch F(t) bzw. durch B(t) geteilt, was hier zu keinem Problem führt, da im Kontext diese beiden Werte nicht 0 sein können, da sonst die Arten ausgestorben wären

Multiplizieren von (1') und (2') führt zu folgender Gleichung:

${F'(t) \over F(t)}\cdot {(-c+d\cdot F(t))}={F'(t) \over F(t)}\cdot {B'(t) \over B(t)}={(a-b\cdot B(t))}\cdot {B'(t) \over B(t)}$

Also:

${(a-b\cdot B(t))}\cdot {B'(t) \over B(t)}={F'(t) \over F(t)}\cdot {(-c+d\cdot F(t))}$
⇔ $-c\cdot {F'(t) \over F(t)}+d\cdot F'(t)=a\cdot {B'(t) \over B(t)}-b\cdot B'(t)$

Stammfunktionen finden:

Auf der rechten Seite steht die Ableitung von $a\cdot ln(B(t))-b\cdot B(t)$ und links von $-c\cdot ln(F(t))+d\cdot F(t)$ .

Diese beiden Funktionen sind Stammfunktionen derselben Funktion, weshalb sie sich nur in einer Konstante k unterscheiden → die Differenz der beiden Funktionen ergibt Konstante k

$-c\cdot ln(F(t))+d\cdot F(t)-a\cdot ln(B(t))+b\cdot B(t)=k$

Hier darf die Exponentialfunktion angewendet werden, da diese auf den ganzen Reellen Zahlen definiert ist

Exponenzieren führt zu:

${{e^{d\cdot F(t)}} \over F(t)^{c}}\cdot {{e^{b\cdot B(t)}} \over B(t)^{a}}=K$

Es gilt $K=e^{k}$ .

Ist das Funktionspaar F(t), B(t) eine Lösung der Lotka-Volterra-Differentialgleichung mit den Parametern a,b,c,d, so liegen alle Paare (F(t), B(t)) auf einer Höhenlinie der Funktion

$F(x,y)={{e^{d\cdot x}} \over x^{c}}\cdot {{e^{b\cdot y}} \over y^{a}}$

Höhenlinien im 1. Quadranten

Negative Anzahlen für Fichten- bzw. Borkenkäferpopulation in der Realität ausgeschlossen
Im Folgenden wird nun gezeigt, dass es ein lokales Minimum der Funktion gibt und die restlichen Höhenlinien geschlossene Kurven sind

Um kritische Punkte, wie z.B. Minima/Maxima zu bestimmen, muss der Gradient der Funktion bestimmt werden und dieser muss Null gesetzt werden
Für den Gradienten sind die Partiellen Ableitungen der Funktion F(x,y) nötig.

Partielle Ableitungen

${d \over dx}$ = ${{e^{b\cdot y}} \over y^{a}}\cdot$ ${{(d\cdot x-c)}\cdot {e^{d\cdot x}}\cdot {x^{c-1}}} \over {x^{2\cdot c}}$

${d \over dy}$ = ${{e^{d\cdot x}} \over x^{c}}\cdot$ ${{(b-a\cdot y)}\cdot {e^{b\cdot y}}\cdot {y^{a-1}}} \over {y^{2\cdot a}}$

Nullsetzten der partiellen Ableitungen ergibt:

$d\cdot x-c=0$
⇔ x = $c \over d$

$b\cdot y-a=0$
⇔ y = $a \over b$

Man hat also den kritischen Punkt ( $f_{0}$ , $b_{0}$ ) = ( $c \over d$ , $a \over b$ ) gefunden
zeigen, dass es sich um ein lokales Minimum handelt mit Hilfe der Hessematrix
positiv definitiv → lokales Minimum

Hessematrix

mit Maxima erstellt, indem man eine Matrix erstellt, bei der:
der erste Eintrag in der ersten Spalte ist die Funktion F(x,y) zweimal nach x abgeleitet
der zweite Eintrag der ersten Spalte ist die Funktion zuerst nach x und dann nach y abgeleitet
der erste Eintrag der zweiten Spalte ist die Funktion zuerst nach y und dann nach x abgeleitet
der zweite Eintrag der zweiten Spalte ist die Funktion zweimal nach y abgeleitet

Es entsteht folgende Matrix mit folgenden Eigenwerten:

Beide Eigenwerte sind größer als Null → positiv definite Hessematrix → gefundener kritischer Punkt ist lokales Minimum

Höhenlinien

Höhenlinien von F(x,y) sind geschlossene Kurven → F(t) und B(t) sind periodisch in t mit einer gemeinsamen Periode T.

$0=ln(F(T))-ln(F(0))=$
$\int _{0}^{T}{d \over dt}ln(F(t))dt=\int _{0}^{T}(a-b\cdot B(t))dt=a\cdot T-b\cdot \int _{0}^{T}B(t)dt$

erste Gleichheit gilt, da F periodisch mit Periode T ist.
zweite Gleichheit gilt nach der gewöhnlichen Integralrechnung, also dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
drittes Gleichzeichen wird verwendet, dass die logarithmische Ableitung von F(t) die Funktion $a-b\cdot B(t)$ ist.

Demnach sieht man:

$a\cdot T=b\cdot \int _{0}^{T}B(t)dt$

Also ist der Mittelwert der Funktion B:

$MW(B)={1 \over T}\int _{0}^{T}B(t)dt={a \over b}=b_{0}$

Der Mittelwert von F ergibt sich analog mit:

$MW(F)={1 \over T}\int _{0}^{T}F(t)dt={c \over d}=f_{0}$

Der Mittelwert der Bestände an Fichten und Borkenkäfern ist also unabhängig von der jeweiligen Lösung der Differentialgleichung.

Berechnung von Eigenwerten

Multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor, so erhält man erneut einen Vektor.
Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man mit der Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor, der sich lediglich um einen Vorfaktor unterscheidet, erhält. → Eigenvektor (≠ Nullvektor), Vorfaktor als Eigenwert

Eigenwerte

Um nun die Eigenwerte zu berechnen, bildet man zunächst die Matrix $A-h\cdot E_{2}$ $,E_{2}$ ist dabei die 2x2 Einheitsmatrix.
Man muss also auf der Diagonalen der Matrix A immer den Wert h abziehen.

Nun berechnet man die Determinante der neu erhaltenen 2x2 Matrix, indem man vom Produkt der Hauptdiagonalen das Produkt der Nebendiagonalen abzieht.
Die Determinante wird als Charakteristisches Polynom bezeichnet.

Um nun die Eigenwerte zu erhalten bestimmt man die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms.

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