Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft/Modellierungszyklus Sek 2

Ziel

mögliche Ursachen für die Unterschiede zwischen Deutschland und Niger ergründen/diskutieren
→ Hauptursache: fehlende Verhütungsmittel
Bewusstsein für die Bedeutsamkeit von Verhütungsmitteln schaffen
Bewusstsein für die unterschiedliche Sicherheit verschiedener Verhütungsmittel (Bedeutung Pearl-Index) stärken
Binomialverteilung verstehen und anwenden
Umgang mit Graphen und Diagrammen fördern

Mathematische Theorie

Definition diskreter ZV

Betrachtung eines diskreten W-Raums $(\Omega ,{\mathcal {P(\Omega )}},P)$ , $\Omega$ ist also diskret (d.h. endlich oder abzählbar unendlich)

Funktion $X$ auf $\Omega$ mit $X:\Omega \to \mathbb {R}$ , $\omega \mapsto X(\omega )$ heißt diskrete ZV

$P(X=a_{i})$ bezeichnet mit welcher W-keit $a\in X(\Omega )$ angenommen wird

Binomialverteilung

Eine diskrete ZV $X$ heißt binomialverteilt mit den Parametern $n\in \mathbb {N}$ (Versuchszahl) und $p\in [0,1]$ (Trefferwahrscheinlichkeit), falls $X(\Omega )=\left\{0,1,...,n\right\}$ und:

$P(X=k)={\dbinom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ (Verteilung von X)

Eine Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt, wenn ein Zufallsexperiment $n$ -mal (unabhängig voneinander, unter identischen Bedingungen) durchgeführt wird und $X$ die Anzahl der Versuche angibt, bei denen ein bestimmtes Ereignis (das bei einer einzelnen Durchführung die Wahrscheinlichkeit $p$ hat) eintritt.

Empirisches Gesetz der Großen Zahlen

Für ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge $\Omega$ definiert man für das Eintreten eines Ereignisses $A\subset \Omega$ bei $n$ -maliger Durchführung:

$h_{n}(a):=$ Anzahl der Durchführungen, bei denen A eingetreten ist (absolute Häufigkeit von $A$ )
$r_{n}(a):={\frac {h_{n}(a)}{n}}$ (relative Häufigkeit von $A$ )

In der Realität beobachtet man, dass sich ${\frac {h_{n}(a)}{n}}$ für große n stabilisiert (Naturgesetz: Empirisches Gesetz der Großen Zahlen).

Wird in der Anwendung zur Gewinnung von Wahrscheinlichkeiten aus Daten genutzt

Statistische Wahrscheinlichkeiten

Das Empirische Gesetz der Großen Zahlen wird in der Anwendung zur Gewinnung von Wahrscheinlichkeiten aus Daten genutzt, man spricht dann von frequentistischen Wahrscheinlichkeiten

Bezug zum Lehrplan

Leitidee Sek II:
→ „L5: Daten und Zufall“ („die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen“)
→ „L4: Funktionaler Zusammenhang“ („Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen“)
konkrete Ziele im Unterricht (Grund-& Leistungsfach):
→ „Die Begriffe „Bernoullikette“ und „Binomialverteilung“ verstehen und wissen, wie man die Werte einer Binomialverteilung bestimmen kann“
→ „Sachaufgaben zur Binomialverteilung lösen“

Modellierung

Binomialverteilung (Ländervergleich)

Darstellung der Situation aus Zyklus 1 (Anzahl/ Anteil der Schwangerschaften unter 20) durch binomialverteilte ZV
→ Frequentistische Wahrscheinlichkeiten (schätzen auf Grundlage der Daten/ Ergebnisse aus Zyklus 1)
Zufallsvariablen:

$X:$ Anzahl der Schwangerschaften von unter 20-Jährigen in Deutschland
$Y:$ Anzahl der Schwangerschaften von unter 20-Jährigen in Niger (Vereinfachende Annahme: keine Verhütung, da Anteil unter 2%, also sehr klein)

Parameter der Verteilungen

Beide Verteilungen werden (aus didaktischen Gründen) mit Variablen $n\in {1,2,...,100}$ betrachtet und werden im Folgenden exemplarisch für $n=100$ dargestellt

Deutschland: $p_{X}=0,0035$ (vgl. Zyklus 1; $X:$ ist also $B_{n,0.0035}$ -verteilt

Niger: $p_{Y}=0,0902$ (vgl. Zyklus 1; $Y$ ist also $B_{n,0.0902}$ -verteilt )

Verteilungen

Deutschland

Niger

Hauptursache: Verhütungsmittel

Annahme: Die sichtbaren Unterschiede entstehen durch die in beiden Ländern sehr verschiedene Nutzung von Verhütungsmitteln

Maß für die Sicherheit einer bestimmten Verhütungsmethode: Pearl-Index

Pearl-Index gibt an: zu wie vielen ungewollten Schwangerschaften es beim Einsatz einer bestimmten Methode kommt, die ein Jahr lang von 100 Paaren angewendet wurde

Pearl-Index entspricht also im Sinne einer frequentistischen Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit (in %), trotz der Verwendung einer bestimmten Verhütungsmethode schwanger zu werden

Pearl-Indizes gängiger Verhütungsmittel unter 20-Jähriger

Abbildung 8: Pearl-Indizes gängiger Verhütungsmittel (GeoGebra)

Binomialverteilung Verhütung

Gesammelte Daten (Pearl-Indizes) → binomialverteilte Zufallsgrößen

Wirksamkeiten der einzelnen Verhütungsmittel werden hiermit dargestellt

Für die jeweiligen Trefferwahrscheinlichkeiten wird arithmetischer Mittelwert von oberer und unterer Grenze des entsprechenden Pearl-Index genutzt

Definition der Zufallsvariablen

(i) Die ZV $Z_{1}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Pille an
(ii) Die ZV $Z_{2}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Minipille an
(iii) Die ZV $Z_{3}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit Kondom an
(iv) Die ZV $Z_{4}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Temperatur-Methode an
(v) Die ZV $Z_{5}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem Hormon-Ring an
(vi) Die ZV $Z_{6}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem Coitus Interruptus an
(vii) Die ZV $Z_{7}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem der Pille und Kondom an

Pille

$Z_{1}$ ist $B_{n,0.0075}$ -verteilt

Minipille

$Z_{2}$ ist $B_{n,0.0165}$ -verteilt

Kondom

$Z_{3}$ ist $B_{n,0.05}$ -verteilt

Temperatur-Methode

$Z_{4}$ ist $B_{n,0.02}$ -verteilt

Hormon-Ring

$Z_{5}$ ist $B_{n,0.00525}$ -verteilt

Coitus Interruptus

$Z_{6}$ ist $B_{n,0.19}$ -verteilt

Pille & Kondom

$Z_{7}$ ist $B_{n,0.000375}$ -verteilt

Interpretation

Wirksamkeit einer Verhütungsmethode ablesbar:
Je höher der Balken bei k=0 (also $P(Z_{i}=0)$ ) ist, desto sicherer ist die dargestellte Methode.

Umsetzung in GeoGebra

Die Binomialverteilung wurde durch folgenden Befehl definiert: Name=Binomial(n,p_Treffer)
Grafikrechner statt Statistik-Funktion für gleichbleibende Achsenskalierung & variables n → bessere Visualisierung bei Veränderungen
In der Tabellenkalkulation-Funktion wurden die Tabelle mit den Pearl-Indizes der einzelnen Verhütungsmethoden aus Abbildung 8 erstellt
Die Skalierung der Achsen konnte über folgenden Weg verändert werden: Rechte Maustaste → Grafik → für x-Achse und y-Achse gewünschte Skalierung eintragen
Die Farben der einzelnen Verteilungsgraphen konnte über folgenden Weg verändert werden: Rechte Maustaste auf Graph → Einstellungen → Farbe → Farbe und Deckkraft wählen

Vereinfachungen und Bewertung

Vereinfachungen

Vereinfachungen aus Sek I
Annahme: Alle Verhütungsmittel binomialverteilt (WK schwanger zu werden ist nicht immer gleich) → Trefferwahrscheinlichkeit p nicht konstant
Für Trefferwahrscheinlichkeit wurde der arithmetische Mittelwert des jeweiligen Pearl-Index benutzt
Pearl-Index bezieht sich nicht auf bestimmte Altersgruppe
Vernachlässigung Kombinationen anderer Verhütungsmittel

Bewertung

gute Visualisierung für Schüler*innen
exemplarische Werte für eine Klassenstufe berechnen (Regler in GeoGebra verschieben)
PC-Rechenleistung für große n zu schwach → Lösung: Poisson-Verteilung (Modellierungszyklus III)

Warum Umsetzung in GeoGebra?

n variable durch Schiebereglerfunktion → dynamischer
Umsetzung in Calc und Maxima aufwendiger
in Maxima nur mit Download der Stochastikfunktion möglich
Problem: Wie lange GeoGebra noch Open Source?