Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft/Modellierungszyklus Sek 2

Ziel

• mögliche Ursachen für die Unterschiede zwischen Deutschland und Niger ergründen/diskutieren
  → Hauptursache: fehlende Verhütungsmittel
• Bewusstsein für die Bedeutsamkeit von Verhütungsmitteln schaffen
• Bewusstsein für die unterschiedliche Sicherheit verschiedener Verhütungsmittel (Bedeutung Pearl-Index) stärken
• Binomialverteilung verstehen und anwenden
• Umgang mit Graphen und Diagrammen fördern

Mathematische Theorie

Definition diskreter ZV

• Betrachtung eines diskreten W-Raums $(\Omega ,{\mathcal {P(\Omega )}},P)$, $\Omega$ ist also diskret (d.h. endlich oder abzählbar unendlich)

• Funktion $X$ auf $\Omega$ mit $X:\Omega \to \mathbb {R}$, $\omega \mapsto X(\omega )$ heißt diskrete ZV

• $P(X=a_{i})$ bezeichnet mit welcher W-keit $a\in X(\Omega )$ angenommen wird

Binomialverteilung

• Eine diskrete ZV $X$ heißt binomialverteilt mit den Parametern $n\in \mathbb {N}$ (Versuchszahl) und $p\in [0,1]$ (Trefferwahrscheinlichkeit), falls $X(\Omega )=\left\{0,1,...,n\right\}$ und:

$P(X=k)={\dbinom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ (Verteilung von X)

• Eine Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt, wenn ein Zufallsexperiment $n$-mal (unabhängig voneinander, unter identischen Bedingungen) durchgeführt wird und $X$ die Anzahl der Versuche angibt, bei denen ein bestimmtes Ereignis (das bei einer einzelnen Durchführung die Wahrscheinlichkeit $p$ hat) eintritt.

Empirisches Gesetz der Großen Zahlen

• Für ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge $\Omega$ definiert man für das Eintreten eines Ereignisses $A\subset \Omega$ bei $n$-maliger Durchführung:

$h_{n}(a):=$ Anzahl der Durchführungen, bei denen A eingetreten ist (absolute Häufigkeit von $A$)
$r_{n}(a):={\frac {h_{n}(a)}{n}}$ (relative Häufigkeit von $A$)

• In der Realität beobachtet man, dass sich ${\frac {h_{n}(a)}{n}}$ für große n stabilisiert (Naturgesetz: Empirisches Gesetz der Großen Zahlen).

• Wird in der Anwendung zur Gewinnung von Wahrscheinlichkeiten aus Daten genutzt

Statistische Wahrscheinlichkeiten

• Das Empirische Gesetz der Großen Zahlen wird in der Anwendung zur Gewinnung von Wahrscheinlichkeiten aus Daten genutzt, man spricht dann von frequentistischen Wahrscheinlichkeiten

Bezug zum Lehrplan

• Leitidee Sek II:
  → „L5: Daten und Zufall“ („die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen“)
  → „L4: Funktionaler Zusammenhang“ („Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen“)
• konkrete Ziele im Unterricht (Grund-& Leistungsfach):
  → „Die Begriffe „Bernoullikette“ und „Binomialverteilung“ verstehen und wissen, wie man die Werte einer Binomialverteilung bestimmen kann“
  → „Sachaufgaben zur Binomialverteilung lösen“

Modellierung

Binomialverteilung (Ländervergleich)

• Darstellung der Situation aus Zyklus 1 (Anzahl/ Anteil der Schwangerschaften unter 20) durch binomialverteilte ZV
• → Frequentistische Wahrscheinlichkeiten (schätzen auf Grundlage der Daten/ Ergebnisse aus Zyklus 1)
• Zufallsvariablen:

$X:$ Anzahl der Schwangerschaften von unter 20-Jährigen in Deutschland
$Y:$ Anzahl der Schwangerschaften von unter 20-Jährigen in Niger (Vereinfachende Annahme: keine Verhütung, da Anteil unter 2%, also sehr klein)

Parameter der Verteilungen

• Beide Verteilungen werden (aus didaktischen Gründen) mit Variablen $n\in {1,2,...,100}$ betrachtet und werden im Folgenden exemplarisch für $n=100$ dargestellt

• Deutschland: $p_{X}=0,0035$ (vgl. Zyklus 1; $X:$ ist also $B_{n,0.0035}$-verteilt

• Niger: $p_{Y}=0,0902$ (vgl. Zyklus 1; $Y$ ist also $B_{n,0.0902}$-verteilt )

Verteilungen

Deutschland

Abbildung 6: Binomialverteilung Schwangerschaften unter 20-Jährige in Deutschland (GeoGebra)

Niger

Abbildung 7: Binomialverteilung Schwangerschaften unter 20-Jährige in Niger (GeoGebra)

Hauptursache: Verhütungsmittel

• Annahme: Die sichtbaren Unterschiede entstehen durch die in beiden Ländern sehr verschiedene Nutzung von Verhütungsmitteln

• Maß für die Sicherheit einer bestimmten Verhütungsmethode: Pearl-Index

• Pearl-Index gibt an: zu wie vielen ungewollten Schwangerschaften es beim Einsatz einer bestimmten Methode kommt, die ein Jahr lang von 100 Paaren angewendet wurde

• Pearl-Index entspricht also im Sinne einer frequentistischen Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit (in %), trotz der Verwendung einer bestimmten Verhütungsmethode schwanger zu werden

Pearl-Indizes gängiger Verhütungsmittel unter 20-Jähriger

Abbildung 8: Pearl-Indizes gängiger Verhütungsmittel (GeoGebra)

Binomialverteilung Verhütung

• Gesammelte Daten (Pearl-Indizes) → binomialverteilte Zufallsgrößen
  

• Wirksamkeiten der einzelnen Verhütungsmittel werden hiermit dargestellt
  

• Für die jeweiligen Trefferwahrscheinlichkeiten wird arithmetischer Mittelwert von oberer und unterer Grenze des entsprechenden Pearl-Index genutzt

Definition der Zufallsvariablen

(i) Die ZV $Z_{1}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Pille an
(ii) Die ZV $Z_{2}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Minipille an
(iii) Die ZV $Z_{3}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit Kondom an
(iv) Die ZV $Z_{4}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Temperatur-Methode an
(v) Die ZV $Z_{5}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem Hormon-Ring an
(vi) Die ZV $Z_{6}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem Coitus Interruptus an
(vii) Die ZV $Z_{7}$ gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem der Pille und Kondom an

Pille

$Z_{1}$ ist $B_{n,0.0075}$-verteilt

Abbildung 9: Binomialverteilung Verhütung mit Pille (GeoGebra)

Minipille

$Z_{2}$ ist $B_{n,0.0165}$-verteilt

Abbildung 10: Binomialverteilung Verhütung mit Minipille (GeoGebra)

Kondom

$Z_{3}$ ist $B_{n,0.05}$-verteilt

Abbildung 11: Binomialverteilung Verhütung mit Kondom (GeoGebra)

Temperatur-Methode

$Z_{4}$ ist $B_{n,0.02}$-verteilt

Abbildung 12: Binomialverteilung Verhütung mit Temperatur-Methode (GeoGebra)

Hormon-Ring

$Z_{5}$ ist $B_{n,0.00525}$-verteilt

Abbildung 13: Binomialverteilung Verhütung mit Hormon-Ring (GeoGebra)

Coitus Interruptus

$Z_{6}$ ist $B_{n,0.19}$-verteilt

Abbildung 14: Binomialverteilung Verhütung mit Coitus Interruptus (GeoGebra)

Pille & Kondom

$Z_{7}$ ist $B_{n,0.000375}$-verteilt

Abbildung 15: Binomialverteilung Verhütung mit Pille & Kondom (GeoGebra)

Interpretation

Wirksamkeit einer Verhütungsmethode ablesbar:
Je höher der Balken bei k=0 (also $P(Z_{i}=0)$) ist, desto sicherer ist die dargestellte Methode.

Umsetzung in GeoGebra

• Die Binomialverteilung wurde durch folgenden Befehl definiert: Name=Binomial(n,p_Treffer)
• Grafikrechner statt Statistik-Funktion für gleichbleibende Achsenskalierung & variables n → bessere Visualisierung bei Veränderungen
• In der Tabellenkalkulation-Funktion wurden die Tabelle mit den Pearl-Indizes der einzelnen Verhütungsmethoden aus Abbildung 8 erstellt
• Die Skalierung der Achsen konnte über folgenden Weg verändert werden: Rechte Maustaste → Grafik → für x-Achse und y-Achse gewünschte Skalierung eintragen
• Die Farben der einzelnen Verteilungsgraphen konnte über folgenden Weg verändert werden: Rechte Maustaste auf Graph → Einstellungen → Farbe → Farbe und Deckkraft wählen

Vereinfachungen und Bewertung

Vereinfachungen

• Vereinfachungen aus Sek I
• Annahme: Alle Verhütungsmittel binomialverteilt (WK schwanger zu werden ist nicht immer gleich) → Trefferwahrscheinlichkeit p nicht konstant
• Für Trefferwahrscheinlichkeit wurde der arithmetische Mittelwert des jeweiligen Pearl-Index benutzt
• Pearl-Index bezieht sich nicht auf bestimmte Altersgruppe
• Vernachlässigung Kombinationen anderer Verhütungsmittel

Bewertung

• gute Visualisierung für Schüler*innen
• exemplarische Werte für eine Klassenstufe berechnen (Regler in GeoGebra verschieben)
• PC-Rechenleistung für große n zu schwach → Lösung: Poisson-Verteilung (Modellierungszyklus III)

Warum Umsetzung in GeoGebra?

• n variable durch Schiebereglerfunktion → dynamischer
• Umsetzung in Calc und Maxima aufwendiger
• in Maxima nur mit Download der Stochastikfunktion möglich
• Problem: Wie lange GeoGebra noch Open Source?