Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft/Modellierungszyklus Uni

Ziel

Betrachtung einer größeren Gruppengröße
Bestimmung Anz. unter 20-Jährige, die in Niger verhüten müssten, um auf unter 6 % Jugendschwangerschaften zu kommen
dabei Vergleich Verhütung mit Kondom/ Pille
Kosten mit einbeziehen

Mathematische Theorie

Definition diskreter ZV

Betrachtung eines diskreten W-Raums $(\Omega ,{\mathcal {P(\Omega )}},P)$ , $\Omega$ ist also diskret (d.h. endlich oder abzählbar unendlich)

Funktion $X$ auf $\Omega$ mit $X:\Omega \to \mathbb {R}$ , $\omega \mapsto X(\omega )$ heißt diskrete ZV

$P(X=a_{i})$ bezeichnet mit welcher W-keit $a\in X(\Omega )$ angenommen wird

Poissonverteilung (Verteilung der seltenen Ereignisse)

Eine diskrete ZV $X$ heißt Poisson-verteilt mit Parameter $\lambda \in \mathbb {R} ^{+}$ (erwartete Ereignishäufigkeit), falls $X(\Omega )=\mathbb {N} _{0}$ und:

$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ (Verteilung von X)

→ Ergibt sich aus Binomialverteilung für große $n$ & kleine $p$ (also für seltene Ereignisse), denn ${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }=\lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}\cdot \left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\cdot \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}$

$\lambda$ wird typischerweise aus Daten gewonnen, jedoch kann man bei (passender) zugrundeliegender Binomialverteilung $\lambda =n\cdot p$ setzen

Faustregel hierfür: $n\geq 100$ und $p\leq 0,1$

Erwartungswert diskreter ZV

Für eine diskrete ZV $X$ definiert man: $E(X)=\sum _{a\in X(\Omega )}a\cdot P(X=a)\in \mathbb {R}$ falls diese Summe konvergiert.

EW bezieht sich nicht auf Daten, sondern auf eine zukünftige Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments.

Entspricht durchschnittlich zu erwartendem Wert, der von der ZV angenommen wird

Eigenschaften:

(i) $E(u\cdot X+v)=u\cdot E(X)+v$ bzw. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ (Linearität)

(ii) Falls $X,Y$ unabhängig sind: $E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)$

Erwartungswert ausgewählter diskreter ZV

Eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ hat den Erwartungswert: $E(X)=\sum _{k\in X(\Omega )}k\cdot P(X=k)=\sum _{k=0}^{n}k\cdot {\dbinom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}=n\cdot p$

Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable $Y$ hat den Erwartungswert: $E(Y)=\sum _{k\in Y(\Omega )}k\cdot P(Y=k)=\sum _{k=0}^{\infty }k\cdot {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }=\lambda$

Modellierung

Poissonverteilung

Poissonverteilung als Verbesserung für kleine p und große n (Binomialverteilung hier zu großer Rechenaufwand)
n = 2.549.082
Zufallsvariablen:

$X:$ Anzahl unter 20-Jährige, die trotz Verhütung mit der Pille schwanger werden

$Y:$ Anzahl unter 20-Jährige, die trotz Verhütung mit Kondom schwanger werden

$Z:$ Anzahl unter 20-Jährige, die ohne Verhütung in Niger schwanger werden

Parameter λ für Verteilung

Pille: $\lambda _{X}=n\cdot p=2.549.082\cdot 0,0075=19.118,115$

Kondom: $\lambda _{Y}=n\cdot p=2.549.082\cdot 0,05=127.454,1$

Niger: $\lambda _{Z}=n\cdot p=2.549.082\cdot 0,0902=229.927,1964$

Verteilungen

Pille

Kondom

Niger

Ungleichung

Ziel: Jugendschwangerschaften auf unter 6 % (Pille auch unter 2 %) drücken --> Verbesserung um 3 Prozentpunkte
gesucht: n (= Anzahl Teenager, die verhüten müssten)
6% stellen relative Häufigkeit aller Teenagerschwangerschaften dar mit oder ohne Verhütung (Mengen sind disjunkt)

$R_{n}={\frac {h}{2.549.082}}\leq 0,06$ , wobei h:= Gesamtzahl aller Jugendschwangerschaften

1) $(2.549.082-n)\cdot 0,0902$

2) $n\cdot 0,05$ (für Kondom, bzw. für Pille: 2) $n\cdot 0,0075$ )
zu 1) Schwanger ohne Verhütung, zu 2) Schwanger trotz Verhütung

Rechnung in Maxima

Aufstellung Ungleichung Kondom

Lösung Ungleichung Kondom

Lösung Ungleichung Pille 6%

Lösung Ungleichung Pille 2 %

Kostenberechnung

Schätzung Produktionskosten Kondom 10 ct pro Stück , Pille auf 2 € pro Monatspackung
Schätzung Teenager haben 10 mal im Monat Geschlechtsverkehr

Kostenfunktion

Kosten bezogen auf vorherige Ergebnisse

Kostenfunktion zeigt, dass Kosten für Pille pro Monat ca. doppelt so hoch
bezogen auf Anzahl n von Ungleichung:

Kondom: $1.914.982\cdot k(12)=22.979.784$
Pille: $930.862\cdot p(12)=22.340.688$

Unterschied von 640.000 € (Fazit folgt später)

Umsetzung in Geogebra

Poissonverteilung: Name=Poisson(λ)
Skalierung der Achsen: Rechte Maustaste → Grafik → für x-Achse und y-Achse gewünschte Skalierung eintragen
Befehl "Strahl" mit Punkt A=(0,0) und B=(1,1) für die Kostenfunktion von Kondomen (B=(1,2) für Pille)

Umsetzung in Maxima

ratsimp(%oX); → Vereinfacht den Term der in Zeile %oX steht
load(to_poly_solve); → ermöglicht die Verwendung eines Packages (beim ersten Download von Maxima dabei, aber nicht in den Standardfunktionen enthalten), dass das Lösen von Ungleichungen möglich macht
to_poly_solve(u,n); → löst die zuvor definierte Ungleichung mit dem Namen u nach der Variable n

Vereinfachungen

absolute Anzahl aller unter-20-Jährigen wurde betrachtet, können aber nicht alle schon schwanger werden
möchten ggf. keine Verhütungmittel verwenden (Kinder bedeuten in Niger oft soziale Sicherheit)
Annahme, dass Wsk., dass Frau schwanger wird jeden Tag gleich hoch ist
Abweichung von Erwartungswert wird nicht berücksichtigt
Schätzungen Produktionspreise und keine Berücksichtigung Transport/ Mengenrabatt
Schätzung Anzahl benötigte Kondome pro Monat, Frau sorgt für Verhütung

Bewertung

Jugendschwangerschaften durch die Pille deutlich stärker auf einen kleinen Anteil gedrückt
Vergleich zu Deutschland: Anteil der Schwangeren bereits viel kleiner
→ bessere Aufklärung und verbreitete Verhütung mit Pille und Kombination
→ auch Nutzung der Pille danach
Richtwert für Hilfsorganisationen kann geschaffen werden
→ zusätzliche Berücksichtigung sozialer und gesundheitlicher Aspekte

Warum Umsetzung in Maxima

Rechenschritte und Lösung nachvollziehbar

in Libre Calc Ungleichungen nicht einfach lösbar