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Mathematische Grundlagen - Zyklus 3

Funktionsgraphen im dreidimensionalen Raum

• allgemein sind Funktionen Beziehungen zwischen zwei Mengen
• bei den beiden Mengen handelt es sich um Definitionsmenge und Wertemenge, wobei jedem Elemente aus der Definitionsmenge mithilfe der Funktionsvorschrift genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird
• in Zyklus 3 handelt es sich um eine Funktion, die von $\mathbb {R} ^{2}$ auf $\mathbb {R}$ abgebildet wird
• das bedeutet, dass jedem Tupel $(y,z)$ eine reelle Zahl zugeordnet wird
• Betrachtung nur einer Teilmenge $[0,7.32]\times [0,2.44]$, also $0\leq y\leq 7.32$ und $0\leq z\leq 2.44$
• solche Funktionen können in einem Koordinatensystem dargestellt werden (in diesem Fall dreidimensional)
• $(y,z)$ stellt eine Stelle auf der horizontalen Ebene dar
• die Höhe des Punktes, der senkrecht über dieser Stelle auf dem Funktionsgraph liegt, bildet den dem Tupel zugeordneten Funktionswert

Translationsbewegungen

• Translationsbewegungen werden auch lineare Bewegungen genannt
• beschreiben Bewegungen, bei denen alle Punkte eines physikalischen Systems, in diesem Modell der Körper des Torwarts, die gleiche Verschiebung erfahren
• es gibt verschiedene Arten von Translationen: im Modell wird die gleichförmige Bewegung betrachtet
• es gilt also auch hier $v={\tfrac {s}{t}}$.

Rotationsbewegungen

• das Gegenstück zur Translation bildet die Rotation
• während bei Translationen die Punkte auf einer Linie verschoben werden, bewegen sie sich bei einer Rotationsbewegung im Kreis um ein Drehzentrum
• im Vergleich zur Translation überlaufen die Punkte keine Strecke, sondern einen Winkel
• damit lässt sich die sogenannte Winkelgeschwindigkeit wie folgt beschreiben: ${\text{ω}}={\tfrac {\varphi }{t}}$

Skalarprodukt

• mithilfe des Skalarprodukts zweier Vektoren kann der zu überschreitende Winkel berechnet werden, den der Arm bei der Rotationsbewegung zurücklegt
• generell wird zwei Vektoren beim Anwenden des Skalarprodukts eine Zahl zugeordnet
• geometrisch gilt: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$
• nach Umstellung: $\varphi =\arccos {\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}$
• mithilfe dieser Gleichung kann dann durch die beiden Vektoren, die sich aus dem Schulterpunkt und dem Treffpunkt beziehungsweise dem Schulterpunkt und dem Handpunkt ergibt, den Winkel berechnen, den der Arm bei der Rotationsbewegung zurücklegt

Maximum zweier Zahlen

• $max(.)$ gibt das größte Element einer Menge an

 $max(x,y)=x,falls:x>y$ ,
 $max(x,y)=y,falls:x<y$,
 $max(x,y)=x=y,falls:x=y$.