Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sprache und Semantische Netze/Mathematische Theorie

Modellierungszyklus 1

mathematische Theorie des 1. Modellierungszyklus (Sek I und Sek II)

Berechnung arithmetisches Mittel 1

• benötigt um Durchschnittspunkte der Epochen zu bestimmen
• durchgeführt mit Tabellenkalkulationsprogramm

• gibt Zentrum einer Verteilung an ("Mittelpunkt der Messwerte")
• keine Auskunft über Streuung der Werte

Berechnung arithmetisches Mittel 2

• für eine Zahlenmenge $A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$:

${\bar {x}}={\frac {\{a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\}}{n}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}$

• Bsp.: $A=\{2,3,6,7\}$

${\bar {x}}={\frac {2+3+6+7}{4}}={\frac {9}{2}}$

Bruch als Anteil

• benötigt um Merkmale der Gedichte in Tabelle darzustellen

• $Anteil={\frac {Bruchteil}{Ganzes}}$

• Bsp.: 5 von 14 $={\frac {5}{14}}$

Umwandlung Brüche in Prozentschreibweise

• benötigt um prozentuale Angaben in Tabelle zu erstellen

• Prozent: von Hundert
• Prozente: Brüche, die im Nenner den Wert 100 haben
• Bruch in Prozentschreibweise bringen: Nenner auf 100 kürzen/erweitern oder Zehntel- und Hundertstelstelle als Prozentzahl verwenden
• Bsp. 1: ${\frac {4}{20}}={\frac {20}{100}}=20\%$
• Bsp. 2: $2:7\approx 0{,}285714\approx 0{,}29\approx 29\%$

kartesisches Koordinatensystem

kartesisches Koordinatensystem 1

• benötigt um Punkte der Gedichte darzustellen, spätere Berechnung Abstände im ℝ³
• Darstellung: mit GeoGebra

• Koordinatensystem im euklidischen Raum ℝ³: System von 3 skalierten Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt (Ursprung O) verlaufen und nicht in einer Ebene liegen
• kartesisches Koordinatensystem: Achsen bilden jeweils rechte Winkel (Renè Descartes) bzw. gebildet durch 3 paarweise zueinander orthogonalen Vektoren

kartesisches Koordinatensystem 2

• Punkt im Raum: eineindeutiges Zahlentripel (x,y,z)
• Elemente x,y,z: Koordinaten des Punktes
• im Raum: Punkt P hat eineindeutigen Ortsvektor $OP=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}$ (x,y,z Koordinaten des Punktes, e₁,e₃,e₃ Einheitsvektoren)

Darstellung der Punkte im ℝ³

• benötigt um Punkte der Gedichte darzustellen, spätere Berechnung Abstände im ℝ³
• Darstellung: mit GeoGebra

• Bsp.: Punkt P(3,4,5) -> von Ursprung drei Einheiten in Richtung positiver x-Achse, vier Einheiten in Richtung positiver y-Achse und 5 Einheiten in Richtung positiver z-Achse

Abstand zweier Punkte im ℝ³

• benötigt um Radius Kugeln zu bestimmen, Testgedichte zu Epochen zuzuordnen
• Darstellung: mit GeoGebra

Herleitung über die Quaderdiagonale 1

Quader zur Berechnung der Abstände zweier Punkte im Raum

• gesucht: Abstand P(p₁,p₂,p₃) und Q(q₁,q₂,q₃) im Raum
• P,Q als Eckpunkte eines achsenparallelen Quaders im kartesischen Koordinatensystem
• Abstand PQ entspricht Raumdiagonale Quader

Herleitung über die Quaderdiagonale 2

Quader zur Berechnung der Abstände zweier Punkte im Raum

• Kantenlängen des Quaders entsprechen Betrag der Differenz der Koordinaten
• $\left|{\overrightarrow {PA}}\right|=a_{1}=q_{1}-p_{1}$, $\left|{\overrightarrow {AB}}\right|=a_{2}=q_{2}-p_{2}$, $\left|{\overrightarrow {BQ}}\right|=a_{3}=q_{3}-p_{3}$

Herleitung über die Quaderdiagonale 3

• alle Kanten Quader orthogonal zueinander (,da achsenparallel) $\Rightarrow$ PAB, PBQ rechtwinklige Dreiecke
• Satz des Pythagoras zur Berechnung $\left|d\right|$ und $\left|{\overrightarrow {PQ}}\right|$ anwendbar

$\left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=d^{2}+a_{3}^{2}$

$d^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$

Herleitung über die Quaderdiagonale 4

• durch Einsetzen der zweiten in die erste Gleichung erhält man:

$\left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}$

$\Rightarrow \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}}$

• wegen Quadrieren auch Reihenfolge $(p_{1}-q_{1})^{2}$ möglich
• in Formel werden die Koordinaten des Verbindungsvektors ${\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {q}}-{\overrightarrow {p}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)$ quadriert

Beispiel: Herleitung über die Quaderdiagonale

Bsp.: P(1,2,3), Q(6,7,8)

dann: A(6,2,3), B(6,7,3)

$\left|{\overrightarrow {PA}}\right|=a_{1}=q_{1}-p_{1}=6-1=5$

$\left|{\overrightarrow {AB}}\right|=a_{2}=q_{2}-p_{2}=7-2=5$

$\left|{\overrightarrow {BQ}}\right|=a_{3}=q_{3}-p_{3}=8-3=5$

$\left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=(5)^{2}+(5)^{2}+(5)^{2}=75$

$\Rightarrow \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|={\sqrt {(5)^{2}+(5)^{2}+(5)^{2}}}={\sqrt {75}}$

Satz des Pythagoras 1

Satz des Pythagoras

• rechtwinkligen Dreiecken: Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates
• $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Satz des Pythagoras 2

Berechnung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck

z.B. $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Beispiel: Satz des Pythagoras

a=3 b=4

$c^{2}=a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25\Rightarrow c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5$

Vektoren im ℝ³ 1

• Vektor: eine Größe, zu deren vollständiger Beschreibung neben einer Zahl die Angabe einer Richtung erforderlich ist.
• Ortsvektor ${\overrightarrow {OA}}$ eines Punktes A hat die selben Koordinaten wie A: A(x,y,z) $\Rightarrow {\overrightarrow {OA}}=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)$

Vektoren im ℝ³ 2

• Verbindungsvektor: Vektor, der 2 Punkte P,Q verbindet
• Koordinaten des Verbindungsvektors ${\overrightarrow {PQ}}$ entsprechen Koordinatendifferenzen der Punkte

P(p₁,p₂,p₃), Q(q₁,q₂,q₃)

${\overrightarrow {PQ}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)$

Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung

• Länge des Verbindungsvektors zweier Punkte: Abstand der Punkte
• Länge Verbindungsvektor durch Betrag Verbindungsvektor (Norm des Verbindungsvektor)
• $\left|{\overrightarrow {A}}\right|=\left|\left({\begin{array}{c}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{array}}\right)\right|={\sqrt {(x_{A})^{2}+(y_{A})^{2}+(z_{A})^{2}}}$
• $\left|{\overrightarrow {PQ}}\right|=\left|\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)\right|={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}}$

Beispiele: Vektoren im ℝ³, Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung 1

• Ortsvektor zu Punkt P

P(1,3,5) $\Rightarrow {\overrightarrow {OP}}=\left({\begin{array}{c}1\\3\\5\end{array}}\right)$

• Koordinaten Verbindungsvektor ${\overrightarrow {PQ}}$

P(1,3,5), Q(2,4,6)

${\overrightarrow {PQ}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}2-1\\4-3\\6-5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}}\right)$

Beispiele: Vektoren im ℝ³, Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung 2

Länge Verbindungsvektor durch Betrag Verbindungsvektor (Norm des Verbindungsvektor)

P(1,3,5), Q(2,4,6)

${\begin{aligned}\left|{\overrightarrow {PQ}}\right|&=\left|\left({\begin{array}{c}2-1\\4-3\\6-5\end{array}}\right)\right|\\&={\sqrt {(2-1)^{2}+(4-3)^{2}+(6-5)^{2}}}\\&={\sqrt {(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}}\\&={\sqrt {3}}\end{aligned}}$

Topologie, Metrik, Normen

Topologie

• Topologie: Teilgebiet der Mathematik -> ermöglicht intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“
• topologische Räume werden definiert, in dem man beispielsweise Norm auf Grundräumen definiert
• Topologie: Mengensystem ${\mathcal {T}}$ bestehend aus Teilmengen (offene Mengen) einer Grundmenge ${\mathcal {X}}$ für die, die Axiome

(T1) $\emptyset {,}{\mathcal {X}}\in {\mathcal {T}}$

(T2) ${\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${\mathcal {U}}{,}{\mathcal {V}}\in {\mathcal {T}}$

(T3) Für eine beliebige Indexmenge ${\mathcal {I}}$ und ${\mathcal {U}}_{i}\in {\mathcal {T}}$ gilt für alle ${\mathcal {i}}\in {\mathcal {I}}$: $\bigcup _{{\mathcal {i}}\in {\mathcal {I}}}{\mathcal {U}}_{i}\in {\mathcal {T}}$

• Menge ${\mathcal {X}}$ mit Topologie ${\mathcal {T}}$ auf ${\mathcal {X}}$: typologischer Raum $\left({\mathcal {T}}{,}{\mathcal {X}}\right)$

Metrik

• Metrik ${\mathcal {d}}$: Zuordnung von Abstand ${\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})$ zwischen ${\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}$ zu Elementen ${\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {X}}$ aus Grundraum ${\mathcal {X}}$
• Definition:

Sei ${\mathcal {X}}$ beliebige Menge

Abbildung ${\mathcal {d}}:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {R}$ heißt Metrik auf ${\mathcal {X}}$, wenn für beliebige Elemente

${\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}{,}{\mathcal {z}}$ von ${\mathcal {X}}$ folgende Axiome erfüllt sind:

(M1) Trennung: ${\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})=0\Leftrightarrow {\mathcal {x}}={\mathcal {y}}$

(M2) Symmetrie: ${\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})={\mathcal {d}}({\mathcal {y}}{,}{\mathcal {x}})$

(M3) Dreiecksungleichung: ${\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})\leq {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {z}})+{\mathcal {d}}({\mathcal {z}}{,}{\mathcal {y}})$

• Nichtnegativität: ${\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})\geq 0$

Norm 1

• Norm auf Vektorräumen:

- Abbildung $\parallel \cdot \parallel$ von einem Vektorraum ${\mathcal {V}}$ über einem Körper $\mathbb {K}$ der reellen oder komplexen Zahlen in $\mathbb {R} _{0}^{+}$

- ordnet jedem Vektor ${\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}$ seine Länge $\parallel {\mathcal {x}}\parallel$ zu

Norm 2

• Definition:

Sei ${\mathcal {V}}$ ein $\mathbb {K}$-Vektorraum und $\parallel \cdot \parallel :{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} _{0}^{+}{,}{\mathcal {x}}\mapsto \parallel {\mathcal {x}}\parallel$

Abbildung $\parallel \cdot \parallel$ heißt Norm, wenn Axiome (N1),(N2),(N3) erfüllt sind:

(N1) Definitheit: $\parallel {\mathcal {x}}\parallel =0\Rightarrow {\mathcal {x}}=0$ für alle ${\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}$

(N2) absolute Homogenität: $\parallel \lambda \cdot {\mathcal {x}}\parallel =\left|\lambda \right|\cdot \parallel {\mathcal {x}}\parallel$ für alle ${\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}$ und $\lambda \in \mathbb {K}$

(N3) Dreiecksungleichung: $\parallel {\mathcal {x}}+{\mathcal {y}}\parallel \leq \parallel {\mathcal {x}}\parallel +\parallel {\mathcal {y}}\parallel$ für alle ${\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {V}}$

Norm 3

• normierter Raum / metrischer Raum: normierter Raum $\left({\mathcal {V}}{,}\parallel \cdot \parallel \right)$ ist zugleich metrischer Raum

- Norm $\parallel \cdot \parallel$ ordnet Vektor ${\mathcal {v}}\in {\mathcal {V}}$ seine Vektorlänge $\parallel {\mathcal {v}}\parallel$ zu

- Mit der Norm $\parallel \cdot \parallel$ kann man über ${\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}):=\parallel {\mathcal {x}}-{\mathcal {y}}\parallel$ eine Metrik definieren

Beispiele: Normen für Vektoren 1

• euklidische Norm (2-Norm):
• Definition: $\|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{2}:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$
• beschreibt im $\mathbb {R} ^{2}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ die Länge von Vektoren
• Bsp.: $\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{2}={\sqrt {(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}}={\sqrt {29}}$

Beispiele: Normen für Vektoren 2

• nicht verwendete Normen:
• 1-Norm:
• Definition: $\|\cdot \|_{1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{1}:=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\dotsb +\left|x_{n}\right|$
• Bsp.: $\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{1}=\left|2\right|+\left|3\right|+\left|4\right|=9$

• Maximum-Norm:
• Definition: $\|\cdot \|_{max}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{max}:=max\{\left|x_{1}\right|{,}\left|x_{2}\right|{,}\dotsb {,}\left|x_{n}\right|\}$
• Bsp.: $\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{max}=max\{\left|2\right|{,}\left|3\right|{,}\left|4\right|\}=4$

Kugelgleichung 1

• benötigt um Kugeln der Epochen zu definieren
• Darstellung: mit GeoGebra

• Definition Kugel: Menge aller Punkte X des Raumes, die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kugel(fläche) k mit Mittelpunkt M und Radius r.

$k[M,r]=\{X\in \mathbb {R} ^{3};{\overline {XM}}=r\}$

Kugelgleichung 2

• Vektorform der Kugelgleichung: $(X-M)^{2}=r^{2}$
• Koordinatenform der Kugelgleichung für $X=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)$ und $M=\left({\begin{array}{c}x_{M}\\y_{M}\\z_{M}\end{array}}\right)$: $(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}+(z-z_{M})^{2}=r^{2}$

(ergibt sich aus Anwendung skalarer Multiplikation auf Vektorform)

Beispiel: Kugelgleichung

M(2,3,4), r=5

Vektorform: $\left(\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right)^{2}=5^{2}$

Koordinatenform: $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(z-4)^{2}=5^{2}$

Modellierungszyklus 2

mathematische Theorie des 2. Modellierungszyklus (Universitätsniveau)

vektorwertige Funktionen

• benötigt zum Aufstellen der Funktion f für die Zuordnung

• Zielmenge ${\mathcal {V}}$ ist Vektorraum ($f:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {V}}$)
• Struktur Definitionsmenge ${\mathcal {D}}$ nicht relevant
• Bsp.: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$, $f(x)=\left({\begin{array}{c}x^{2}\\-3x\end{array}}\right)$

Funktionen mehrerer Veränderlicher

• benötigt zur Bestimmung der Fehlerfunktion und für Berechnungen anhand dieser
• Definitionsbereich ${\mathcal {D}}$ ist Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ (n Veränderliche)
• ordnet durch Funktion f n-Tupel aus $\mathbb {R} ^{n}$ eine reelle Zahl zu
• $f:\mathbb {R} ^{n}\supseteq {\mathcal {D}}\to \mathbb {R}$
• Bsp.: $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, $f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}$

Normen 1

• benötigt zur Berechnung des Fehlers der Funktion f, Aufstellen der Fehlerfunktion, Berechnung Vektorlänge Gradient

• Norm auf Vektorräumen:

- Abbildung $\parallel \cdot \parallel$ von einem Vektorraum ${\mathcal {V}}$ über einem Körper $\mathbb {K}$ der reellen oder komplexen Zahlen in $\mathbb {R} _{0}^{+}$

- ordnet jedem Vektor ${\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}$ seine Länge $\parallel {\mathcal {x}}\parallel$ zu

Normen 2

• Definition:

Sei ${\mathcal {V}}$ ein $\mathbb {K}$-Vektorraum und $\parallel \cdot \parallel :{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} _{0}^{+}{,}{\mathcal {x}}\mapsto \parallel {\mathcal {x}}\parallel$

Abbildung $\parallel \cdot \parallel$ heißt Norm, wenn Axiome (N1),(N2),(N3) erfüllt sind:

(N1) Definitheit: $\parallel {\mathcal {x}}\parallel =0\Rightarrow {\mathcal {x}}=0$ für alle ${\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}$

(N2) absolute Homogenität: $\parallel \lambda \cdot {\mathcal {x}}\parallel =\left|\lambda \right|\cdot \parallel {\mathcal {x}}\parallel$ für alle ${\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}$ und $\lambda \in \mathbb {K}$

(N3) Dreiecksungleichung: $\parallel {\mathcal {x}}+{\mathcal {y}}\parallel \leq \parallel {\mathcal {x}}\parallel +\parallel {\mathcal {y}}\parallel$ für alle ${\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {V}}$

Normen 3

• normierter Raum / metrischer Raum: normierter Raum $\left({\mathcal {V}}{,}\parallel \cdot \parallel \right)$ ist zugleich metrischer Raum

- Norm $\parallel \cdot \parallel$ ordnet Vektor ${\mathcal {v}}\in {\mathcal {V}}$ seine Vektorlänge $\parallel {\mathcal {v}}\parallel$ zu

- Mit der Norm $\parallel \cdot \parallel$ kann man über ${\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}):=\parallel {\mathcal {x}}-{\mathcal {y}}\parallel$ eine Metrik definieren

Beispiele: Normen für Vektoren 1

• euklidische Norm (2-Norm):

Definition: $\|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{2}:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$

beschreibt im $\mathbb {R} ^{2}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ die Länge von Vektoren

Bsp.: $\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{2}={\sqrt {(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}}={\sqrt {29}}$

Beispiele: Normen für Vektoren 2

• nicht verwendete Normen:
• 1-Norm:

Definition: $\|\cdot \|_{1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{1}:=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\dotsb +\left|x_{n}\right|$

Bsp.: $\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{1}=\left|2\right|+\left|3\right|+\left|4\right|=9$

• Maximum-Norm:

Definition: $\|\cdot \|_{max}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{max}:=max\{\left|x_{1}\right|{,}\left|x_{2}\right|{,}\dotsb {,}\left|x_{n}\right|\}$

Bsp.: $\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{max}=max\{\left|2\right|{,}\left|3\right|{,}\left|4\right|\}=4$

Fehlerrechnung

• benötigt zur Berechnung des Fehlers von f, Aufstellen der Fehlerfunktion E zu f
• beschäftigt sich mit dem Einfluss von Messfehlern (Abweichungen der Messwerte von wahren Werten) auf das Messergebnis
• Bsp. anhand unserer Modellierung: Messfehler treten bei den Funktionswerten unserer Funktion f auf, da diese von den "perfekten" Zuordnungen abweichen.

quadratischer Fehler

• quadratische Differenz zwischen den berechneten Werten und den wahren Werten

$F(t_{i})=(\left|\left(f(t_{i})-z(t_{i})\right)\right|)^{2}$

• Gesamtfehler durch Berechnung der Summe der quadratischen Differenzen zwischen den berechneten Werten und den wahren Werten
• durch das Quadrieren: positiv und differenzierbar (-> Gradientenabstiegsverfahren)

Beispiel: quadratischer Fehler

• Bsp. für einen Wert:

$f(t_{i})=\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)$, $z(t_{i})=\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right)$

${\begin{aligned}(\left|f(t_{1})-z(t_{1})\right|)^{2}&=\left(\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right)\right|\right)^{2}\\&=\left(\left|\left({\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}}\right)\right|\right)^{2}\\&=\left({\sqrt {1^{2}+3^{2}+4^{2}}}\right)^{2}=26\end{aligned}}$

Fehlerfunktion

• Funktion zur Bestimmung des Fehlers einer ursprünglichen Funktion f
• Funktion bestehend aus der Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte von f und der wahren Werte (-> quadratischer Fehler)
• feste Werte von f werden zu Variablen umgewandelt, damit diese Werte verbessert werden können (Fehler minimiert) -> Funktionswerte von f sollen dadurch so nah wie möglich an den wahren Werten liegen
• Funktionswert von E abhängig von den festen Werten von f

Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate 1

• Verfahren zur Ausgleichsrechnung
• Ausgleichsrechnung: math. Optimierungsmethode, um Parameter einer Funktion bestimmen, um diese Funktion bestmöglich an wahre Werte anzunähern
• Bestimmen, ob die Funktion f ein guter Ersatz für eine Funktion ist, die die wahren Werte ausgibt.
• Bestimmen der Summe der Fehlerquadrate (-> quadratischer Fehler) -> darstellbar durch Funktion F
• je kleiner Summe der Fehlerquadrate, desto besser Funktion f zum approximieren der wahren Werte

Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate 2

• Fehlerquadrate zeigen den Abstand des wahren Wertes vom Funktionswert f (euklidische Norm/Länge eines Vektors) -> je kürzer Fehlervektor, desto besser ist Funktion f

$\|(f(t_{i})-z(t_{i}))\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|f(t_{i})-z(t_{i})|^{2}}}$

• Ziel: Erstellen eines Fehlervektors mit der Länge 0
• Idee: Verwendung der Differentialrechnung auf von Parametern abhängige Fehlerfunktion E (gibt Fehler der Funktion aus) um Fehlerquadrate zu minimieren

-> finden des Minimums der Funktion E

Gradientenabstiegsverfahren

• benötigt zur Optimierung der Funktion f (Minimierung des Fehlers)
• Verfahren, um Optimierungsprobleme zu lösen
• hier: Verfahren zum Finden des Minimums einer Funktion mehrerer Veränderlicher (mehrdimensional)

Gradientenabstiegsverfahren allgemein

• Einsetzbarkeit: zur Minimierung einer reellwertigen, differenzierbaren Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$
• Optimierungsproblem: ${\underset {x\in \mathbb {R} ^{n}}{\rm {min}}}\ f(x)$
• sehr langsame Konvergenz
• negativer Gradient zeigt in Richtung stärkster Abfall der Funktionswerte von f
• Annäherung an das Minimum in Schritten (Schrittweite wird festgelegt und muss bei Überspringen des Minimums möglicherweise verkleinert werden)

Vorgehen Gradientenabstiegsverfahren 1

• Abbruchbedingung: durch Iterationsschritte wird Stelle gefunden, an der der Gradient von f der Nullvektor ist
• Gradient ist nicht Nullvektor: Normierung des Gradienten auf Länge 1, multiplizieren mit Schrittweite α_j
• halbieren der Schrittweite, wenn nach dem Iterationsschritt Funktionswert nicht minimiert wird

Vorgehen Gradientenabstiegsverfahren 2

• Start: Auswählen einer Stelle x⁽⁰⁾ aus Definitionsbereich von f, für die das Minimum angenähert werden soll
• Richtung des steilsten Abstiegs: bestimmt durch $-Grad\left(f(x^{(j)})\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ (negativer Gradient von f an Stelle x)

-> stellt Richtungsvektor dar, der in Richtung des steilsten Abfalls zeigt -> in diese Richtung müssen Variablen verändert werden

• falls $-Grad\left(f(x^{(j)})\right)=0$ Abbruch des Verfahren (lokales Minimum gefunden)
• Normierung des Richtungsvektors: durch $d^{(j)}=-{\frac {Grad\left(f(x^{(j)})\right)}{\left\|Grad\left(f(x^{(j)})\right)\right\|}}:$ mit der euklidischen Norm $\|x\|:=\|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|:={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}$

-> der Richtungsvektor erhält dadurch die Länge 1

Vorgehen Gradientenabstiegsverfahren 3

• Veränderung der x-Werte: $x^{(j+1)}={\begin{cases}x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)},&{\text{wenn }}f(x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)})<f(x^{(j)}){\text{ }}{\text{ (Verbesserung) }}\\x^{(j)},&{\text{sonst }}\end{cases}}$

falls keine Optimierung des Funktionswertes durch Addition der x^(j) mit der Schrittweite multipliziert mit dem normierten Richtungsvektor entstanden ist: bleibt x^(j) im nächsten Iterationsschritt gleich, ansonsten wird x^(j) mit der Schrittweite multipliziert mit dem normierten Richtungsvektor addiert und bildet dadurch x^(j+1)

Vorgehen Gradientenabstiegsverfahren 4

• Festlegen der Schrittweite: Verwendung der anfangs gewählten Schrittweite α_j bis keine Optimierung des Funktionswertes mehr durch den Iterationsschritt entsteht -> dann Halbierung α_j

$\alpha ^{(j+1)}={\begin{cases}\alpha ^{(j)},&{\text{wenn }}f(x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)})<f(x^{(j)}){\text{ (Verbesserung) }}\\{\frac {\alpha ^{(j)}}{2}},&{\text{sonst }}\end{cases}}$

(könnte auch anstatt einer Halbierung durch Multiplikation mit einem festgelegten Faktor $\delta$ ($0<\delta <1$) verändert werden)

Differentialrechnung

• Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen
• 1.Ableitung: gibt Steigung der Funktion an
• Ableitung der Funktion (entspricht Tangentensteigung im Punkt)
• Anwendung: Bestimmen von Extremwerten
• Bsp.: $f(x)=x^{2}+3x$

$f'(x)=2x+3$

Ableitungsregeln

• Faktorregel: $f(x)=c*g(x)-->f'(x)=c*g'(x)$

Bsp.: $f(x)=2*x^{3}-->f'(x)=6*x^{2}$

• Produktregel :$f(x)=g(x)*h(x)-->f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)$

Bsp.: $f(x)=x^{3}*x^{5}-->f'(x)=3x^{2}*x^{5}+x^{3}*5x^{4}=3x^{7}+5*x^{7}=8*x^{7}$

• Quotientenregel : $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}-->f'(x)={\frac {h(x)*g'(x)-g(x)*h'(x)}{{h(x)}^{2}}}$

Bsp.: $f(x)={\frac {x^{3}}{x^{5}}}-->f'(x)={\frac {x^{5}*3*x^{2}-x^{3}*5*x^{4}}{(x^{5})^{2}}}={\frac {3*x^{7}-5*x^{7}}{x^{10}}}=-2x^{-3}$

• Kettenregel :$f(x)=g(h(x))-->f'(x)=g'(h(x))*h'(x)$

Bsp.:$f(x)=(x^{4}+5)^{2}-->f'(x)=2*(x^{4}+5)*4*x^{3}$

partielle Ableitung 1

• Ableitung Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, die von mehreren Veränderlichen abhängt
• "Festhalten" aller Veränderlicher bis auf eine Veränderliche x_i

-> Entstehung Funktion, die nur von einer Veränderlichen x_i abhängt

• Berechnung der Ableitung nach x_i, andere Veränderliche werden wie Konstanten behandelt

partielle Ableitung 2

• Bezeichnungen: ${\frac {df}{dx_{i}}}={\mathcal {D}}_{i}f=f_{x_{i}}=\delta _{i}f$
• n Ableitungen pro Funktion möglich

-> "gesammelt" in einem Vektor: Gradient von f

$\operatorname {grad} (f)=\nabla (f)=\left({\frac {df}{dx_{1}}}{,}\ldots {,}{\frac {df}{dx_{n}}}\right)^{T}=\left({\mathcal {D}}_{1}f{,}\ldots {,}{\mathcal {D}}_{n}f\right)^{T}$

Beispiel: partielle Ableitung

$f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}$

$(\delta _{1}f)(x)={\frac {df}{dx_{1}}}=2x_{1}+2x_{2}$

$(\delta _{2}f)(x)={\frac {df}{dx_{2}}}=2x_{1}$

Gradient

• Spaltenvektor, der alle partiellen Ableitungen einer Funktion f mit mehreren Veränderlichen enthält
• $\operatorname {grad} (f)=\nabla (f)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial a_{n}}}\end{pmatrix}}$
• an Stelle x₀: $\operatorname {grad} (f)(x_{0})=\nabla (f)(x_{0})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x_{0})\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x_{0})\end{pmatrix}}$
• zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs

Beispiel: Gradient

$f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}$

$(\delta _{1}f)(x)={\frac {df}{dx_{1}}}=2x_{1}+2x_{2}$

$(\delta _{2}f)(x)={\frac {df}{dx_{2}}}=2x_{1}$

$\operatorname {grad} (f)(x)=\nabla (f)(x)={\begin{pmatrix}2x_{1}+2x_{2}\\2x_{1}\end{pmatrix}}$

Stelle $x_{0}=(2,3)$

$\operatorname {grad} (f)(2,3)=\nabla (f)(2,3)={\begin{pmatrix}2\cdot 2+2\cdot 3\\2\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}}$

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