Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Torwahrscheinlichkeit Handball/Uni-Niveau

Daten

Die Grundlage des Modells bilden die Daten der Rhein-Neckar-Löwen aus 10 betrachteten Spiele der Saison 17/18. Durch Anschauen der einzelnen Spiele wurden die gefallenen Tore sowie die Fehlwürfe nach den Abwurfpositionen der einzelnen Spieler notiert und in GeoGebra zur besseren Veranschaulichung eingetragen:

Daraus ergab sich folgende Legende:

• die roten Punkte: Spieler auf der Position Rechts Außen,
• die schwarzen Punkte: Spieler mit der Position Rechts Rückraum,
• die rosa Punkte: Spieler mit der Position Rückraum Mitte,
• die grünen Punkte: Spieler mit der Position Kreis,
• die gelben Punkte: Spieler der Position Links Rückraum
• die blauen Punkte: Spieler der Position Links Außen

In dieser Graphik werden die Treffer nach den einzelnen Spielerpositionen dargestellt. Notiert wurde die Abwurfposition des Spielers. Das Feld wurde zwischen der 10-Meter Linie und der Torlinie in 10 gleichmäßige Rechtecke eingeteilt. In diesen einzelnen Rechtecken soll die jeweilige Trefferwahrscheinlichkeit der Rhein-Neckar-Löwen berechnet werden. Dabei wurde die obere Reihe an Rechtecken von links nach rechts von 1 bis 5 durchnummeriert, die untere Reihe erhielt die Zahlen 6 bis 10 von links nach rechts.

Diese Graphik veranschaulicht die Fehlwürfe der verschiedenen Spieler nach Abwurfposition. An dieser Stelle wird die Wahrscheinlichkeit für Fehlwürfe der Rhein-Neckar-Löwen berechnet. Unterschieden wurde außerdem nach den vorgesehenen Positionen der Spieler, die das Tor geworfen haben. Daraus ergab sich folgende Legende:

• die roten Kreuze: Spieler auf der Position Rechts Außen,
• die schwarzen Kreuze: Spieler mit der Position Rechts Rückraum,
• die rosa Kreuze: Spieler mit der Position Rückraum Mitte,
• die grünen Kreuze: Spieler mit der Position Kreis,
• die gelben Kreuze: Spieler der Position Links Rückraum
• die blauen Kreuze: Spieler der Position Links Außen

Die gesammelten Daten wurden anschließend in eine Tabelle in Excel übertragen. Für die einzelnen Rechtecke wurde jeweils die Trefferwahrscheinlichkeit (Bild 1), sowie die Wahrscheinlichkeit eines Fehlwurfs (Bild 2) berechnet. Dabei haben wir für jedes Rechteck die Anzahl der Treffer beziehungsweise die Anzahl der Fehlwürfe durch die Gesamtanzahl der Treffer beziehungsweise die Gesamtanzahl der Fehlwürfe in unserem Betrachtungsraum geteilt.

Zyklus 1

In einem ersten Zyklus werden Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der einzelnen Rechtecke erstellt. Dies wird zum einen für die Trefferwahrscheinlichkeiten, zum anderen für die Wahrscheinlichkeit der Fehlwürfe durchgeführt. Erstellt wurden Wahrscheinlichkeitsdichten für die Rechtecke 1 bis 5 und 6 bis 10 waagerecht, sowie insgesamt fünf Dichtefunktionen für die Rechtecke senkrecht (Rechtecke 1 und 6, 2 und 7, 3 und 8, 4 und 9, 5 und 10).

Das Ziel dieses ersten Zyklus ist es, die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Reihen auf einen ersten Blick miteinander vergleichen zu können. Der höchste Peak der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen besitzt auch die höchste Treffer- beziehungsweise Fehlerwahrscheinlichkeit je nach Betrachtung. Außerdem möchten wir wissen, auf welcher Position die meisten Torchancen verwertet werden bzw. die meisten Fehlwürfe statt finden.

Unser Modell ist von vielerlei Nutzen für die Rhein-Neckar-Löwen selbst, aber auch für ihre Gegner. Auf Seiten der Rhein-Neckar-Löwen können die Spieler herausfinden, von welcher Position aus sie am torgefährlichsten sind beziehungsweise die meisten Fehlwürfe haben und somit ihre Stärken und Schwächen im Angriff ermitteln. Dies kann zu einer Verbesserung des Spiels der Rhein-Neckar-Löwen beitragen. Andererseits können die Gegner sich anhand unseres Modells besser auf die Rhein-Neckar-Löwen einstellen. Sie können ihre Abwehr auf die Stärken und Schwächen der Rhein-Neckar-Löwen abstimmen und Spielstrategien entwickeln.

Folgende Graphik zeigt ein Beispiel für die Dichtefunktionen der Trefferwahrscheinlichkeit, erstellt in GeoGebra, der Rechtecke 1 bis 5 in der unteren Reihe waagerecht:

Gearbeitet wurde hier mit Funktionen des Typs $f(x)=u/(1+((x-a)^{2})/s)$.

Der Flächeninhalt der Dichtefunktion sollte den gleichen Wert wie die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Rechtecks haben. Dadurch konnte auch gewährleistet werden, dass alle Dichtefunktionen zusammen einen Flächeninhalt von 1 haben, da wir die jeweiligen Treffer beziehungsweise Fehlwürfe in einem Rechteck auf die Gesamtzahl dieser bezogen haben. Zur Vereinfachung beziehungsweise zur besseren Veranschaulichung haben wir alle Wahrscheinlichkeiten der Rechtecke mit 10 multipliziert, wodurch sich ein Flächeninhalt von 10 für alle Dichtefunktionen ergibt. Aufgrund von Schiebereglern für die Werte u,a und s wurde dieser Flächeninhalt an die Wahrscheinlichkeit angenähert. Dies wurde für jedes einzelne Rechteck analog durchgeführt, sodass wir für eine waagerechte Reihe insgesamt fünf verschiedene Dichtefunktionen für jeweils ein Rechteck erhalten. In einer senkrechten Reihe erhalten wir demnach jeweils 2 Dichtefunktionen nebeneinander. Der Schieberegler s, der die Stauchung in x-Richtung der Funktion darstellt, wurde zur besseren Vergleichbarkeit der Dichten für alle Funktion gleich gesetzt.

Diese einzelnen Dichtefunktionen werden für die senkrechten und waagerechten Reihen jeweils zu einer gesamten Dichtefunktion zusammengefasst. Dies geschieht ganz einfach über die Addition der einzelnen Funktionen.

In unserem obigen Beispiel der Dichtefunktionen waagerecht der Rechtecke von 1 bis 5 erhielten wir für das Rechteck 1 und für das Rechteck 5 jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 0. Trivial ergab sich für diese Rechtecke eine Dichtefunktion von $f(x)=0$. In diesem Beispiel stellt die lila Funktion die Dichtefunktion für das Rechteck 2 dar, die blaue Funktion für das Rechteck 3 und die grüne Funktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für das 4. Rechteck. Die rosa Funktion stellt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für alle Rechtecke zusammen dar. Im Rechteck 2 lag die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei 0,22077922. Multipliziert mit 10 zur besseren Veranschaulichung ergab sich daraus ein Flächeninhalt von gerundet 2,21 für die zu erstellende Dichtefunktion. Durch Ausprobieren mit den Schiebereglern erhielten wir eine Dichtefunktion von $f(x)=2,16/(1+((x-1,5)^{2})/0,12)$. Dies wurde analog für die anderen Rechtecke durchgeführt. Für den Schieberegler s, der für alle Funktionen gleich gesetzt wurde, erhielten wir demnach einen Wert von 0.12.

Zyklus 2

In unserem zweiten Zyklus möchten wir das Ganze räumlich betrachten und unsere einzelnen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu einer großen 3D-Funktion zusammenfassen. Dies wird zum einen für die Trefferwahrscheinlichkeit, zum anderen für die Wahrscheinlichkeit der Fehlwürfe dargestellt.

Folgende 3D Graphik zeigt ein Beispiel für die Dichtefunktion der Trefferwahrscheinlichkeit, betrachtet aus zwei verschiedenen Perspektiven: