Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Modellierungszyklus 1

Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe I

Ziel der Modellierung

• näherungsweise Bestimmung des Gewichts eines Elefanten mithilfe von Volumenberechnung
• Bestimmung der Wasserverdrängung eines Elefanten beim Baden mithilfe seines Volumens

Vorgehensweise

• Bestimmung des Gesamtgewichts eines Elefanten durch Zerlegung in einzelne Körperteile
• Volumenbestimmung der Körperteile mithilfe von verschiedenen geometrischen Körpern
• Annäherung der geometrischen Formen:
  • Rumpf und Kopf des Elefanten: Ellipsoid
  • Beine: Zylinder
  • Ohr: Annahme als Dreieck (Fläche), da sich stellenweise die Volumina der geometrischen Volumina überschneiden
  • Rüssel: Zylinder und Kegel
  • Schwanz: Zylinder
• Erstellung eines 3D-Modells

Durchführung

Bestimmung des Gesamtgewichts eines Elefanten

• Möglichkeit 1: Größenangaben des Elefanten, wie bspw. Höhe der Beine, durch Biologieunterricht in Sekundarstufe I oder Recherche im Internet
• Möglichkeit 2: Modellierung eines Elefanten mithilfe JSON 3D Editor for Aframe

Volumenbestimmung des Rumpfes mit JSON 3D Editor for Aframe

• Länge Rumpf: $l=2\cdot 1,25$ $\Rightarrow$ $b={\frac {1}{2}}\cdot l=1,25$

• Breite Rumpf: $b=2\cdot 2$ $\Rightarrow$ $a={\frac {1}{2}}\cdot b=2$

• Höhe Rumpf: $h=2\cdot 1,25$ $\Rightarrow$ $c={\frac {1}{2}}\cdot h=1,25$

• $V_{Rumpf}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot 1,25\cdot 2\cdot 1,25=13,0900$

Erstellung eines Elefanten in JSON 3D Editor for AFrame

• analoges Vorgehen für die weiteren Körperteile

Volumenbestimmung des Kopfes

• Länge Kopf: $l=2\cdot 0,75$ $\Rightarrow$ $b={\frac {1}{2}}\cdot l=0,75$

• Breite Kopf: $b=2\cdot 0,75$ $\Rightarrow$ $a={\frac {1}{2}}\cdot b=0,75$

• Höhe Kopf: $h=2\cdot 0,85$ $\Rightarrow$ $c={\frac {1}{2}}\cdot h=0,85$

• $V_{Kopf}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot 0,75\cdot 0,75\cdot 0,85=2,0028$

Volumenbestimmung der Beine

• Breite Bein: $b=2\cdot 0,3$ $\Rightarrow$ $r={\frac {1}{2}}\cdot b=0,3$

• Höhe Bein: $h=1,5$

• Volumen Bein: $V_{Bein}=0,3^{2}\cdot \pi \cdot 1,5=0,4241$

• $V_{Beine}=4\cdot (0,3^{2}\cdot \pi \cdot 1,5)=4\cdot 0,4241=1,6964$

Volumenbestimmung der Ohren

• Ohren werden in JSON 3D Editor for AFrame jeweils als Fläche angenommen
• Volumen eines Ohres: $V_{Ohr}=0$

Volumenbestimmung des Rüssels

• zwei Rüsselteile: unterer Teil des Rüssels (Zylinder) und oberer Teil des Rüssels (Kegel)

• Breite Rüssel (unten): $b=2\cdot 0,1$ $\Rightarrow$ $r={\frac {1}{2}}\cdot b=0,1$

• Höhe Rüssel (unten): $h=2$

• $V_{R{\ddot {u}}ssel(unten)}=0,1^{2}\cdot \pi \cdot 2=0,06$

• Breite Rüssel (oben): $b=2\cdot 0,1$ $\Rightarrow$ $r={\frac {1}{2}}\cdot b=0,1$

• Höhe Rüssel (oben): $h=0,2$

• $V_{R{\ddot {u}}ssel(oben)}={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot 0,1^{2}\cdot 0,2=0,0021$

• $V_{R{\ddot {u}}ssel(gesamt)}=0,06+0,0021=0,0621$

Volumenbestimmung des Schwanzes

• Breite Schwanz: $b=2\cdot 0,05$ $\Rightarrow$ $r={\frac {1}{2}}\cdot b=0,05$

• Höhe Schwanz: $h=1,5$

• $V_{Schwanz}=0,05^{2}\cdot \pi \cdot 1,5=0,0118$

Gesamtvolumen des Elefanten

• Volumina aller Körperteile addieren sich zum Gesamtvolumen

• $V_{Gesamt}=V_{Rumpf}+V_{Kopf}+V_{Beine}+V_{R{\ddot {u}}ssel(gesamt)}+V_{Schwanz}$
  $=16,8631\simeq 16,86$

Problematik der erhaltenen Zahl

• Gesamtvolumen in Längenheiten (LE³)

• geg.: Fußdurchmesser $d=30\ cm$, Modellfußdurchmesser $m=0,6\ LE$
• $50\ cm=1\ LE$
  $\Leftrightarrow \ 128,21\ cm=\ 2,56\ LE$
  $\Leftrightarrow \ 2\ 107\ 490,86\ cm^{3}=16,86\ LE^{3}$

• $V=(d\cdot {\frac {5}{3}}\cdot {\sqrt[{3}]{16,86}})^{3}$
  • aufgestellte Formel gilt nur für $d=30\ cm$, da der lineare Zusammenhang des erhaltenen Ergebnisses von ursprünglicher Funktion abweicht

Bewertung

• Unterteilung des Elefanten in geometrische Körper führt zu größeren Abweichungen
• Bestimmung der Werte für Radien, Höhe etc. führt ebenfalls zu Abweichungen
• allgemeine Formel für das Gesamtvolumen des Elefanten nur in Abhängigkeit seines Fußdurchmessers

Optimierung

Bestimmung des Volumens der Beine in Abhängigkeit von d

$d_{\text{Fuß Modell}}=0,6\ LE\Rightarrow r_{\text{Fuß Modell}}=0,3\ LE$

$\Rightarrow A_{\text{Fuß in Abhängigkeit von d}}=\pi \cdot ({\frac {1}{2}}d)^{2}$

$\Longrightarrow V_{\text{Bein}}=A_{\text{Fuß}}\cdot 1,5\Leftrightarrow \pi \cdot ({\frac {1}{2}}d)^{2}\cdot ({\frac {5}{2}}\cdot d)$

$\Longrightarrow V_{\text{4Beine}}=4\cdot \pi \cdot ({\frac {1}{2}}d)^{2}\cdot ({\frac {5}{2}}\cdot d)={\frac {5}{2}}\cdot \pi \cdot d^{3}$

Bestimmung des Volumens des Körpers in Abhängigkeit von d

Bestimmung des Volumens des Kopfes in Abhängigkeit von d

Bestimmung des Volumens des Rüssels in Abhängigkeit von d

Bestimmung des Gesamtvolumens in Abhängigkeit von d

Überprüfung auf Richtigkeit mithilfe von Calc