Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Modellierungszyklus 2

Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe II

Ziel der Modellierung

• Bestimmung der Höhe der ankommenden Welle an der Glasscheibe, welche ein Elefant beim Baden erzeugt sodass sich daraus resultierend die Höhe der Glasscheibe ergibt

Vorgehensweise

• Annäherung der Welle mithilfe der Kosinus Funktion
• Faktor $a$ soll diese Welle verzerrungsfrei skalieren, sodass sich Wellenberg mit $g$ abschätzen lässt
• Gewicht des zentralen Wellenbergs kann $g$ nicht übersteigen
• weiterer Faktor lässt die Welle mit größerer Entfernung zum Ursprung abflachen
• durch Schieberegler für $a$, kann durch Ausprobieren ein Wert gefunden werden
• $a$ im Zusammenhang mit abflachenden Faktor wird verwendet um die Höhe der Welle bei gegebener Entfernung zur Wand zu berechnen

Durchführung

• Querschnitt der Welle: $f(x)=a\cdot cos({\frac {x}{a}})\cdot e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}$

• durch Rotation um y-Achse wird Welle dreidimensional
• Volumen des größten Wellenbergs lässt sich nach oben durch Gewicht abschätzen

Abflachender/dämpfender Faktor

• $e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}$
• $a\cdot e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}$ als obere Grenze für Funktion ($a$ noch unbestimmter Skalierungsfaktor)
• Faktor $a$ wird zur Höhenbestimmung der Welle benötigt

Obere Grenze für die Wellenfunktion

• $a$ durch Ausprobieren annähern oder rechnerisch bestimmen

Rotationsvolumen des Wellenbergs

• Integral $A$ von $f(x)$ im Bereich $0$ bis $a\cdot {\frac {\pi }{2}}$ um mit Rotationsvolumen die Masse des Wellenbergs zu bestimmen
• 1 Einheit im Koordinatensystem = 1 Meter
• obere Grenze: $g\geq \pi \cdot A^{2}$
• Rotationsvolumen der Fläche $A$: $\pi \cdot A^{2}$

Bestimmung von a durch Ausprobieren

• Funktion mit $m=\pi \cdot A^{2}$ zur Annäherung von a mit Schieberegler

• für $a\leq 0.75$ wird Wellenberg zu gering für Babyelefanten und für $a\geq 1.2$ ist Wellenberg schwerer als ein großer Elefant

Hilfsfunktion

• zur rechnerischen Bestimmung von a
• Funktion darf in Nähe des Ursprungs nicht stark von skalierten Funktion abweichen: $g(x)=cos(x)\cdot e^{-({\frac {x}{10}})^{2}}$
• für $a=1$ stimmen Funktionen überein und $g(x)$ wird von $a$ nicht beeinflusst
• $a$ liegt im Bereich $[0.75;1.2]$ und skaliert Volumen des Wellenbergs, der von $f(x)$ erzeugt wird, doch nicht von $g(x)$
• Integral $B$ von $g(x)$ im Bereich von $0$ bis ${\frac {\pi }{2}}$ als fester Wert mit $B=0,9953$
• für $f(x)$ und $g(x)$ im Bereich $0,75\leq a\leq 1,2$ gilt: Amplitude von $f(x)$ ist skaliert mit $a$ und obere Grenze des Integrals

Schlussfolgerung

• es gilt: $g\geq \pi \cdot A^{2}$ und $A=a^{2}\cdot B$
• somit $g\geq \pi \cdot (a^{2}\cdot B)^{2}$
• rundet man $B=0,9953\approx 1$, ergibt sich ${\sqrt {\sqrt {\frac {g}{\pi }}}}={\sqrt[{4}]{\frac {g}{\pi }}}=a$
• Berechnung der Höhe der Welle mit $r$ (Abstand der Wand zum Eintrittsort): $h(r)=a\cdot e^{-({\frac {r}{10a}})^{2}}$

Beispiel - Durchführung

• Elefant mit dem Fußdurchmesser $d=38\ cm$ mit angenähertem Gewicht $g=70\cdot {\frac {(d)^{3}}{1000000}}=3,841$ Tonnen
• Skalierungsfaktor $a$: $a={\sqrt[{4}]{\frac {g}{\pi }}}={\sqrt[{4}]{\frac {3,841}{\pi }}}=1,051$
• Wand mit 10 m Entfernung von Eintrittsstelle muss $h(10)=a\cdot e^{-({\frac {r}{10a}})^{2}}=1,051\cdot e^{-({\frac {10}{10\cdot 1,051}})^{2}}=0,425$ Meter hoch sein, damit die Welle nicht überläuft

Bewertung

• obere Abschätzung der Welle zeigt Höhe des Wassers, wo Welle auf Glasscheibe des Schwimmbeckens trifft
• Höhenbestimmung der ankommenden Welle mithilfe des Fußdurchmessers eines Elefanten und der Entfernung zur Glasscheibe
• außer Betracht bleibt:
  • Auftreffen der Welle an Glasscheibe
  • Abprallen und Zurückwerfen in entgegengesetzte Richtung
  • jedes Bein des Elefanten kann eigene Welle erzeugen und diese sich jeweils kreisförmig ausbreiten (in Modell springt der Elefant vollständig ins Becken)
  • Aussehen der Welle als Funktion

Optimierung

• GeoGebra Applet für aufgestellte Funktion
• Erweiterung des Modells auf gesellschaftlich klimatisch wichtiges Thema: Elefant wird auf ein ins Meer fallenden Eisblock übertragen um mögliche Auswirkungen nahe gelegener Landmassen zu bestimmen