Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Modellierungszyklus 3

Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni

Ziel der Modellierung

Kalbender Gletscher

• Übertragung auf klimatisch gesellschaftliches Thema
• Modellierung in größeren Maßstäben
• Abschätzung der Höhe einer Welle, die durch einen kalbenden Gletscher erzeugt wird
• Auswirkungen auf angrenzende Küstenregionen erkennen
• Schutzmaßnahmen ableiten (Deiche u.ä.)

Vorgehensweise

• Erstellung einer dem Maßstab angepassten Wellenfunktion
• Form des Gletscherbrockens spielt keine Rolle - nur Gewicht
• Festlegung des Brockens auf einen symmetrischen Zylinder (3D), in 2D ist dies ein Rechteck
• Volumen Zylinder ist identisch mit Volumen der "ersten" Welle
• Folgerung der Seitenlänge $b$ und $2b$ für das Rechteck & Einbeziehung des Faktors $a$ $\Rightarrow$ Abschätzung Gewicht
• obere Abschätzung der Welle: $e$-Funktion

Durchführung

• Volumen des Eisblockes, also das Produkt aus Gewicht und Dichte des Eisblockes $(0,92\ kg/dm^{3})$ als obere Grenze$\Rightarrow$ $0,92\cdot g\geq \pi \cdot A^{2}$ mit $A=\int _{0}^{a\pi }{\frac {a}{2}}\cdot cos({\frac {x}{2a}})$
• Rechteck $B$ (Gletscherbrocken) mit selber Fläche (also $A=B$) gilt: $\pi \cdot B^{2}=\pi \cdot A^{2}$
• Position des Rechtecks, sodass bei Rotation Zylinder entsteht

Wellenfunktion und Rechteck

Faktor b in Abhängigkeit des Gewichts ausrechnen

Es folgt: $0,92\cdot g\geq \pi \cdot A^{2}=\pi \cdot B^{2}=\pi \cdot (2b^{2})^{2}$ (mit $b\geq 0$ )

$<=>{\frac {0,92\cdot g}{\pi }}=(2b^{2})^{2}$

$<=>{\sqrt {\frac {0,92\cdot g}{\pi }}}=2b^{2}$

$<=>{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {0,92\cdot g}{\pi }}}=b^{2}$

$<=>{\sqrt {\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=b^{2}$

$<=>{\sqrt {\sqrt {\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}}=b$

$<=>{\sqrt[{4}]{\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=b$

Suchen eines passenden Skalierungsfaktors a

• Anpassung der Funktion $f$, ohne Änderung der Fläche $A$

Es gilt: $A=\int _{0}^{a\pi }{\frac {a}{2}}\cdot cos({\frac {x}{2a}})=2b^{2}=B$

Aufstellen der Hilfsfunktion

• Hilfsfunktion $g(x)=a\cdot cos({\frac {x}{a}})$

$A_{2}=\int _{0}^{\frac {a\pi }{2}}g(x)dx=A_{2}=\int _{0}^{\frac {a\pi }{2}}a\cdot cos({\frac {x}{a}})dx=\int _{0}^{a\pi }{\frac {a}{2}}\cdot cos({\frac {x}{2a}})dx=A$

• $A_{2}$ ist von doppelter Amplitude, aber von halber Länge und $A_{2}=A$

Bestimmung des Skalierungsfaktors a

• analog zu Zyklus 2: $A_{2}=a^{2}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}cos(x)dx=a^{2}\cdot 1=a^{2}$
• Darstellung der Beziehung der Flächen zueinander in GeoGebra Applet
• Es folgt:

$\longrightarrow A=A_{2}=a^{2}$

$\longrightarrow a^{2}=A=B=2b^{2}$

$<=>a={\sqrt {2}}\cdot b$

$<=>b={\frac {a}{\sqrt {2}}}$

Bestimmung der Höhe der Welle

Sei $x:=$ Entfernung zum Festland in km.

• $h(x)={\frac {a}{2}}\cdot e^{-({\frac {x}{2a}})^{2}}$

Beispiel - Durchführung

• rechnerische Bestimmung der Höhe der Welle
• geg.: Masse $g=1.000.000.000\ kg$

$\Rightarrow$ $b={\sqrt[{4}]{\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=92,50\longrightarrow a=130,81\qquad$

• einsetzen von a in $h(x)={\frac {a}{2}}\cdot e^{-({\frac {x}{2a}})^{2}}$

• Für eine Küste in $1500\ km$ Entfernung, ist die Welle $3,46\ m$ hoch.

Bewertung

Die Modellierung lässt außer Acht:

• Schmelzwasser
• Anstieg der Wassertemperatur
• Übertragung des Zyklus 2 auf 3 nicht fehlerfrei (wg. Übertragung auf große Maßstäbe)
• Präzisierung durch Forschung zu Wellenausbreitung und deren Abflachung sowie deren Frequenz

Optimierung

• interaktive Landkarte (Auswirkungen Klimawandel auf Küsten)
• es gibt Karten, welche Gebiete rot markieren, deren Wahrscheinlichkeit steigt, von Hochwasser oder Überschwemmungen in den nächsten Jahren heimgesucht zu werden