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Eine Matrix
aus dem
ist eine Ansammlung von
reellen Zahlen
, die in
Zeilen und
Spalten gemäß

angeordnet sind. Sie stellen lineare Abbildungen vom Vektorraum
zum Vektorraum
dar.
Wird eine Matrix auf einen Vektor angewandt, so werden die neuen Komponenten durch
bestimmt.
Im
gibt es eine Matrix
mit der Eigenschaft, dass sie jeden beliebigen Vektor
unverändert lässt, also
für beliebige
erfüllt. Diese Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet. Sie ist dadurch definiert, dass nur auf der Diagonalen die Einträge
und sonst Nullen stehen.
Hintereinanderausführung und Matrixmultiplikation
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Wenn es sich bei
um eine Matrix des
und bei
um eine Matrix des
handelt, dann kann auf den Vektor
die Matrix
angewandt werden, um so einen Vektor des
zu erhalten. Die Hintereinanderanwendung ergibt eine neue Matrix
deren Komponenten durch
gegeben sind.
Vektoren als Matrizen und Transpositionen
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Vektoren können als Matrizen aus dem
aufgefasst werden. Es gibt allerdings auch die Matrizen der Form
, die als transponierte Vektoren bezeichnet werden. Ist ein Vektor
gegeben, so ist sein transponierter Vektor durch
bestimmt.
Damit lässt sich das Matrixprodukt als Matrixmultiplikation
auffassen.
Werden bei der Matrix
Zeilen und Spalten vertauscht, so handelt es sich um die transponierte Matrix
sie wirkt auf den Vektor
genau so wie
auf den Vektor
.
Wird das Matrixprodukt
transponiert, so muss zusätzlich die Reihenfolge geändert werden, wodurch sich
ergibt.
Gibt es für eine quadratische Matrix
Vektoren
, welche die Gleichung
lösen, so werden diese als Eigenvektoren von
zum Eigenwert
bezeichnet. Die Menge aller Eigenwerte von
wird als Spektrum
bezeichnet. Verfügt ein Eigenwert über mehrere linear unabhängige Eigenvektoren wird dieser als entartet bezeichnet. Da Matrizen lineare Abbildungen sind, ist ein Vielfaches eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert. Genauso ist die Linearkombination linear unabhängiger Eigenvektoren zum selben Eigenwert wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert.
und den Vektor
bestimme
.
und
und bestimme alle möglichen Matrixprodukte.
und
und die Matrizen
und
bestimme damit die Ausdrücke
,
und 
besitzt die Eigenwerte
und
. Bestimme die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten.
- (optional) Sei
mit
. Zeige, dass Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten
senkrecht aufeinander stehen, dass also
gilt.
Lösungen
- Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Matrizen gefunden werden.