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Kurs:Quantencomputing/Matrizen

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Definiton[Bearbeiten]

Eine Matrix aus dem ist eine Ansammlung von reellen Zahlen , die in Zeilen und Spalten gemäß

angeordnet sind. Sie stellen lineare Abbildungen vom Vektorraum zum Vektorraum dar.

Regeln[Bearbeiten]

Anwenden auf Vektoren[Bearbeiten]

Wird eine Matrix auf einen Vektor angewandt, so werden die neuen Komponenten durch bestimmt.
Im gibt es eine Matrix mit der Eigenschaft, dass sie jeden beliebigen Vektor unverändert lässt, also für beliebige erfüllt. Diese Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet. Sie ist dadurch definiert, dass nur auf der Diagonalen die Einträge und sonst Nullen stehen.

Hintereinanderausführung und Matrixmultiplikation[Bearbeiten]

Wenn es sich bei um eine Matrix des und bei um eine Matrix des handelt, dann kann auf den Vektor die Matrix angewandt werden, um so einen Vektor des zu erhalten. Die Hintereinanderanwendung ergibt eine neue Matrix deren Komponenten durch gegeben sind.


Vektoren als Matrizen und Transpositionen[Bearbeiten]

Vektoren können als Matrizen aus dem aufgefasst werden. Es gibt allerdings auch die Matrizen der Form , die als transponierte Vektoren bezeichnet werden. Ist ein Vektor gegeben, so ist sein transponierter Vektor durch bestimmt.
Damit lässt sich das Matrixprodukt als Matrixmultiplikation auffassen.

Werden bei der Matrix Zeilen und Spalten vertauscht, so handelt es sich um die transponierte Matrix sie wirkt auf den Vektor genau so wie auf den Vektor .

Wird das Matrixprodukt transponiert, so muss zusätzlich die Reihenfolge geändert werden, wodurch sich ergibt.

Eigenwerte und Eigenvektoren[Bearbeiten]

Gibt es für eine quadratische Matrix Vektoren , welche die Gleichung lösen, so werden diese als Eigenvektoren von zum Eigenwert bezeichnet. Die Menge aller Eigenwerte von wird als Spektrum bezeichnet. Verfügt ein Eigenwert über mehrere linear unabhängige Eigenvektoren wird dieser als entartet bezeichnet. Da Matrizen lineare Abbildungen sind, ist ein Vielfaches eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert. Genauso ist die Linearkombination linear unabhängiger Eigenvektoren zum selben Eigenwert wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert.


Aufgaben[Bearbeiten]

  • Betrachte die Matrix

und den Vektor bestimme .

  • Betrachte die Matrizen

und und bestimme alle möglichen Matrixprodukte.

  • Betrachte die Vektoren

und und die Matrizen und bestimme damit die Ausdrücke , und

  • Die Matrix

besitzt die Eigenwerte und . Bestimme die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten.

  • (optional) Sei mit . Zeige, dass Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten senkrecht aufeinander stehen, dass also gilt.

Lösungen

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Matrizen gefunden werden.