Kurs:Räumliche Modellbildung/Deterministisches Kontaktmodell

Deterministisches Kontaktmodell

Bei einem deterministischen Kontaktmodell werden die Individuen infiziert, wenn diese eine Abstandsschranke unterschreiten. Der Abstand wird in einem metrischen Raum $(\mathbb {M} ,d)$ bestimmt. In einem deterministischen Kontaktmodell bei dem ein indiziertes Individuum $P_{1}$ an dem Ort ${\mathit {Loc}}(P_{1})=x_{1}\in \mathbb {M}$ und sich eine empfängliche Person $P_{2}$ an dem Ort ${\mathit {Loc}}(P_{2})=x_{2}\in \mathbb {M}$ befindet (Location), kann man eine deterministische Ansteckung wie folgt definieren. Zunächst definieren wir eine Abbildung $Epi$ auf der Menge der Person/Individuen $\mathbb {P}$, die jeder Person $P_{k}$ den epidemiologischen Status zuordnet.

${\begin{array}{rcl}{\mathit {Epi}}(P_{k})={\mathcal {I}}&:\Longleftrightarrow &{\mbox{Person}}P_{k}{\mbox{ ist infiziert (Infected)}}\\{\mathit {Epi}}(P_{k})={\mathcal {S}}&:\Longleftrightarrow &{\mbox{Person}}P_{k}{\mbox{ ist empfänglich (Susceptible)}}\\{\mathit {Epi}}(P_{k})={\mathcal {R}}&:\Longleftrightarrow &{\mbox{Person}}P_{k}{\mbox{ ist genesen (Recovered)}}\\\end{array}}$

Damit kann man nun eine deterministische Kontaktmodellierung über die Metrik definieren. Betrachtet man $\varepsilon >0$ als Kontaktdistanzschranke für die Infektion und seien $P_{i},P_{j}\in \mathbb {P}$, dann infiziert $P_{i}$ die Person $P_{j}$ unter folgender Bedingung:

${\mathit {Epi}}(P_{i})={\mathcal {I}}\,\wedge \,{\mathit {Epi}}(P_{j})={\mathcal {S}}\,\wedge \,{\mathit {Loc}}(P_{i})=x_{1}\,\wedge \,{\mathit {Loc}}(P_{j})=x_{2})\,\wedge \,d(x_{1},x_{2})<\varepsilon \,\Longrightarrow \,{\mathit {Epi}}(P_{j})={\mathcal {I}}$

Animation: infection spreading through contact of moving of pedestrian, slow moving, simulation of a deterministic infected with a minimal distance threshold - that is not a realistic model. That is not a realistic model - infections are not deterministic - that are stochastic processes.

Animation:Ausbreitung einer Infektion bei schneller Bewegung der Fußgänger mit einer deterministischen Infektion bei Unterschreitung eines Mindestabstand - Dies entspricht nicht der Realität. Eine Infektion ist

• Annahme:

Individuen (Passanten) bewegen sich in zufällige Richtungen mit bestimmter (konstanter) Geschwindigkeit. Wenn sich ein Passant einem infizierten Passant nah genug annähert, wird er sofort infiziert.

• Simulation:

Die Animationen rechts, erstellt in Octave, modelliert die Übertragung der Infektionen durch sich bewegende Individuen. Anfänglich geht man von einem Infiziertem Individuum (rot) aus. Es sind zwei Situationen abgebildet für unterschiedliche Bewegungsgeschwindigkeiten.

SW1: Tutorium (zweites Vorlesungstermin)

• Einführung in Octave
• Einleitung zur Bearbeitung der 1. Tutoriumaufgabe- Kontaktmodell

Zu diesen Aufgaben wird es möglich Jupyter Notebook mit Octave Kernel auf https://cocalc.com/ als interaktive Bearbeitungsblätter hochzuladen und weiterbearbeiten.

Siehe auch

• Definition: Metrischer Raum
• Normen, Metriken, Topologie