Kurs:Räumliche Modellbildung/Gruppe 14

Gruppenseite - (BKPR)

Diese Seite enthält die gesammelten Materialien der Gruppe 14 für die Portfolioprüfung.

• COVID-19/Mathematische Modellbildung

Teilnehmer-innen

• Bentz, Judith
• Kastor, Michael Urs Lars
• Pfanger, Lara
• Renner, Hannah

Kontinuierliche Modellierung

Tutorium 1 - Kontaktmodell

räumliche Ausbreitung der Infektion

In Tutoriumsaufgabe I geht es um das Kontaktmodell. Das Modell soll die räumliche Ausbreitung von Covid-19 über einen selbst gewählten Zeitraum hinweg darstellen. Ausgangspunkt für das Modell ist eine Gruppe von 200 Personen. In der Mitte der Personengruppe befindet sich die erste infizierte Person, die durch einen roten Punkt in der Matrix dargestellt ist. Nachdem im Modell der Richtungswechsel eingebaut wurde, wurden mehrere verschiedene Szenarien ausprobiert, um die Auswirkungen von kleineren und größeren Ansteckungsradien, sowie schnellerer und langsamerer Bewegungen beobachten zu können. Um schrittweise Richtungswechsel der Personen in die Matrix zu implementieren, wurde eine for-Schleife in das Jupyter-Notebook eingefügt. Durch die for-schleife wird die Bewegungsrichtung der Personen in jedem Zeitschritt zufällig geändert (siehe GIF).Der unten dargestellte Programmcode entstand durch Bearbeitung des von Frau Prof. Dr. Hundertmark zur Verfügung gestellten Codes.

Modellierung der Bevölkerung

%Anzahl von Personen in x- und y-Richtung
Nx=10;
Ny=20;
Zeitschritte=2; %pro Zeiteinheit T
radiusInf=0.80; %Infektionsradius
T=1; %Zeitspanne, in der sich Personen nur in eine Richtung bewegen
g=0.50; %Geschwindigkeit der Fußgänger
W=8 %Anzahl der Richtungswechsel
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
x=[1:Nx];
y=[1:Ny];
dt=1/Zeitschritte;


[x,y]=meshgrid (x,y)

Erzeugen des ersten Infizierten

%Erste Infizierte Person
xInf=x(1, Nx/2);
yInf=y(Ny/2); 
IndInf2=Nx/2; %Spalte
IndInf1=Ny/2; %Zeile
IndInf1neu=IndInf1;
IndInf2neu=IndInf2;


close all;


%Darstellung des Anfangszustandes
figure (1)
hold on;
plot(x,y, '*b') ;
plot(xInf,yInf, 'sr') ;
axis([-5 15 -5 25]);


hold off;

Erzeugen zufälliger Richtungsänderungen

Anzahl=0; %Zur zeitlichen Darstellung der Infiziertenzahl


neuX=x;
neuY=y;
z=1;
%Schleife zur wiederholten Richtungsänderung


for k=1:W


neuPosX=g.*rand(Ny,Nx)-0.5*g;
neuPosY=g.*rand(Ny,Nx)-0.5*g;


%------------------------------------------------------------------------------------------------- 
%Zeitschleife für kurzzeitige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
for i=1:T*Zeitschritte


%Neue Position immer relativ zu aktueller Position
neuX=neuX.+neuPosX.*dt;
neuY=neuY.+neuPosY.*dt;
z=z+1;%Zählparameter für die Erstellung der Bilder


%Darstellung der Personen zum Zeitpunkt (z-1)*dt
figure (z)
title (['t=' num2str((z-1)*dt)])
axis([-5 15 -5 25]);
hold on
plot(neuX,neuY, '*b') ;
quiver (neuX,neuY, neuPosX, neuPosY); %Geschwindigkeitspfeile

Erzeugen neuer Infizierter durch Ansteckung

%Neue Infizierungen:
%In den Vektoren IndInf1, IndInf2 sind die i- und j-Indizes der (x,y)-Koordinaten von den bereits Infizierten gespeichert.
%------------------------------------------------------------------------------------------------- 


zahler=1;
for k1=1:length(IndInf1)
  for j=1:Nx
    for l=1:Ny
    %Die aktuellen Positionen der Fußgänger-Punkte werden mit den Positionen der Infizierten abgeglichen (Abstand wird berechnet
      abstand=norm ( [neuX(l,j)-neuX(IndInf1(k1),IndInf2(k1)), neuY(l,j)-neuY(IndInf1(k1),IndInf2(k1))]);
        if abstand<radiusInf
         %wenn der Abstand zum Infizierten unter dem Ansteckungradius liegt, wird  der l,j-te  Punkt infiziert (mit rotem Quadrat gekennzeichnet)
         abstand;    
            plot(neuX(l,j),neuY(l,j), 'sr') ;
            %--------------------------------------------------------------------------------------
            k2=1;
            %Der Vektor der Infizierten wird untersucht, falls die l,j-Indizes des aktuellen Punkten nicht unter den
            %infizierten Indizes auftauchen, werden  die l,j-Indizes des aktuell Infizierten zu den neuen Vektoren der Infizierten-Indizes
            %IndInf1neu, IndInf2neu zugefügt.
            %(Grund: Speicheroptimierung)
            while k2 <=length(IndInf1)&&(l!=IndInf1neu(k2) || j!=IndInf2neu(k2)) 
             k2=k2+1;
            endwhile
            

            if k2 >length(IndInf1)
              IndInf1neu=[IndInf1neu l];
              IndInf2neu=[IndInf2neu j];
            endif
        endif
        IndInf1=IndInf1neu;
        IndInf2=IndInf2neu;
     endfor
  endfor
  

  endfor


%Speichern der Bilder
test=["Fig1_", num2str(z),".jpg"]
saveas(z, test)


hold off


lengt=length(IndInf1)
Anzahl= [Anzahl lengt]; 


endfor
endfor
%Zeitschleife abgeschlossen
%------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Infiz1=[IndInf1; IndInf2] %Ausgabe Infizierten-Indizes
hold off;

Modellierung des Kontaktmodells mit höherer Geschwindigkeit

räumliche Ausbreitung der Infektion mit 4-facher Bewegungsgeschwindigkeit

Nachfolgend wurde die Übertragung der Infektion für eine höhere Bewegungsgeschwindigkeit modelliert. Die Infizierten behalten den Richtungswechsel in jedem Zeitschritt bei. Zur Erhöhung der Bewegungsgeschwindigkeit wurde der Parameter "Param" eingeführt, sodass die Geschwindigkeit ohne große Umstände beliebig variiert werden kann. In diesem Fall wurde die Geschwindigkeit vervierfacht. Die Veränderung der Infektionsübertragung bei einer vierfachen Bewegungsgeschwindigkeit ist im nebenstehenden GIF zu sehen.

Param= 4.0;


 %Aktualisierung, erste Infizierte in Infiziertenindexen 
xInf=x(1, Nx/2);
yInf=y(Ny/2);
IndInf2=Nx/2;
IndInf1=Ny/2;
IndInf1neu=IndInf1;
IndInf2neu=IndInf2;


%----------------------------------
%Zeitschleife II
%---------------------------
Anzahl2=0;  % Zur zeitlichen Darstellung der Infiziertenzahl


neuX=x;
neuY=y;
z=1;


for k=1:W


neuPosX=g.*rand(Ny,Nx)-0.5*g;
neuPosY=g.*rand(Ny,Nx)-0.5*g;




%Zeitschleife für 2 Zeitschritte pro eine Zeiteinheit T:
%---------------------------
for i=1:T*Zeitschritte


%neue Position immer relativ zu aktueller Position
neuX=neuX.+Param*neuPosX.*dt;
neuY=neuY.+Param*neuPosY.*dt;
z=z+1;


figure (z)
title (['t=' num2str((z-1)*dt)])
axis([-5 15 -5 25]);
hold on
plot(neuX,neuY, '*b') ;
quiver (neuX,neuY, neuPosX, neuPosY);


%neue Infizierungen:
%In Vektoren IndInf1, IndInf2 sind die i- und j-Indexen der (x,y)-Koordinaten der bereits Infizierten gespeichert.
%---------------------------


zahler=1;
for k1=1:length(IndInf1)
  for j=1:Nx
    for l=1:Ny
    %die aktuellen Positionen der Füßgänger-Punkte werden mit den Positionen der Infizierten abgeglichen (Abstand wird berechnet)
      abstand=norm ( [neuX(l,j)-neuX(IndInf1(k1),IndInf2(k1)), neuY(l,j)-neuY(IndInf1(k1),IndInf2(k1))]);
        if abstand<radiusInf
         %wenn der Abstand zum Infizierten unter dem Ansteckunsradius liegt, wird  der l,j-te  Punkt infiziert (mit rotem Quadrat gekenzeichnet)
         abstand;    
            plot(neuX(l,j),neuY(l,j), 'sr') ;
            %---------------------------
            k2=1;
            % der Vektor der Infizierten wird untersucht, falls die l,j-Indexen des aktuellen Punkten nicht unter den
            %infizierten Indexen auftauchen, werden  die l,j-Indexen des aktuell Infizierten zu den neuen Vektoren der Infizierten-Indexen
            % IndInf1neu, IndInf2neu zugefügt.
            %(Grund: Speicheroptimierung)
            while k2 <=length(IndInf1)&&(l!=IndInf1neu(k2) || j!=IndInf2neu(k2)) 
             k2=k2+1;
            endwhile
            

            if k2 >length(IndInf1)
              IndInf1neu=[IndInf1neu l];
              IndInf2neu=[IndInf2neu j];
            endif
        endif
        IndInf1=IndInf1neu;
        IndInf2=IndInf2neu;
     endfor
  endfor
 

 

  endfor


test=["Fig2_", num2str(z),".jpg"]
saveas(z, test)


hold off




Anzahl2= [Anzahl2 length(IndInf1)]; 




endfor
endfor
%Zeitschleife abgeschlossen
%---------------------------


hold off;

Das Diagramm zeigt zudem den Vergleich zwischen der Infektionsverbreitung bei ursprünglicher und vervierfachter Bewegungsgeschwindigkeit. Zu sehen ist, dass die langsamere Ausbreitung ("slower" - roter Graph) und die schnellere Ausbreitung ("faster" - blauer Graph) bis zur vierten Zeiteinheit ähnlich verlaufen. Ab der vierten Zeiteinheit unterscheiden sich die Infektionsausbreitungen der jeweiligen Bewegungsgeschwindigkeit deutlich voneinander. In der achten und somit letzten modellierten Zeiteinheit sind bei langsamerer Geschwindigkeit 10 Personen infiziert, während bei der vierfachen Geschwindigkeit bereits 74 Personen infiziert wurden.

Modellierung des Kontaktmodells mit verändertem Abstand

räumliche Ausbreitung bei einer Infektion ab einem Radius von 1,5 m

Die Infektionsübertragung mit verändertem Abstand wurde ebenfalls modelliert. Auch hier wechselt sich die Richtung der Personen in jedem Zeitschritt. Zur Veränderung des Abstands wurde im Programmcode der dafür vorgesehene Parameter radiusInf auf 1,5 m erhöht. Die damit einhergehende Änderung der Infektionsausbreitung ist im GIF zu erkennen. Hier erkennt man eine deutlich schnellere Ausbreitung der Infektion als im GIF der ursprünglichen Modellierung, bei der eine Person ab einem Radius von 0,8 m infiziert werden kann.

Das Diagramm visualisiert den Vergleich zwischen variierten Radien, ab denen es zu einer Übertragung der Infektion kommt. Zu erkennen ist, dass der Verlauf der Ausbreitung schon ab dem ersten Zeitschritt unterschiedlich ist. Der blaue Graph gibt dabei die Infektionsübertragung ab einem Radius von 1,5m an, der rote Graph eine Übertragung ab einem Radius von 0,8 m. Bei einem größeren Radius werden mehr Personen in deutlich schnellerer Zeit angesteckt. Bereits vor der sechsten Zeiteinheit sind alle 200 Personen mit Covid-19 infiziert. Während bei einer Übertragung der Infektion ab einem Radius von 0,8 m in der achten und somit letzten modellierten Zeiteinheit lediglich 10 Personen infiziert sind.

Tutorium 2 - Fundamentallösungen der Diffusionsgleichung

In Tutoriumsaufgabe II geht es um die Diffusion. Da sich die Brown'sche Bewegung von Teilchen und die zufälligen Bewegungen von Menschen ähneln, werden in dieser Aufgabe zunächst die Erkenntnisse aus dem Bereich der Diffusion angewendet. Konkret bedeutet dies, dass hier die Fundamentallösungen der Laplace- und Diffusionsgleichung dargestellt werden. Diese werden anschließend genutzt, um die Poissongleichung für eine selbst ausgewählte Inhomogenität und die zeitabhängige Diffusionsgleichung für eine selbstgewählte Anfangsfunktion zu lösen. Der unten dargestellte Programmcode entstand durch Bearbeitung des von Frau Prof. Dr. Hundertmark zur Verfügung gestellten Codes.

Definition des Gitters

Es wird ein rechteckiges Gebiet und ein entsprechendes Gitter mit der Schrittweite 0,3 definiert.

step=0.03;
 X=[0:step:2];
 Y=[0:step:2];
 [x,y]=meshgrid(X,Y);

Fundamentallösungen der Laplace-Gleichung und Diffusionsgleichung

Daraufhin sollten in diesem Gebiet die Fundamentallösungen der Laplace Gleichung sowie der Diffusionsgleichung graphisch dargestellt werden.

Die Laplace-Gleichung $\Delta u(x)=0$ beschreibt eine stationäre Diffusion. Das bedeutet, dass die Diffusion mit einer konstanten Geschwindigkeit und unabhängig der Zeit sattfindet. Die rechte Seite der Gleichung ist gleich Null, demzufolge existiert kein Infektionsherd. Die Laplace-Gleichung besitzt folgende Formeln für die Fundamentallösung auf $\mathbb {R} ^{n}$ : $u(x)=\Phi (x):=\left\{{\begin{array}{l}-{\frac {1}{2\pi }}\ln {\|x\|}\ ,&n=2\\{\frac {1}{\omega _{n}}}{\frac {1}{\|x\|^{n-2}}}={\frac {3}{4\pi }}{\frac {1}{\|x\|^{n-2}}}\ ,&n\geq 3\\\end{array}}\right.$,

während $\omega _{n}$ das Volumen der Einheitskugel angibt und $\|\cdot \|$ die Vektornorm in $\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Fundamentallösung der Laplace Gleichung $\Delta u(x)=0$ in $\mathbb {R} ^{2}$

Zur graphischen Ausgabe der Fundamentallösung $u(x)=\Phi (x)$ in $\mathbb {R} ^{2}$ wurde diese definiert und dann im entsprechenden Gitter geplottet.

phi=-log(sqrt(x.^2+y.^2))/(2*pi);
figure 4
surfc (x,y,phi)
title ('phi Aufgabe 1')

Die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung ist für die Modellierung von Covid-19 sehr hilfreich. Wie der Abbildung auf der rechten Seite entnommen werden kann, gibt es einen starken Anstieg am Rand der graphischen Darstellung. Hierbei handelt es sich im Kontext des Infektionsgeschehens um einen sogenannten 'Hotspot' in dem es besonders viele Infizierte gibt. Umso weiter man sich von dem Punkt entfernt, desto mehr flacht die Abbildung ab und wir finden weniger Infizierte vor.

Die Diffusionsgleichung $\partial _{t}u-a\Delta u=0$, mit $x\in {\mathbb {R} }^{n},\ t\in {\mathbb {R} }^{+}$ und konstantem Diffusionskoeffizient $c(x)\equiv a\in \mathbb {R}$ beschreibt eine homogene, instationäre, zeitabhängige Diffusion. Die Diffusionsgeschwindigkeit ist demnach zeitabhängig. Die Diffusionsgleichung besitzt folgende Formel für die Fundamentallösung in $\mathbb {R} ^{n}$:

$u({x},t)=\Psi ({x},t)={\frac {1}{(4\pi at)^{n/2}}}\exp \left(-{\frac {\|{x}\|^{2}}{4at}}\right),$

während $\textstyle \|{x}\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}$ der euklidischen Norm von ${x}$ im Quadrat entspricht.

Fundamentallösung der Diffusionsgleichung in $\mathbb {R} ^{n}$

Zur graphischen Ausgabe der Fundamentallösung $u(x)=\Psi ({x},t)$ in $\mathbb {R} ^{n}$ wurde diese definiert und dann im entsprechenden Gitter geplottet.

psi=1/(4*pi*1*0.5)^(2/2)*exp(-(x.^2+y.^2)/(4*1*0.5)); %psi zum Zeitpunkt t=0.5 mit Diffusionskonstante 1
figure 5 
surfc (x,y,psi)
title ('psi Aufgabe 1')

Definition der Quellfunktion

Quellfunktion

Dann wurde eine Quellfunktion definiert, die in unserem Skript einerseits als Funktion der rechten Seite der Poissongleichung und andererseits als Anfangsbedingung der Diffusionsgleichung dient.

function wert=Quellfunktion(x,y)
  if sqrt((x.-1.5).^2+(y.-1).^2)<=0.15 wert=1;
  elseif sqrt((x.-1.8).^2+(y.-1).^2)<=0.1 wert=1;
  elseif sqrt((x.-1.5-0.707*0.3).^2+(y.-1-0.707*0.3).^2)<=0.1 wert=1;
  elseif sqrt((x.-1.5-0.707*0.3).^2+(y.-1+0.707*0.3).^2)<=0.1 wert=1;
  elseif sqrt((x.-1.5).^2+(y.-0.7).^2)<=0.1 wert=1;
  elseif sqrt((x.-1.5).^2+(y.-1.3).^2)<=0.1 wert=1;
  elseif sqrt((x.-1.5+0.707*0.3).^2+(y.-1-0.707*0.3).^2)<=0.1 wert=1;
  elseif sqrt((x.-1.5+0.707*0.3).^2+(y.-1+0.707*0.3).^2)<=0.1 wert=1;
  else wert=0;
  endif
  if 0.9<y && y<1.1 && 0.2<x && x<1.2 wert=1;
  endif
 

endfunction

Die gewählte Funktion stellt keinen konkreten Anwendungsbezug her. Sie wurde aufgrund ihrer graphischen Darstellung gewählt. Wie der Abbildung entnommen werden kann, handelt es sich um eine Blume. Diese Blume würde dann mithilfe der Diffusion 'verwischen'.

Implementierung Poissongleichung

Die Poissongleichung $-\Delta u(x)=f(x)$ auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist die inhomogene Gleichung der Laplace-Gleichung. Die Funktion $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ist zweimal stetig differenzierbar und hat einen kompakten Träger. Die Lösung der Poissonformel wird durch Faltung der Fundamentallösung und Funktion der rechten Seite erhalten:

$$u(x)=(\Phi *f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy.$$

Implementierung der Poissongleichung mit Quellfunktion als rechte Seite

Zur Implementierung der Poissongleichung mit der Quellfunktion als rechte Seite wurden auf dem definierten Gitter die Funktionswerte der Quellfunktion in jedem Gitterpunkt gespeichert. Dann wurde die Poissonformel implementiert und als Grafik geplottet.

step=0.03;
 X=[0:step:2];
 Y=[0:step:2];
 [x,y]=meshgrid(X,Y);


for i=1:(length(X)) 
for j=1:(length(Y))
   f(j,i)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i)); 
 endfor  
endfor


for i=1:(length(X)) 
for j=1:(length(Y))
xstar=x(j,i)*ones(length(Y),length(X));
ystar=y(j,i)*ones(length(Y),length(X));
% Phi mit verschobenem Argument:
phi=-log(sqrt((xstar.-x).^2+(ystar.-y).^2))/(2*pi);
phi(j,i)=0;


%numerische Integration
I(j,i) = trapz(Y,trapz(X,phi.*f,2));
 endfor  
endfor


phi=-log(sqrt(x.^2+y.^2))/(2*pi);


figure 1
meshc(x,y,I)
grid on
title ('Losung von Poissongleichung')
xlabel('x')
xlabel ('y')

Implementierung zeitabhängige Diffusionsgleichung

Ein Anfangswertproblem erhält man, indem man die Diffusionsgleichung mit einer Anfangsbedingung ergänzt:

$u({x},t=0)=u_{0}({x})\ \forall \ {x}\in \mathbb {R} ^{n}:$

Diese Anfangsbedingung beschreibt im Anfangspunkt $t=0$ die Konzentrationsdichte bzw. die Dichte der Infizierten. Für das homogene Anfangswertproblem für $t>0$ ist die Lösung $u({x},t)$ durch die Faltung der Fundamentallösung $\Psi$ mit der Anfangsfunktion $u_{0}$ gegeben:

$u({x},t)=(\Psi *u_{0})({x},t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Psi ({x}-{y},t)u_{0}({y})\,d{y}$

Implementierung der Diffusionsgleichung mit Quellfunktion als Anfangsbedingung

Zur Implementierung der Diffusionsgleichung mit der Quellfunktion als Anfangsbedingung wurden wie zuvor auf dem definierten Gitter die Funktionswerte der Quellfunktion in jedem Gitterpunkt gespeichert. Dann wurde die Diffusionsgleichung implementiert und als Grafik geplottet. Das GIF zeigt den Verlauf der Diffusionsgleichung im festgelegten Zeitschritt (0,002).

for k=1:15


for i=1:(length(X)) 
for j=1:(length(Y))
xstar=x(j,i)*ones(length(Y),length(X));
ystar=y(j,i)*ones(length(Y),length(X));
%psi mit verschobenem Argument:
Zeitschritt=0.002;
psi=1/(4*pi*1*Zeitschritt*k)^(2/2)*exp(-((xstar.-x).^2+(ystar-y).^2)/(4*1*Zeitschritt*k));


%numerische Integration
J(j,i) = trapz(Y,trapz(X,psi.*f,2));
 endfor  
endfor


figure (5+k)
surfc (x,y,J)
title (['Aufgabe 2b: Loesung der Diffussionsgleichung bei t=' num2str(k*Zeitschritt)])
axis([0 2 0 2 0 0.9]);


%Speichern der Bilder:
test=["Fig_", num2str(5+k),".jpg"]
saveas(5+k, test)


endfor

Tutorium 3 - SIR-Modell

Das Ziel der Tutoriumsaufgabe III ist, das Gesamt-Infektionsgeschehen in Deutschland mithilfe des SIR-Modells nachzubilden. Der unten dargestellte Programmcode entstand durch Bearbeitung des von Frau Prof. Dr. Hundertmark zur Verfügung gestellten Codes. Hierzu werden zunächst die Daten des RKI bezüglich der täglichen Infizierten-, Genesenen-und Todeszahlen im Zeitraum vom 25.02.2020 bis 24.05.2021 in einer großen Funktion "coronaData" implementiert.

function y= coronaData () 
infects = [16.0 18.0 21.0 26.0 53.0 66.0 117.0 150.0 188.0 240.0 400.0 639.0 795.0 902.0 1139.0 1296.0 1567.0 2369.0 3062.0 3795.0 4838.0 6012.0 7156.0 8198.0 10999.0 13957.0 16662.0 18610.0 22672.0 27436.0 31554.0 36508.0 42288.0 48582.0 52547.0 57298.0 61913.0 67366.0 73522.0 79696.0 85778.0 91714.0 95391.0 99225.0 103228.0 108202.0 113525.0 117658.0 120479.0 123016.0 125098.0 127584.0 130450.0 133830.0 137439.0 139897.0 141672.0 143457.0 145694.0 148046.0 150383.0 152438.0 154175.0 155193.0 156337.0 157641.0 159119.0 160758.0 161703.0 162496.0 163175.0 163860.0 164807.0 166091.0 167300.0 168531.0 169218.0 169575.0 170508.0 171306.0 172239.0 173152.0 173772.0 174355.0 174697.0 175210.0 176007.0 176752.0 177212.0 177850.0 178281.0 178570.0 179002.0 179364.0 179717.0 180458.0 181196.0 181482.0 181815.0 182028.0 182370.0 182764.0 183271.0 183678.0 183979.0 184193.0 184543.0 184861.0 185416.0 185674.0 186022.0 186269.0 186461.0 186839.0 187184.0 187764.0 188534.0 189135.0 189822.0 190359.0 190862.0 191449.0 192079.0 192556.0 193243.0 193499.0 193761.0 194259.0 194725.0 195228.0 195674.0 196096.0 196335.0 196554.0 196944.0 197341.0 197783.0 198178.0 198556.0 198804.0 198963.0 199375.0 199726.0 200260.0 200843.0 201372.0 201574.0 201823.0 202345.0 202799.0 203368.0 204183.0 204964.0 205269.0 205609.0 206242.0 206926.0 207828.0 208698.0 209653.0 209893.0 210402.0 211281.0 212022.0 213067.0 214214.0 215336.0 215891.0 216327.0 217293.0 218519.0 219964.0 221413.0 222828.0 223453.0 224014.0 225404.0 226914.0 228621.0 230048.0 232082.0 232864.0 233575.0 234853.0 236429.0 237936.0 239507.0 240986.0 241771.0 242381.0 243599.0 244855.0 246166.0 247619.0 248997.0 249985.0 250799.0 252298.0 253474.0 255366.0 256850.0 258480.0 259428.0 260355.0 261762.0 263663.0 265857.0 267773.0 270070.0 271415.0 272337.0 274158.0 275927.0 278070.0 280223.0 282730.0 284140.0 285332.0 287421.0 289219.0 291722.0 294395.0 296958.0 299237.0 300619.0 303258.0 306086.0 310144.0 314660.0 319381.0 322864.0 325331.0 329453.0 334585.0 341223.0 348557.0 356387.0 361974.0 366299.0 373167.0 380762.0 392049.0 403291.0 418005.0 429181.0 437866.0 449275.0 464239.0 481013.0 499694.0 518753.0 532930.0 545027.0 560379.0 577593.0 597583.0 619089.0 642488.0 658505.0 671868.0 687200.0 705687.0 727553.0 751095.0 773556.0 790503.0 801327.0 815746.0 833307.0 855916.0 879564.0 902528.0 918269.0 929133.0 942687.0 961320.0 983588.0 1006394.0 1028089.0 1042700.0 1053869.0 1067473.0 1084743.0 1106789.0 1130238.0 1153550.0 1171323.0 1183655.0 1197709.0 1218524.0 1242203.0 1272078.0 1300516.0 1320716.0 1337078.0 1351510.0 1379238.0 1406161.0 1439938.0 1471238.0 1494009.0 1510652.0 1530180.0 1554920.0 1587115.0 1612648.0 1627103.0 1640858.0 1651834.0 1664726.0 1687185.0 1719737.0 1742661.0 1755351.0 1765666.0 1775513.0 1787410.0 1808647.0 1835038.0 1866887.0 1891581.0 1908527.0 1921024.0 1933826.0 1953426.0 1978590.0 2000958.0 2019636.0 2033518.0 2040659.0 2052028.0 2068002.0 2088400.0 2106262.0 2122679.0 2134936.0 2141665.0 2148077.0 2161275.0 2178828.0 2192850.0 2205171.0 2216363.0 2221971.0 2228085.0 2237790.0 2252001.0 2264909.0 2275394.0 2284010.0 2288545.0 2291924.0 2299996.0 2310233.0 2320093.0 2328447.0 2334561.0 2338987.0 2342843.0 2350399.0 2360606.0 2369719.0 2378883.0 2386559.0 2390928.0 2394811.0 2402818.0 2414687.0 2424684.0 2434446.0 2442336.0 2447068.0 2451011.0 2460030.0 2471942.0 2482522.0 2492079.0 2500182.0 2505193.0 2509445.0 2518591.0 2532947.0 2545781.0 2558455.0 2569245.0 2575849.0 2581329.0 2594764.0 2612268.0 2629750.0 2645783.0 2659516.0 2667225.0 2674710.0 2690523.0 2713180.0 2734753.0 2755225.0 2772401.0 2782273.0 2791822.0 2808873.0 2833173.0 2855061.0 2873190.0 2885386.0 2893883.0 2900768.0 2910445.0 2930852.0 2956316.0 2980413.0 2998268.0 3011513.0 3022323.0 3044016.0 3073442.0 3099273.0 3123077.0 3142262.0 3153699.0 3163308.0 3188192.0 3217710.0 3245253.0 3268645.0 3287418.0 3299325.0 3310301.0 3332532.0 3357268.0 3381597.0 3400532.0 3416822.0 3425982.0 3433516.0 3451550.0 3473503.0 3491988.0 3507673.0 3520329.0 3527251.0 3533376.0 3548285.0 3565704.0 3577040.0 3584934.0 3593434.0 3598846.0 3603055.0 3614095.0 3626393.0 3635162.0 3642244.0 3648958.0 3651640.0];
deads = [0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 12.0 20.0 31.0 46.0 55.0 86.0 114.0 149.0 198.0 253.0 325.0 389.0 455.0 583.0 732.0 872.0 1017.0 1158.0 1342.0 1434.0 1607.0 1861.0 2107.0 2373.0 2544.0 2673.0 2799.0 2969.0 3254.0 3569.0 3868.0 4110.0 4294.0 4404.0 4598.0 4879.0 5094.0 5321.0 5500.0 5640.0 5750.0 5913.0 6115.0 6288.0 6481.0 6575.0 6649.0 6692.0 6831.0 6996.0 7119.0 7266.0 7369.0 7395.0 7417.0 7533.0 7634.0 7723.0 7824.0 7881.0 7914.0 7935.0 8007.0 8090.0 8147.0 8174.0 8216.0 8247.0 8257.0 8302.0 8349.0 8411.0 8450.0 8489.0 8500.0 8511.0 8522.0 8551.0 8581.0 8613.0 8646.0 8668.0 8674.0 8711.0 8729.0 8755.0 8763.0 8781.0 8787.0 8791.0 8800.0 8830.0 8856.0 8872.0 8883.0 8882.0 8885.0 8895.0 8914.0 8927.0 8948.0 8954.0 8957.0 8961.0 8973.0 8985.0 8994.0 9003.0 9010.0 9012.0 9016.0 9024.0 9036.0 9048.0 9054.0 9060.0 9063.0 9064.0 9068.0 9071.0 9078.0 9082.0 9083.0 9084.0 9086.0 9090.0 9095.0 9101.0 9111.0 9118.0 9118.0 9118.0 9122.0 9128.0 9134.0 9141.0 9148.0 9141.0 9148.0 9156.0 9168.0 9175.0 9183.0 9195.0 9196.0 9197.0 9201.0 9207.0 9211.0 9225.0 9231.0 9231.0 9232.0 9236.0 9243.0 9253.0 9260.0 9267.0 9269.0 9272.0 9277.0 9280.0 9285.0 9288.0 9289.0 9295.0 9298.0 9302.0 9313.0 9321.0 9322.0 9324.0 9325.0 9325.0 9329.0 9338.0 9341.0 9342.0 9347.0 9349.0 9350.0 9362.0 9368.0 9371.0 9378.0 9384.0 9386.0 9386.0 9396.0 9409.0 9428.0 9443.0 9452.0 9457.0 9460.0 9471.0 9488.0 9500.0 9508.0 9527.0 9529.0 9534.0 9546.0 9562.0 9578.0 9589.0 9604.0 9615.0 9621.0 9634.0 96770  9710.0 9734.0 9767.0 9777.0 9789.0 9836.0 9875.0 9905.0 9954.0 10003.0 10032.0 10056.0 10098.0 10183.0 10272.0 10349.0 10452.0 10481.0 10530.0 10661.0 10812.0 10930.0 11096.0 11226.0 11289.0 11352.0 11506.0 11767.0 11982.0 12200.0 12378.0 12485.0 12547.0 12814.0 13119.0 13370.0 13630.0 13884.0 14022.0 14112.0 14361.0 14771.0 15160.0 15586.0 15965.0 16123.0 16248.0 16636.0 17123.0 17602.0 18034.0 18517.0 18772.0 18919.0 19342.0 19932.0 20372.0 20970.0 21466.0 21787.0 21975.0 22475.0 23427.0 24125.0 24938.0 25640.0 26049.0 26275.0 27006.0 27968.0 28770.0 29182.0 29422.0 29778.0 30126.0 30978.0 32107.0 33071.0 33624.0 33960.0 34272.0 34574.0 35518.0 36537.0 37607.0 38795.0 39878.0 40343.0 40686.0 41577.0 42637.0 43881.0 44994.0 45974.0 46419.0 46633.0 47622.0 48770.0 49783.0 50642.0 51521.0 51870.0 52087.0 52990.0 53972.0 54913.0 55752.0 56546.0 56945.0 57120.0 57981.0 58956.0 59742.0 60597.0 61286.0 61517.0 61675.0 62156.0 62969.0 63635.0 64191.0 64742.0 64960.0 65076.0 65604.0 66164.0 66698.0 67206.0 67696.0 67841.0 67903.0 68318.0 68740.0 69125.0 69519.0 69888.0 70045.0 70105.0 70463.0 70881.0 71240.0 71504.0 71804.0 71900.0 71934.0 72189.0 72489.0 72810.0 73062.0 73301.0 73371.0 73418.0 73656.0 73905.0 74132.0 74358.0 74565.0 74664.0 74714.0 74964.0 75212.0 75440.0 75623.0 75780.0 75870.0 75913.0 76093.0 76342.0 76543.0 76775.0 76895.0 76963.0 77013.0 77103.0 77401.0 77707.0 78003.0 78249.0 78353.0 78452.0 78746.0 79088.0 79381.0 79628.0 79847.0 79914.0 80006.0 80303.0 80634.0 80893.0 81158.0 81444.0 81564.0 81624.0 81968.0 82280.0 82544.0 82850.0 83082.0 83192.0 83276.0 83591.0 83876.0 84126.0 84410.0 84648.0 84775.0 84829.0 85112.0 85380.0 85658.0 85848.0 86025.0 86096.0 86160.0 86381.0 86665.0 86902.0 87128.0 87298.0 87380.0 87423.0];
recovered = [0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 13500.0 16100.0 18700.0 21400.0 23800.0 26400.0 28700.0 30600.0 33000.0 46300.0 49000.0 53913.0 57400.0 60200.0 64300.0 68200.0 72600.0 77000.0 81800.0 85400.0 88000.0 91500.0 95200.0 99400.0 103300.0 106800.0 109800.0 112000.0 114500.0 117400.0 120400.0 123500.0 126900.0 129000.0 130600.0 132700.0 135100.0 137400.0 139900.0 141700.0 143300.0 144400.0 145600.0 147200.0 148700.0 150300.0 151700.0 152600.0 153400.0 154600.0 155700.0 156900.0 158000.0 159000.0 159900.0 160300.0 161200.0 162000.0 162800.0 163200.0 164100.0 164900.0 165200.0 165900.0 166400.0 167300.0 167800.0 168500.0 168900.0 169100.0 169600.0 170200.0 170700.0 171200.0 171600.0 171900.0 172200.0 172600.0 173100.0 173600.0 174100.0 174400.0 174700.0 174900.0 175300.0 175700.0 176300.0 176800.0 177100.0 177500.0 177700.0 178100.0 179100.0 179800.0 180300.0 181000.0 181300.0 181700.0 182200.0 182700.0 183100.0 183600.0 184000.0 184400.0 184600.0 185100.0 185500.0 186000.0 186400.0 186900.0 187200.0 187400.0 187800.0 188100.0 188600.0 189000.0 189400.0 189800.0 190000.0 190400.0 190800.0 191300.0 191800.0 192300.0 192700.0 192900.0 193500.0 194000.0 194600.0 195200.0 195900.0 196400.0 196800.0 197400.0 198100.0 198800.0 199500.0 200200.0 200800.0 201300.0 202100.0 203000.0 203900.0 204800.0 205800.0 206600.0 207100.0 208200.0 209300.0 210600.0 211900.0 213200.0 214200.0 214900.0 216200.0 217600.0 219100.0 220500.0 221900.0 222900.0 223700.0 225000.0 226500.0 228000.0 229400.0 230600.0 231400.0 232100.0 233300.0 234600.0 236000.0 237300.0 238700.0 239800.0 240700.0 242200.0 243700.0 245400.0 246900.0 248500.0 249700.0 250500.0 252500.0 254200.0 256000.0 257900.0 259500.0 260900.0 261900.0 263700.0 265600.0 267700.0 269600.0 271800.0 273500.0 274800.0 276900.0 279300.0 281900.0 284600.0 287600.0 290000.0 291900.0 294800.0 298300.0 302100.0 306100.0 310300.0 314100.0 317100.0 321600.0 326700.0 332800.0 339200.0 345700.0 351200.0 355900.0 363100.0 371500.0 381400.0 391600.0 402500.0 412000.0 419300.0 429600.0 441200.0 454800.0 467800.0 481700.0 493200.0 502300.0 515200.0 530200.0 546500.0 562700.0 579100.0 593100.0 603800.0 618800.0 636700.0 656400.0 676100.0 696100.0 711000.0 722300.0 739100.0 758800.0 779500.0 800000.0 820600.0 835700.0 846400.0 863300.0 881800.0 902100.0 922100.0 942100.0 957500.0 967900.0 984200.0 1003300.0 1025000.0 1047600.0 1069400.0 1085500.0 1097400.0 1115400.0 1136700.0 1160100.0 1184400.0 1184400.0 1223700.0 1236700.0 1255700.0 1277900.0 1302600.0 1328200.0 1328200.0 1368100.0 1381900.0 1401200.0 1424700.0 1451000.0 1474000.0 1494100.0 1511800.0 1525300.0 1545500.0 1570000.0 1596600.0 1620200.0 1641200.0 1657900.0 1672000.0 1691700.0 1716200.0 1741800.0 1762200.0 1780200.0 1795400.0 1807500.0 1823500.0 1844000.0 1866000.0 1883700.0 1898900.0 1911800.0 1921700.0 1935600.0 1954000.0 1973200.0 1991000.0 2008200.0 2020900.0 2029200.0 2041300.0 2057300.0 2073100.0 2087600.0 2101000.0 2112000.0 2119100.0 2128800.0 2141400.0 2154600.0 2165900.0 2176300.0 2185100.0 2190600.0 2198000.0 2207700.0 2217700.0 2226500.0 2235700.0 2243200.0 2248400.0 2255500.0 2264600.0 2274400.0 2283400.0 2292100.0 2299400.0 2304300.0 2310900.0 2319600.0 2328700.0 2337000.0 2345600.0 2352600.0 2358000.0 2365100.0 2374200.0 2383600.0 2392600.0 2401700.0 2409700.0 2415200.0 2423400.0 2433800.0 2445300.0 2456200.0 2467600.0 2477500.0 2484600.0 2494800.0 2507900.0 2521800.0 2535000.0 2548200.0 2560400.0 2569400.0 2581500.0 2597100.0 2614500.0 2631400.0 2647600.0 2661500.0 2671200.0 2683900.0 2700200.0 2718700.0 2736100.0 2752000.0 2765100.0 2775200.0 2787200.0 2803600.0 2824100.0 2845300.0 2865000.0 2882300.0 2893900.0 2910100.0 2931400.0 2954000.0 2975200.0 2995200.0 3012100.0 3024600.0 3040700.0 3061500.0 3084700.0 3107300.0 3128800.0 3147100.0 3159200.0 3175600.0 3196900.0 3220300.0 3240300.0 3259000.0 3275500.0 3286400.0 3300700.0 3320300.0 3340400.0 3358000.0 3374600.0 3387800.0 3397100.0 3408800.0];
endfunction

Anfängliches Infektionsgeschehen

Graphisch lässt sich das anfängliche Infektionsgeschehen wie folgt darstellen:

%aktuelle Daten: (passen nicht mehr zur exponenzieller Funktion) 
A=coronaData();
inf_falleWHO=A(1,:);
inf_falleWHOrecovered=A(3,:);
inf_falleWHOtoten=A(2,:);

inf_falleWHOaktuell=inf_falleWHO-inf_falleWHOrecovered;
n=length(inf_falleWHO)
timesWHO=[0:1:n-1];
 
figure(1)
 
title ('Corona- infizierten Detuschland, Quelle RKI')
plot (timesWHO, inf_falleWHO./1000, 's', "linewidth",4, 
timesWHO,inf_falleWHOaktuell/1000, '*' , 
timesWHO,inf_falleWHOrecovered/1000,'s',  timesWHO, 
inf_falleWHOtoten./1000 , '*' )
xlabel ('Tage von 26. Februar')
ylabel ('Zahlen in Tausend')
legend ( "German data I +R" ,"German data I ","German data R", 
"German data deaths" ,"location", "west")
grid on
xticks([10,20,30,40,50,60,70,80])
   
axis([0,80, 0 ,220])

Man erkennt hierbei, dass sich bis zum 30. Tag die Gesamtanzahl der Infizierten durch eine passende Exponentialfunktion annähern lässt. Diese lässt sich durch den folgenden Befehl in Octave ergänzen:

y=0.1*e.^(0.19*timesWHO);

Gesamtes Infektionsgeschehen

Das Gesamtgeschehen lässt sich analog zu vorherigem Abschnitt graphisch darstellen:

Um die Datenlage zu modellieren wird hier das SIR-Modell genutzt. Nach diesem wird die Bevölkerung in 3 Gruppen eingeteilt:

• Susceptible (Anfällige): Personen, welche mit der Krankheit angesteckt werden können.
• Infected (Infizierte): Personen, welche die Krankheit durchmachen und andere anstecken können.
• Removed (Entfernte): Personen, welche entweder immun sind (genesen) oder an der Krankheit verstarben.

Zwischen den Anzahlen der einzelnen Gruppen besteht folgender Zusammenhang:

${\textstyle S'(t)=-{\frac {c(t)}{rN}}S(t)I(t)}$

${\textstyle I'(t)={\frac {c(t)}{N}}S(t)I(T)-wI(t)}$

${\textstyle R'(t)=wI(t)}$

Hierbei beschreibt ${\textstyle c(t)}$ eine zeitabhängige Infektionsrate (abhängig von den getroffenen Entscheidungen der Gesellschaft), ${\textstyle r}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine infizierte Person als Infiziert erkannt wird (hier wurde zunächst von 10% ausgegangen), ${\textstyle N}$ ist die maximal mögliche Anzahl an Infizierten (wurde hier als 2/3 der Gesamtbevölkerung geschätzt) und ${\textstyle w}$ ist die Rate, mit der Menschen die Krankheit besiegen bzw. daran sterben.

Die Infektionsrate ${\textstyle c(t)}$ kann wie folgt aus den Daten bestimmt werden. Zum Vergleich wurde die Infektionsrate auch für den Fall bestimmt, dass die Zahl der Infizierten nicht beschränkt ist:

tatsächliche und slow-down Infektionsrate

%infektionsrate aus den RKI-Daten berechnet: 
T=1
ccc(1)=cc(1);
for i=T+1:n
ccc(i-T)=(inf_falleWHO(i)-inf_falleWHO(i-T))/(inf_falleWHO(i- T));
%psi zum Zeitpunkt t=0.5 mit Diffusionskonstante 1 % Infektionsrate aus dem beschränktem Modell
ccc2(i-T)=NM*(inf_falleWHO(i)-inf_falleWHO(i-T))/(inf_falleWHO(i-T)*(NM-0.001*inf_falleWHO(i-T)));
endfor
plot (ccc, '*', ccc2 , 's')

Hier lässt sich erkennen, dass sich die Infektionsrate in mehrere Teilintervalle gleichen Verhaltens einteilen lässt. Mit der Funktion "Slowdown" wird die Infektionsrate in diesen Bereichen approximiert.

function val=slowdown(x)
% Ab Tag t (Argument der Funktion) wir die Infektionsrate  in mehreren Schritten sinken: 
if x<29 val=1.1-x/29*0.2 ; 
   else  if x<47 val=(-0.0097*x+0.5)/0.32450; 
           else if x<75 val=(-0.0012*x+0.12)/0.32450; 
                   else if x<130  val=(0.0285+0.00036*x)/0.32450  ;
                   else if x<220  val=(0.085+x*0.00002)/0.32450;
                           else if x<250 val=(0.001*x-0.19)/0.32450;
                                   val=3.15*val;  % AH
                                  else if x<275 val=(-0.0008*x+0.248)/0.32450;
                                                  val=3.15*val;  
                                          else if x<300 val=(3.1*0.033+(x-275)*0.0018)/0.32450; 
                                                  else if x<350 val=(-0.00015*x+0.105)/0.32450;val=2.2*val;  
                                                          else if x<380 val=3.3*(-0.00019*x+0.1+(x-350)*0.0015)/0.32450;
                                                                  else val=14.3*0.016/0.32450+(x-380)*16.3*0.016/0.32450*0.025;
                                                          endif
                                                  endif
                                          endif
                                  endif
                           endif
                   endif
                   endif
           endif
   endif
endif
endfunction

Mit der Funktion "slowdown" kann nun wiederum die Infektionslage modelliert werden:

reale Daten sowie Approximation des Infektionsgeschehens

%Lösung des ODE Systems 
 times=(0:0.1:1.3*n);
 %Anfangsbedingungen 
 yo=[NM-16/1000;16/1000;0];
 f=@(y,x) [-c*slowdown(x)*y(1)*y(2)/(r*NM);c*slowdown(x)*y(1)*y(2)/NM-w*y(2);w*y(2)-0*y(2)];
 y = lsode (f, yo, times);
  
 figure(2)
 plot ( times, y (:,2), '-', times, y (:,3),'-',times, y (:,3)+y (:,2),'-')
 hold on
 plot (timesWHO, inf_falleWHO./1000, '.', "linewidth",4, timesWHO,inf_falleWHOaktuell/1000, '.' , timesWHO,inf_falleWHOrecovered/1000, '.' )
 legend ( "Infected", "Removed", " Infected+Removed","German data I +R" ,"German data I ","German data R" ,"location", "west")
 axis([0,1.3*n, 0 ,3000])  
 hold on
 plot (timesWHO, inf_falleWHO./1000, '.', "linewidth",4, timesWHO,inf_falleWHOaktuell/1000, '.' , timesWHO,inf_falleWHOrecovered/1000, '.' )
 legend ( "Infected", "Removed", " Infected+Removed","German data I +R" ,"German data I ","German data R" ,"location", "west") 

Hier erkennt man, dass trotz guter Näherung der Infiziertenzahlen die modellierten Zahlen der Genesenen stark von den echten Daten abweichen. Zudem musste auch die Funktion "slowdown" weniger an die Daten der Infektionsrate als an die Infektionszahlen selbst angepasst werden. Außerdem fällt auf, dass bereits kleine Änderungen in der "slowdown"-Funktion zu großen Änderungen in den modellierten Infektionszahlen führen.

Wie folgt kann man sich den Fehler der Modellierung noch anzeigen lassen:

relativer Fehler der Infected und Recovered

%relat. Fehler Infizierte 
%Interpolation der Funktionswerte an die RKI-Zeiten (Tage) 
I=interp1 (times, y(:,2), timesWHO+1);
abs_I=abs(I-inf_falleWHOaktuell/1000);
rel_I=abs(I-inf_falleWHOaktuell/1000)./(inf_falleWHOaktuell/1000);
plot (timesWHO, rel_I)
title ('relativer Fehler, Infected , Recovered')
hold on
%Fehlermaß 
maas_I=norm(abs_I)/norm(inf_falleWHOaktuell/1000)
%weiterer  Fehlermaß Durchschnitt und Euklid-Norm 
rel_I_mean=mean(rel_I)
rel_I_norm=norm(rel_I);
%relat. Fehler Genesene/Toten 
R=interp1 (times, y(:,3), timesWHO+1);
abs_R=abs(R-inf_falleWHOrecovered/1000);
rel_R=abs(R-inf_falleWHOrecovered/1000)./(inf_falleWHOrecovered/1000); 
plot (timesWHO, rel_R, '*')
hold off
legend('Infected', 'Recovered')
%Fehlermaß 
maas_R=norm(abs_R)/norm(inf_falleWHOrecovered/1000)
% weiterer Fehlermaß: Durchschnitt und Euklid-Norm 
rel_R_mean=mean(rel_R(36:length(timesWHO)))
rel_R_norm=norm(rel_R(36:length(timesWHO)));

Berücksichtigung der Impfungen

Ab dem 15.01.2021 wurde in Deutschland geimpft, somit hat sich ab dann die Anzahl der maximal möglichen Empfänglichen N verringert. Um dies zu beachten wurden zunächst die Daten des RKI bezüglich der täglich durchgeführten Zweitimpfungen wieder implementiert.

Impfungen=[ 0 0.610  0.906    17.362    15.771    34.964    51.584    41.907    35.559    44.959    23.147    38.685    48.439    59.638    46.098    57.646    52.167    30.533    61.486    67.732    95.445    70.776    77.174    53.065    26.096    56.783    74.221    76.798    67.443    76.095    45.579    25.265    55.632    54.694    55.776    51.296    54.841    37.115    29.107    60.108    59.759    59.583    58.507    65.425    40.029    24.285    49.384    53.698    69.059    62.836    67.409    49.305    34.462    52.505    54.742    65.745    60.894    71.717    49.439    35.993    58.894    67.036    79.509    75.353    82.847    53.862    38.762    76.189    83.513    88.191    80.002    88.656    63.177    52.750    89.034    93.359   103.115    92.615    71.658    66.012    53.518    73.375    99.281    97.184    89.794    88.768    65.551    50.020    76.911    73.605    83.524    71.035    75.368    56.518    39.188    60.850    61.886    71.919    66.335    67.946    59.851    47.866    73.340    90.484   127.377   132.811   137.762    76.382    67.960   116.008   162.431   227.883   219.748   231.902   154.720   103.519   192.554   284.650   362.851   159.407   230.327   164.932   122.007   204.786   355.842   533.059   487.112   436.746   258.427   159.531   181.350   377.132];

Anschließend wurde die maximale Anzahl der Empfänglichen dann für jeden einzelnen Tag berechnet:

NMV=ones(1, 456);
NMV=NMV*83000;
t=0
i=1
while i<n+1
   t=i-324;
   if i>325 
        NMV(i)=NMV(i)-sum(Impfungen(1:t));
   else NMV(i)=NMV(i);
   endif
   i=i+1;
endwhile
NMV=NMV*2/3;

Betrachtet man die täglichen Impfungen, so fällt auf, dass sich mit gleitendem Durchschnitt dargestellt, auch hier wieder einzelne Bereiche gleichen Verhaltens finden lassen:

V=0*ones(1, n);
V(n-n2+1:n)=V(n-n2+1:n)+Impfungen;
%psi zum Zeitpunkt t=0.5 mit Diffusionskonstante 1
% 7- Tage  Durchschnitt, moving Average 
for i=n-n2+1+4:n-3
Vaver(i)=sum(V(i-3:i+3))/7;
endfor
length(Vaver)
function val=vaccin(x)
if x<325 val=0.0 ; 
    else  if x<343 val=3.1097*(x-325);
            else if x<421 val= 3.1097*(343-325)+0.08*(x-343);  
                    else  val= 3.0597*(343-325)+0.08*(421-343)+8.0*(x-421);
            endif
    endif
endif
endfunction

% fuer graphische Darstellung 
for i=timesWHO+1
vacc_vektor(i)=vaccin(timesWHO(i));
endfor

figure(2)
plot(timesWHO, V)
hold on 
plot (timesWHO, vacc_vektor)
plot (timesWHO(1:n-3), Vaver)
title('Vaccinated')
axis([300,n,0,530])
legend('Geimpfte, Data', 'Geimpfte, Funktion' ,'Geimpfte Vaver',  "location",'west')
grid on

In folgendem Plot sieht man sowohl die echten Daten, als auch die Modellierung.

graphische Darstellung der echten Daten und der Modellierung der Geimpften

Anzumerken ist hier, dass nach langer Zeit mit der implementierten Funktion NMf negative Werte auftreten würden, was nicht realistisch wäre. Daher muss hierauf geachtet werden.

Baut man nun die Impfungen in das SIR-Modell ein, so kann dies wie folgt aussehen:

f=@(y,x) [-c*slowdown(x,25)*y(1)*y(2)/(r*NM)- vaccin(x, 0.158*NM);c*slowdown(x,25)*y(1)*y(2)/NM-w*y(2);w*y(2)-0*y(2)+ 1*vaccin(x,0.158*NM)];
yy = lsode (f, yo, times);
plot (timesWHO, inf_falleWHO./1000, '.', "linewidth",4, timesWHO,inf_falleWHOaktuell/1000, '.' , timesWHO,inf_falleWHOrecovered/1000, '.' )
plot ( times, yy (:,2),times, yy (:,1),"b" )
legend ("German data I +R" ,"German data I ","German data R" , "Infected mit vaccin", "Suspected mit vaccin", "location", "west")

Tutorium 4 - FDM für Poissongleichung

In Aufgabenteil a) der Tutoriumsaufgabe IV sollte die Finite-Differenzen-Methode (FDM) für die Dirichlet-Randwertaufgabe mit inhomogenen Randbedingungen auf einem rechteckigen Gebiet $D=(0,X_{end})\times (0,Y_{end})$ implementiert werden.

Bei Aufgabenteil b) sollte die Finite-Differenzen-Methode (FDM) für die Neumann-Randwertaufgabe auf dem Rechteck D mit homogenen Randbedingungen mit $\alpha =\beta =\gamma =\delta =0$ implementiert werden.

Aufgabenteil a): Implementierung der Randwertaufgabe für Dirichlet-Randbedingungen auf dem Rechteck

Die stationäre Diffusion wird mithilfe der Poissongleichung auf einem rechteckigen Gebiet und der Finiten Differenzen Methode implementiert:

$\displaystyle -a\Delta u=f\qquad in\ D=(0,X_{end})\times (0,Y_{end})$

$\displaystyle \quad u(x)=0\quad \ \ auf\ \partial D.$

Zuerst definieren wir die Quelldichtefunktion $f$ auf der rechten Seite der Poissongleichung.

Quelldichtefunktion f der rechten Seite der Poissongleichung

function wert=Quellfunktion(x,y)
  if sqrt((x.-3.25).^2+(y.-3).^2)<=0.35 wert=10;
    else wert=0;
  endif
endfunction

Nun wird das Gebiet $D$ durch die Endpunkte der Intervalle $X_{end},Y_{end}$ festgelegt. Die konstante Schrittweite $h=h_{x}=h_{y}$ wird durch die Anzahl $N$ der inneren X-Punkte bestimmt, wobei die Gitterpunkte wie folgt definiert sind: $\{(x_{i},y_{j}),\ i=1,\ldots N,\ j=1,\ldots M\}$, mit $x_{0}=0,\ x_{N+1}=X_{end},\ y_{0}=0,\ y_{M+1}{\stackrel {\approx }{=}}Y_{end}$

%definiere Gebiet D 
  xend=8; 
  yend=5;
%Anzahl von X-Punkten, verkleinern Sie diese um die Struktur der Matrix in weiteren Zellen besser zu erkennen 
N=50
%-------------------- 
  hx=xend/(N+1)
  hy=hx;
  M=floor((yend/hy))-1
  %Koordinatenmatrix der Gitterpunkte 
  [x,y]=meshgrid(hx:hx:xend-hx,hy:hy:yend-hy);

​ Als nächstes wird der konstante Diffusionskoeffizient festgelegt und die blocktridiagonale Systemmatrix $A_{h}\in {\mathbb {R} }^{NM\times NM}$ implementiert. Die Einträge befinden sich dabei nur auf der Diagonalen, auf den beiden Nebendiagonalen und auf der N-ten und -N-ten Nebendiagonale.

Systemmatrix B

%konstanter Diffusionskoeffizient 
a=1.0; %konstanter Diffusionskoeffizient
%--------------------------  
%RANDBEDINGUNGEN Vorbereitung fuer eine Teilaufgabe 
%-------------------------------------------  
%Dirichlet RB:  
V=[1:1:50];
wert_unten=0.01*V;
wert_oben=-0.02*V;
wert_links=-1/225*V.*V+2/15*V
wert_rechts=+0.05*V-1;
%-------------------------------------------  


%Systemmatrix  
%-------------------------------------------  
  Vec1=ones(N*M,1); %erzeugt Vektor aus Einsern der  Laenge N*M

 
  %Systemmatrix N^2xM^2 mit -4 auf der Diagonale und 1 auf den Nebendiagonalen und 1 auf den N und -N-ter Nebendiagonale 
  BB=diag(-4.*Vec1,0)+diag(ones(N*M-1,1),1)+ diag(ones(N*M-1,1),-1)+diag(ones(N*(M-1),1),N)+diag(ones(N*(M-1),1),-N);


%Korrektur der Matrix (Blocktridiagonalitaet) 
  for  i=1:(M-1) 
      BB(i*N+1,i*N)=0;BB(i*N,i*N+1)=0;
  endfor


%-------------------------------------------  
%Matrix mit Diffkoeff/h^2 multiplizieren  
%-------------------------------------------  
  BB=BB*a/hx^2;

 
  %Matrixdarstellung - optional  
  %-----------------------------  
  figure (1);
  %surface (BB)  
  spy (BB);
  xlabel("Spalten")
  ylabel("Zeilen")
  zlabel("Matrix B")
  title ("Systematrix B");

Die Matrix $f_{i,j}:=f(x_{i},y_{j})$ der rechten Seite der Poissongleichung wird in jedem Gitterpunkt definiert, um die Matrix mit Beiträgen aus den Dirichlet-Randbedingungen zu erweitern. Die Matrix $f_{i,j}\in {\mathbb {R} }^{N\times M}$ als Vektor ${\vec {f}}_{h}=:b\in {\mathbb {R} }^{NM}$ spaltenweise umgeordnet.

%rechte Seite des Systems 
    clear f;
  for i=1:N
  for j=1:M
   f(j,i)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i)); 
   %Dirichlet Randbedingung unten und Oben:  
   if j==1 f(j,i)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+ a*wert_unten(i)/hx^2; endif
   if j==M f(j,i)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+ a*wert_oben(i)/hx^2; endif
   %Dirichlet Randbedingung links und rechts:  
   %...if (i==1)|| (i==N )  
   if i==1 f(j,i)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+a*wert_links(j)/hx^2; endif
   if i==N f(j,i)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+a*wert_rechts(M+1-j)/hx^2; endif
   %endif  
   endfor
   endfor


  % Wichtig!: Ecken-Beiträge: da in den Ecken jeweils der Differenzenquotient in x (Wert links oder rechts)   
  %als auch in y Richtung (oben/unten) approximiert und aufaddiert werden muss   
  %---------------------------------  
  f(1,1)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+ a*wert_links(M)/hx^2+ a*wert_unten(1)/hx^2;
  f(1,N)= 1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+ a*wert_rechts(M)/hx^2+ a*wert_unten(N)/hx^2; %f(1,1);  
  f(M,1)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+ a*wert_links(1)/hx^2+ a*wert_oben(1)/hx^2;
  f(M,N)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+ a*wert_rechts(1)/hx^2+ a*wert_oben(N)/hx^2; %f(M,1);


  size (f)

 
  %reshape funktioniert Spaltenmässig:  es wird Spalte1, dann Spalte2, usw eingeordnet, wobei wir die Matrix f nach Reihen/Zeilen einordnen. 
  %Daher soll die Matrix f' mit N(Zeilen)x M(Spalten) in ein langern Vektor eingeordnet.  
  b=-1*reshape(f',N*M,1);

Mit dem Befehl 'x=A\b' wird die Lösung eines linearen Systems $Ax=b$ gefunden. Auf diese Weise wird unser Gleichungssystem gelöst. Der erhaltene Lösungsvektor $sol:={\vec {x}}_{h}$ wird dann wieder zurück in eine Lösungsmatrix überführt. Da die Matrix N Zeilen und M Spalten hat, werden die inneren Gitterpunkte erst nach dem Transponieren durch die Lösungsapproximationsmatrix $u_{i,j}$ repräsentiert.

Lösung unseres Gleichungssystems

Lösung unseres Gleichungssystems aus einer anderen Perspektive

 %LOESUNGSSCHRITT 
 %-------------------------------------------------  
 sol=BB\b;


 sol_matrix=reshape(sol,N,M);% Matrix mit N(Zeilen)x M(Spalten)
 sol_matrix=sol_matrix'; % Transponiert, wegen reshape
 %-------------------------------------------------  


 %Oeffne ein  Bildfenster und plotte die Lösung auf dem realen Koordinatenfeld  
 %-------------------------------------------------  
 figure(2);
 surfc(x,y,sol_matrix);
 title ("Loesung");
 ylabel("y")
 xlabel("x")
 colormap("hsv") 
 colorbar 

 
 figure(3);
 surfc(x,y,sol_matrix);
 title ("Loesung");
 ylabel("y")
 xlabel("x")
 colormap("hsv") 
 colorbar
 view([0.5,0.5,0.5])

   
 %weiteres Bild mit Quellfunktion- rechte Seite des Systems  
 figure(4);
 surfc(x,y,f);
 title ("Quellfunktion");
 ylabel("y")
 xlabel("x")
 %colormap("hsv") 

 
 figure(5);
 surfc(x,y,f);
 title ("Quellfunktion");
 ylabel("y")
 xlabel("x")
 view([0.5,0.5,0.5])

Aufgabenteil b): Implementierung der Randwertaufgabe für Neumann-Randbedingungen auf dem Rechteck

Zuerst definieren wir ein Rechteck. Die Blocktridiagonalmatrix wird um neue Blockzeilen und Blockspalten erweitert ${\tilde {A}}_{h}\in {\mathbb {R} }^{(N+2)(M+2)\times (N+2)(M+2)}$. Dabei ist jeder Block dieser Matrix eine Matrix $(N+2)\times (N+2)$. N wird mit N+2 und M mit M+2 ersetzt. Das bedeutet, dass auf der Diagonalen ein Vektor der Länge $(N+2)\times (M+2)$ gesetzt wird. Zur Implementierung der approximierten Richtungsableitungen an den Rändern sollen die ersten zwei Blöcke der ersten Blockzeile und die letzten zwei Blöcke der letzten Blockzeile sowie jeweils die erste und letzte Zeile der einzelnen Blöcke ersetzt werden. Um eine Lösung zu erhalten werden drei Randbedingungen durch Neumann und die Bedingung für den unteren Rand durch Dirichlet definiert.

Systemmatrix BB

[x,y]=meshgrid(hx-hx:hx:xend,hy-hy:hy:yend);


N=N+2
M=M+2


%konstanter Diffusionskoeffizient 
a=1.0; %konstanter Diffusionskoeffizient 
%-------------------------- 
%RANDBEDINGUNGEN Vorbereitung fuer eine Teilaufgabe 
%------------------------------------------- 
%Dirichlet RB: 
wert_unten=5;


%------------------------------------------- 


%Systemmatrix 
%------------------------------------------- 
  Vec1=ones(N*M,1); %erzeugt Vektor aus Einsern der  Laenge N*M


  %Systemmatrix N^2xM^2 mit -4 auf der Diagonale und 1 auf den Nebendiagonalen und 1 auf den N und -N-ter Nebendiagonale 
  BB=diag(-4.*Vec1,0)+diag(ones(N*M-1,1),1)+ diag(ones(N*M-1,1),-1)+diag(ones(N*(M-1),1),N)+diag(ones(N*(M-1),1),-N);


%Korrektur der Matrix (Blocktridiagonalitaet) 
  for  i=1:(M-1) 
      BB(i*N+1,i*N)=0;BB(i*N,i*N+1)=0;
  endfor


%-------------------------------------------  
%Matrix mit Diffkoeff/h^2 multiplizieren 
%------------------------------------------- 
  BB=BB*a/hx^2; 

 
  %Matrixdarstellung - optional 
  %----------------------------- 
  figure (6);
  %surface (BB);
  spy (BB);
  xlabel("Spalten")
  ylabel("Zeilen")
  zlabel("Matrix B")
  title ("Systematrix BB");

%Randbedingung Neumann 
c=a
h=hx
  block=diag((c/h)*ones(N,1));
  %oberer Rand 
  BB(N*(M-1)+1:N*M,N*(M-1)+1:N*M)=block;
  BB(N*(M-1)+1:N*M,N*(M-2)+1:N*(M-1))=-block;
  %-------------------------- 
  %Neumann RB für x 
  %---------------------------------------------------------------------- 
   for i=1:(M-2)
   vector_up=zeros(1,N*M);
   vector_up(N*i+1)=c/h;
   vector_up(N*i+2)=-c/h;
   vector_down=zeros(1,N*M);
   vector_down(N*i+N)=c/h;
   vector_down(N*i+N-1)=-c/h;
   BB(i*N+1,:)=vector_up ;
   BB(i*N+N,:)=vector_down ;
  endfor


  BB(1:N,1:N);

Im Folgenden wird die rechte Seite der Poissongleichung definiert. Ebenso wie in Aufgabenteil a) wird zum Lösen des Gleichungssystems die Matrix in einen Vektor überführt und anschließend wieder zu einer Lösungsapproximationsmatrix transponiert. Dann wird unsere Quellfunktion und die erhaltene Lösung geplottet.

 %rechte Seite des Systems  
    clear f;
  for i=1:N
  for j=1:M
   f(j,i)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i)); 
   %Dirichlet Randbedingung unten und Oben:  
   if j==1 f(j,i)=1*Quellfunktion(x(j,i),y(j,i))+ a*wert_unten/hx^2;
    endif
    

     % ausserdem muessen noch die untere Eckpunkte um Dirichlet Werte ergaenzt werden und zwar 2-fach... 
     f(1,1)=1*Quellfunktion(x(1,1),y(1,1))+ 2*a*wert_unten/hx^2;
     f(1,N)=1*Quellfunktion(x(1,N),y(1,N))+ 2*a*wert_unten/hx^2;
  endfor
  endfor


  size (f)

 
  %reshape funktioniert Spaltenmässig:  es wird Spalte1, dann Spalte2, usw eingeordnet, wobei wir die Matrix f nach Reihen/Zeilen einordnen. 
  %Daher soll die Matrix f' mit N(Zeilen)x M(Spalten) in ein langern Vektor eingeordnet. 
  b=-1*reshape(f',N*M,1);

Quellfunktion Aufgabenteil b)

Lösung des Gleichungssystems mit Neumannrandbedingungen und Dirichlet Randbedinung unten

Lösung des Gleichungssystems mit Neumannrandbedingungen und Dirichlet Randbedinung unten aus einer anderen Perspektive

%LOESUNGSSCHRITT 
  %------------------------------------------------- 
  sol=BB\b;


  sol_matrix=reshape(sol,N,M);% Matrix mit N(Zeilen)x M(Spalten)
  sol_matrix=sol_matrix'; % Transponiert, wegen reshape
  %------------------------------------------------- 

 
  %Oeffne ein  Bildfenster und plotte die Lösung auf dem realen Koordinatenfeld 
  %------------------------------------------------- 
  figure(7);
  surfc(x,y,sol_matrix);
  title ("Loesung Neumann RB + Dirichlet RB unten");
  ylabel("y")
  xlabel("x")
  colormap("hsv") 
  colorbar 
 

  figure(8);
  surfc(x,y,sol_matrix);
  title ("Loesung Neumann RB + Dirichlet RB unten");
  ylabel("y")
  xlabel("x")
  colormap("hsv") 
  colorbar
  view([0,0.5,0.5])
 

  %weiteres Bild mit Quellfunktion- rechte Seite des Systems 
  figure(9);
  surfc(x,y,f);
  title ("Quellfunktion");
  ylabel("y")
  xlabel("x")
  %colormap("hsv")  
 

  figure(10);
  surfc(x,y,f);
  title ("Quellfunktion");
  ylabel("y")
  xlabel("x")
  view([0.5,0.5,0.5])

Ergänzungen Octave-Tutorial

Diese Ergänzungen wurden bei dem Octave-Tutorial vorgenommen, um die Implementation der Gruppe bzgl. der verwendeten Octave-Befehle nachvollziehbar zu machen.

• Matrix-Multiplikation in Octave - notwendig für die Modellierung diskreter Transportprozesse.

Skripte in Octave

Referenzieren Sie hier die von Ihnen verwendeten Skripte und Bibliotheken in Octave oder R/Studio

Literatur

Notieren Sie hier die von Ihnen verwendete Literatur

• Quelle 1