Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere die \definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{} ${ \frac{ 1 }{ z^i } }$ in der Situation des Beweises zu Satz 26.2 als \definitionsverweis {Hauptteilverteilungen}{}{} auf $X$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
vom
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
$g$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass man jede
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{}
mit Träger in $P$ als eine Summe aus einer Hauptteilverteilung zu einer
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
auf $X$ und einer Hauptteilverteilung der Form
\mathl{\sum_{i= -1}^{-g} c_i z^{i}}{} schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Punkte auf $X$. Zeige, dass es eine auf $X$ definierte
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
$f$ gibt, die in den beiden Punkten holomorph ist mit den Werten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(Q)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte auf $X$. Zeige, dass es eine auf $X$ definierte
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
$f$ gibt, die genau in den vorgegebenen Punkten einen Pol besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte auf $X$. Zeige, dass es eine auf $X$ definierte nichtkonstante
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
$f$ gibt, die in den vorgegebenen Punkten holomorph ist und dort den vorgegebenen Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{,}
seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_k
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte auf $X$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^k P_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Divisor,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_D
}
{ =} { \bigcup_{n \in \N} \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (nD) \right) }
}
{ =} { \Gamma { \left( X \setminus \{ P_1 , \ldots , P_k \} , {\mathcal O}_{ X } \right) } \cap \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
vergleiche
Aufgabe 20.19.
Zeige, dass $\Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }$ der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {(x,y,z)} {(x+y+z,xy+xz+yz,xyz)
} {.}
Zeige, dass ein Punkt
\mathl{(x,y,z)}{} genau dann ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn in
\mathl{(x,y,z)}{} zwei Zahlen doppelt vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K^n} {K^n
} { \left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right) } { \left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)
} {,}
die einem Nullstellentupel
\mathl{\left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right)}{} das Koeffiziententupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{}
\zusatzklammer {ohne die $1$} {} {}
des
\definitionsverweis {normierten Polynoms}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X- \lambda_1) (X- \lambda_2) \cdots (X- \lambda_n)
}
{ =} { P
}
{ =} { c_0 +c_1X + \cdots + c_{n-1}X^{n-1} +X^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zuordnet.
\aufzaehlungsieben{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Begründe, dass die $\varphi$
\definitionsverweis {polynomiale Abbildungen}{}{}
sind.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
von $\varphi$ endlich sind.
}{Wann ist die Faser zu einem Tupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} leer?
}{Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreicht wird.
}{Es sei $K$ nun
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {symmetrische Polynom}{}{}
\mathdisp {3X^2Y^2Z^2-X^4-Y^4-Z^4+X^3Y^3Z^3} { }
als Polynom in den
\definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynomen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe die
\definitionsverweis {symmetrischen Polynome}{}{}
\mathdisp {X_1^k + \cdots + X_n^k} { }
als Polynom in den
\definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynomen}{}{.}
}
{} {}