Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 26

Aufgaben

Aufgabe

Interpretiere die meromorphen Funktionen ${}{\frac {1}{z^{i}}}$ in der Situation des Beweises zu Satz 26.2 als Hauptteilverteilungen auf ${}X$ .

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}P\in X$ ein Punkt. Zeige, dass man jede Hauptteilverteilung mit Träger in ${}P$ als eine Summe aus einer Hauptteilverteilung zu einer meromorphen Funktion auf ${}X$ und einer Hauptteilverteilung der Form ${}\sum _{i=-1}^{-g}c_{i}z^{i}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}P,Q\in X$ zwei Punkte auf ${}X$ . Zeige, dass es eine auf ${}X$ definierte meromorphe Funktion ${}f$ gibt, die in den beiden Punkten holomorph ist mit den Werten ${}f(P)=0$ und ${}f(Q)=1$ .

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ Punkte auf ${}X$ . Zeige, dass es eine auf ${}X$ definierte meromorphe Funktion ${}f$ gibt, die genau in den vorgegebenen Punkten einen Pol besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in X$ Punkte auf ${}X$ . Zeige, dass es eine auf ${}X$ definierte nichtkonstante meromorphe Funktion ${}f$ gibt, die in den vorgegebenen Punkten holomorph ist und dort den vorgegebenen Wert ${}a\in {\mathbb {C} }$ besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche, seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}\in X$ Punkte auf ${}X$ und sei ${}D=\sum _{i=1}^{k}P_{i}$ der Divisor, ${}k\geq 1$ . Es sei

{}R_{D}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,,

vergleiche Aufgabe 20.19. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ der Quotientenkörper von ${}R$ ist.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).

Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y,z)$ genau dann ein kritischer Punkt von ${}\varphi$ ist, wenn in ${}(x,y,z)$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abbildung

\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),

die einem Nullstellentupel ${}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ das Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ (ohne die ${}1$ ) des normierten Polynoms

{}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,

zuordnet.

Beschreibe ${}\varphi$ explizit für ${}n=2$ .
Beschreibe ${}\varphi$ explizit für ${}n=3$ .
Begründe, dass die ${}\varphi$ polynomiale Abbildungen sind.
Zeige, dass die Fasern von ${}\varphi$ endlich sind.
Wann ist die Faser zu einem Tupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ leer?
Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für ${}K=\mathbb {R}$ erreicht wird.
Es sei ${}K$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.