Bei vielen ZE ist die Modellierung als Laplace-Experiment sinnvoll, wenn man die Ergebnisse geeignet beschreibt. Insbesondere ist es dabei oft sinnvoll, die Ergebnisse als Tupel oder Mengen darzustellen. Um darauf aufbauend Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, ist es notwendig zu wissen, wieviele Tupel/Mengen mit bestimmten Eigenschaften es gibt.
Sind Mengen, so ist
die Produktmenge von . Ihre Elemente heißen Tupel.
Beachte: Bei Tupeln ist auch die Reihenfolge der Einträge (Komponenten) von Bedeutung. Ist , so ist .
Falls endliche Mengen sind, gilt:
- mit
-
mit
Ist eine Menge, so ist
Falls eine endliche Menge ist, gilt .
Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit I
[Bearbeiten]
-
mit
-
mit
- mit
Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit II
[Bearbeiten]
- Ein Würfel wird -mal geworfen. Mit der Ergebnismenge Dabei bedeutet das Ergebnis , dass beim 1.Wurf fällt, beim 2.Wurf und beim 3.Wurf .
Z.B.: (4,1,1) " Im 1.Wurf fällt eine , beim 2. und 3. Wurf eine "
ist das ZE ein Laplace-Experiment. Wir betrachten einige Ereignisse:
Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit III
[Bearbeiten]
- Ein 4-seitiger und ein 6-seitiger Würfel werden geworfen. Mit der Ergebnismenge Dabei bedeutet das Ergebnis , dass der -seitige Würfel zeigt und der -seitige Würfel zeigt. ist das ZE ein Laplace-Experiment. Wir betrachten einige Ereignisse:
Eine Münze wird -mal geworfen. Geben Sie eine Ergebnismenge an, bezüglich der dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Elemente hat ?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von . Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:
Jemand wählt zufällig eine der Farben blau, weiß, schwarz und rot für sein Hemd, eine der Farben blau, braun und schwarz für sein Hose und eine der Farben braun und schwarz für seine Schuhe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er
- mindestens ein schwarzes Kleidungsstück trägt.
- ein rotes Hemd trägt.
- drei gleichfarbige Kleidungsstücke trägt.
- drei verschiedenfarbige Kleidungsstücke trägt.
Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es Fragen mit jeweils Antwortmöglichkeiten und Fragen mit jeweils Antwortmöglichkeiten (bei jeder Frage ist genau eine Antwort richtig). Wie groß ist bei einer rein zufälligen Wahl der Antworten die Wahrscheinlichkeit
- alle Fragen richtig zu beantworten?
- mindestens Fragen richtig zu beantworten?
- keine Frage richtig zu beantworten?
Für definiert man:
Zusätzlich setzt man .
Für alle gilt dann:
In R berechnet man mit
Mengen von Tupeln mit paarweise verschiedenen Komponenten
[Bearbeiten]
Ist eine Menge mit , so gilt für alle :
- Insbesondere ist also:
Wir betrachten . Dann ist
mit .
Wir betrachten .
Dann ist:
mit .
Bei einer Feier sind 25 Personen anwesend. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 der Personen am selben Tag Geburtstag haben. Mit der Ergebnismenge ist das ZE ein Laplace-Experiment (dabei bezeichnen die Tage eines Jahres, wir ignorieren hierbei den 29.Februar). Es gilt .
Für das Ereignis : "Mindestens Personen haben am selben Tag Geburtstag." gilt:
Beim Lottospiel befinden sich 49 Kugeln mit den Nummern in einer Lostrommel. Daraus werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit der Ergebnismenge
ist das ZE ein Laplace-Experiment. Es gilt .
In einer Lostrommel befinden sich Kugeln mit den Nummern . Davon werden nun nacheinander Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge an, deren Elemente Tupel sind, so dass dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Element hat ?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von . Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:
Die Buchstaben werden zufällig aneinandergereiht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei das Wort MISSISSIPPI zu erhalten?
Ist und , so definiert man den Binomialkoeffizienten
Zusätzlich setzt man , falls oder ist.
- und
Die folgenden Rechenregeln gelten für beliebige :
In R berechnet man mit
Ist eine Menge, so ist (Potenzmenge von , siehe Ereignis).
Beachte: Eine Menge ändert sich nicht, wenn man ihre Elemente in anderer Reihenfolge aufzählt. Ist , so ist dennoch
Falls ist, so gilt
Für ist mit .
Weiter:
mit .
- Für eine -elementige Teilmenge gibt es genau Teilmengen mit Elementen.
- Zu einer -elementigen Menge gibt es genau Teilmenge mit Elementen (nämlich ) und genau Teilmenge mit (nämlich selbst).
- Beim Lottospiel befinden sich 49 Kugeln mit den Nummern in einer Lostrommel. Daraus werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit der Ergebnismenge
ist das ZE ein Laplace-Experiment. Es gilt .
- Ein Spieler hat bestimmte Zahlen ausgewählt. Das Ereignis besagt, dass genau diese Zahlen gezogen werden. Dabei gilt:
- Das Ereignis : Beim ersten Ziehen wird die 7 gezogen. kann mit nicht als Teilmenge dieser Ergebnismenge beschrieben werden.
- Ein Kartenspiel mit 32 Karten (in 4 Farben mit jeweils 8 Werten) wird gemischt und ein Spieler zieht 3 Karten. Mit der Ergebnismenge ist das ZE ein Laplace-Experiment. (Dabei stehen für die 4 Farben und für die 8 Werte. Es gilt .
- Das Ereignis besagt, dass alle 3 Karten dieselbe Farbe haben. Es ist:
- Das Ereignis besagt, dass alle 3 Karten verschiedene Farben haben. Es ist etwas komplizierter, als Menge präzise aufzuschreiben. Dies ist aber auch gar nicht nötig, denn es genügt die Elementanzahl zu bestimmen. Es gilt:
Rechenweg 1: Es gibt 32 Mögl. für die erste Karte, dann noch 24 Mögl. für die zweite Karte (denn sie muss ja eine andere Farbe haben, als die erste) und dann noch 16 Mögl. für die dritte Karte. Da bei den Ergebnissen die Reihenfolge nicht berücksichtigt werden darf (Ergebnisse sind Mengen), hat man dabei jedes Ergebnis, das in liegt, mehrfach (genau -mal) gezählt.
Rechenweg 2: Zunächst überlegt man sich, dass es Mögl. für die 3 der 4 vorkommenden Farben gibt. Dann gibt es für jede der drei ausgewählten Farben 8 Mögl. eine Karte auszuwählen.
In einer Klasse mit Schülern werden für ein Projekt ausgelost.
- befreundete Schüler wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sie alle an dem Projekt teilnehmen werden. Mit der Ergebnismenge
ist das ZE ein Laplace-Experiment. Das Ereignis besagt, dass die befreundeten Schüler alle dabei sind. besteht genau aus den Mengen der Form, die die drei Schüler und noch 4 weitere Schüler (von den übrigen 27) enthalten.
- Das Ereignis besagt, dass genau 2 der 3 befreundeten Schüler teilnehmen. Es gilt:
In einer Lostrommel befinden sich Kugeln mit den Nummern . Davon werden nun nacheinander Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge an, deren Elemente Mengen sind, so dass dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Element hat ?
Welche der folgenden Ereignisse können als Teilmenge von beschrieben werden. Bestimmen Sie die Elementanzahl dieser Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:
Aus einem Kartenspiel mit 32 (8 Werte in 4 verschiedenen Farben) Karten werden 5 zufällig gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei
- alle Farben unter den gezogenen Karten vorkommen.
- keine Karte mit dem höchsten der Werte gezogen wird.
- Karten gleicher Farbe gezogen werden ("Flush").
- Karten mit gleichem Wert und weitere Karten mit gleichem Wert gezogen werden ("Full House").
Geben Sie für jede der kombinatorischen Situationen (aus der Tabelle auf Seite 25) ein Alltagsbeispiel an (nicht aus der Vorlesung, dem Skript oder einer Übungsaufgabe).
Seien Ereignisse eines Zufallsexperiments. Beschreiben Sie mengentheoretisch (d. h. als Vereinigungs-, Schnitt- und/oder Komplementärmenge) die folgenden Ereignisse:
- Alle Ereignisse treten ein.
- Mindestens eines der Ereignisse tritt ein.
- Nur tritt ein.
Jemand wählt zufällig eine der Farben blau, weiß, schwarz und rot für sein Hemd, eine der Farben blau, braun und schwarz für sein Hose und eine der Farben braun und schwarz für seine Schuhe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er
- mindestens ein schwarzes Kleidungsstück trägt.
- ein rotes Hemd trägt.
- drei gleichfarbige Kleidungsstücke trägt.
- drei verschiedenfarbige Kleidungsstücke trägt.
Eine Münze wird -mal geworfen. Geben Sie eine Ergebnismenge an, bezüglich der dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wie viele Elemente hat ?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von . Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:
Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Statistik für Anwender' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.