Kurs:Statistik für Anwender/Kombinatorische Hilfsmittel

Kombinatorische Hilfsmittel

Bei vielen ZE ist die Modellierung als Laplace-Experiment sinnvoll, wenn man die Ergebnisse geeignet beschreibt. Insbesondere ist es dabei oft sinnvoll, die Ergebnisse als Tupel oder Mengen darzustellen. Um darauf aufbauend Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, ist es notwendig zu wissen, wieviele Tupel/Mengen mit bestimmten Eigenschaften es gibt.

Produktmengen und Tupel

Sind ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$ Mengen, so ist

$$X_{1}\times \ldots \times X_{m}=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{m});\ x_{k}\in X_{k}\right\}.$$

die Produktmenge von ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$. Ihre Elemente ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ heißen Tupel.

Beachte: Bei Tupeln ist auch die Reihenfolge der Einträge (Komponenten) von Bedeutung. Ist ${\textstyle a\not =b}$, so ist ${\textstyle (a,b)\not =(b,a)}$.

Falls ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$ endliche Mengen sind, gilt:

$$\left|X_{1}\times \ldots \times X_{m}\right|=|X_{1}|\cdot \ldots \cdot |X_{m}|$$

Beispiele Produktmengen und Tupel

• ${\textstyle \{a,b\}\times \{1,2,3\}=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}}$ mit ${\textstyle |\{a,b\}\times \{1,2,3\}|=6}$
• ${\textstyle \{1,2\}\times \{1,2,3,4\}\times \{1,2,3\}=}$
  ${\textstyle \left\{{\begin{array}{c}(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),\\(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(1,4,1),(1,4,2),(1,4,3),\\(2,1,1),(2,1,2),(1,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),\\(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(2,4,1),(2,4,2),(2,4,3)\end{array}}\right\}}$
  mit ${\textstyle |\{1,2\}\times \{1,2,3,4\}\times \{1,2,3\}|=24}$

Mächtigkeit

Ist ${\textstyle X}$ eine Menge, so ist

$$X^{m}=\underbrace {X\times \ldots \times X} _{m{\text{-mal}}}=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{m});\ x_{k}\in X\right\}.$$

Falls ${\textstyle X}$ eine endliche Menge ist, gilt ${\textstyle \left|X^{m}\right|=|X|^{m}}$.

Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit I

• ${\textstyle \{1,2,3,4,5,6\}^{2}=}$
  ${\textstyle \left\{{\begin{array}{l}(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}}\right\}}$
  
  mit ${\textstyle \left|\{1,2,3,4,5,6\}^{2}\right|=36}$
• ${\textstyle \{0,1\}^{4}=}$
  ${\textstyle \left\{{\begin{array}{c}(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,0,1,1),(0,1,0,0),(0,1,0,1),\\(0,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,0,1,1),\\(1,1,0,0),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1)\end{array}}\right\}}$
  mit ${\textstyle \left|\{0,1\}^{4}\right|=16}$
• ${\textstyle \{1,\ldots ,10\}^{5}=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{5});\ x_{i}\in \{1,\ldots ,10\}\right\}}$ mit ${\textstyle \left|\{1,\ldots ,10\}^{5}\right|=100000}$

Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit II

• Ein Würfel wird ${\textstyle 3}$-mal geworfen. Mit der Ergebnismenge ${\textstyle \Omega =\{1,\ldots ,6\}^{3}}$ Dabei bedeutet das Ergebnis ${\textstyle (\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}$, dass beim 1.Wurf ${\textstyle \omega _{1}}$ fällt, beim 2.Wurf ${\textstyle \omega _{2}}$ und beim 3.Wurf ${\textstyle \omega _{3}}$.
  ${\textstyle \;\quad \quad }$ Z.B.: (4,1,1) " Im 1.Wurf fällt eine ${\textstyle 4}$, beim 2. und 3. Wurf eine ${\textstyle 1}$ "
  ist das ZE ein Laplace-Experiment. Wir betrachten einige Ereignisse:
  
  $${\begin{array}{|rlcl|}\hline A:&{\text{'' Keine 2 wird geworfen.''}}&\rightarrow &P(A)={\frac {125}{216}}\\\hline B:&{\text{'' Mindestens eine 2 wird geworfen.''}}&\rightarrow &P(B)={\frac {91}{216}}\\\hline C:&{\text{'' Augensumme ist 6.''}}&\rightarrow &P(C)={\frac {10}{216}}\\\hline \end{array}}$$

Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit III

• Ein 4-seitiger und ein 6-seitiger Würfel werden geworfen. Mit der Ergebnismenge ${\textstyle \Omega =\{1,\ldots ,6\}\times \{1,\ldots ,4\}}$ Dabei bedeutet das Ergebnis ${\textstyle (\omega _{1},\omega _{2})}$, dass der ${\textstyle 6}$-seitige Würfel ${\textstyle \omega _{1}}$ zeigt und der ${\textstyle 4}$-seitige Würfel ${\textstyle \omega _{2}}$ zeigt. ist das ZE ein Laplace-Experiment. Wir betrachten einige Ereignisse:

$${\begin{array}{|rlcl|}\hline A:&{\text{'' Der sechseitige Würfel zeigt eine 3.''}}&\rightarrow &P(A)={\frac {1}{6}}\\\hline B:&{\text{'' Der vierseitige Würfel zeigt die größere Zahl. ''}}&\rightarrow &P(B)={\frac {6}{24}}\\\hline \end{array}}$$

Aufgabe 1

Eine Münze wird ${\textstyle 6}$-mal geworfen. Geben Sie eine Ergebnismenge ${\textstyle \Omega }$ an, bezüglich der dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Elemente hat ${\textstyle \Omega }$?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von ${\textstyle \Omega }$. Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:

$${\begin{array}{rcl}A:&&{\text{Es fällt genau zweimal Kopf.}}\\B:&&{\text{Zahl fällt mindestens viermal hintereinander.}}\\C:&&{\text{Bei den ersten beiden Würfen fällt Zahl.}}\\&&D=A\cap B,\quad E=A\cap C\end{array}}$$

Aufgabe 2

Jemand wählt zufällig eine der Farben blau, weiß, schwarz und rot für sein Hemd, eine der Farben blau, braun und schwarz für sein Hose und eine der Farben braun und schwarz für seine Schuhe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er

• mindestens ein schwarzes Kleidungsstück trägt.
• ein rotes Hemd trägt.
• drei gleichfarbige Kleidungsstücke trägt.
• drei verschiedenfarbige Kleidungsstücke trägt.

Aufgabe 3

Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es ${\textstyle 4}$ Fragen mit jeweils ${\textstyle 4}$ Antwortmöglichkeiten und ${\textstyle 2}$ Fragen mit jeweils ${\textstyle 6}$ Antwortmöglichkeiten (bei jeder Frage ist genau eine Antwort richtig). Wie groß ist bei einer rein zufälligen Wahl der Antworten die Wahrscheinlichkeit

• alle Fragen richtig zu beantworten?
• mindestens ${\textstyle 5}$ Fragen richtig zu beantworten?
• keine Frage richtig zu beantworten?

Fakultät

Definition Fakultät

Für ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ definiert man:

$$n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n\quad ({\text{sprich:}}\ \mathbf {n} \ {\text{Fakultät}}).$$

Zusätzlich setzt man ${\textstyle 0!=1}$.
Für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ gilt dann:
${\textstyle \ (n+1)!=(n+1)\cdot n!}$

Beispiel Fakultät

${\textstyle 1!=1,\quad 2!=2,\quad 3!=6,\quad 4!=24,\quad 5!=120,\quad \ldots }$

Fakultät in R

In R berechnet man ${\textstyle n!}$ mit ${\textstyle \;\color {blue}{{\text{factorial(}}n).}}$

Mengen von Tupeln mit paarweise verschiedenen Komponenten

Ist ${\textstyle X}$ eine Menge mit ${\textstyle |X|=n<\infty }$, so gilt für alle ${\textstyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$:

$$\left|\{(x_{1},\ldots ,x_{k})\in X^{k};\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}\right|=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)$$

$={\frac {n!}{(n-k)!}}$ Insbesondere ist also:

$$\left|\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X^{n};\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}\right|=n!$$

Beispiel I

Wir betrachten ${\textstyle X=\{a,b,c,d,e\}}$. Dann ist

${\textstyle {\begin{aligned}\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in X;\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}=\end{aligned}}}$
${\textstyle {\begin{aligned}{\left\{{\begin{array}{l}(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,c,b),(a,c,d),(a,c,e),(a,d,b),(a,d,c),(a,d,e),(a,e,b),(a,e,c),(a,e,d)\\(b,a,c),(b,a,d),(b,a,e),(b,c,b),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,a),(b,d,c),(b,d,e),(b,e,a),(b,e,c),(b,e,d)\\(c,a,b),(c,a,d),(c,a,e),(c,b,a),(c,b,d),(c,b,e),(c,d,a),(c,d,b),(c,d,e),(c,e,a),(c,e,b),(c,e,d)\\(d,a,b),(d,a,c),(d,a,e),(d,b,a),(d,b,c),(d,b,e),(d,c,a),(d,c,b),(d,c,e),(d,e,a),(d,e,b),(d,e,c)\\(e,a,b),(e,a,c),(e,a,d),(e,b,a),(e,b,c),(e,b,d),(e,c,a),(e,c,b),(e,c,d),(e,d,a),(e,d,b),(e,d,c)\end{array}}\right\}}\end{aligned}}}$
mit ${\textstyle \left|\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in X;\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}\right|=60}$.

Beispiel II

Wir betrachten ${\textstyle X=\{1,2,3,4\}}$.
Dann ist:
${\textstyle \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in X;\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}=}$
${\textstyle {\left\{{\begin{array}{c}(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),\\(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),\\(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),\\(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)\end{array}}\right\}}}$
mit ${\textstyle \left|\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in X;\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}\right|=24}$.

Beispiel III

Bei einer Feier sind 25 Personen anwesend. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 der Personen am selben Tag Geburtstag haben. Mit der Ergebnismenge ${\textstyle \Omega =\left\{t_{1},\ldots ,t_{365}\right\}^{25}}$ ist das ZE ein Laplace-Experiment (dabei bezeichnen ${\textstyle t_{1},\ldots ,t_{365}}$ die Tage eines Jahres, wir ignorieren hierbei den 29.Februar). Es gilt ${\textstyle |\Omega |=365^{25}}$.

Für das Ereignis ${\textstyle A}$: "Mindestens ${\textstyle 2}$ Personen haben am selben Tag Geburtstag." gilt:
${\textstyle P(A)=0.569}$

Beispiel IV.1

Beim Lottospiel befinden sich 49 Kugeln mit den Nummern ${\textstyle 1,\ldots ,49}$ in einer Lostrommel. Daraus werden ${\textstyle 6}$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit der Ergebnismenge

$$\Omega =\left\{(x_{1},\ldots ,x_{6})\in \{1,\ldots ,49\}^{6};\ x_{i}\not =x_{j}\right\}$$

ist das ZE ein Laplace-Experiment. Es gilt ${\textstyle |\Omega |=10068347520}$.

• Ein Spieler hat ${\textstyle 6}$ bestimmte Zahlen ${\textstyle z_{1},\ldots ,z_{6}}$ ausgewählt. Das Ereignis ${\textstyle G}$ besagt, dass genau diese ${\textstyle 6}$ Zahlen gezogen werden. Dabei gilt:
  

  $$P(G)={\frac {1}{13983816}}$$

Beispiel IV.2

• Für das Ereignis ${\textstyle A}$: Beim ersten Ziehen wird die 7 gezogen. gilt: Da für ein Element von ${\textstyle A}$ (unter Berücksichtigung der Reihenfolge) immer ${\textstyle 5}$ verschiedene von ${\textstyle 48}$ Zahlen ausgewählt werden, gilt:
  

  $$\quad P(A)={\frac {1}{49}}$$

Aufgabe 1

In einer Lostrommel befinden sich ${\textstyle 7}$ Kugeln mit den Nummern ${\textstyle 1,\ldots ,7}$. Davon werden nun nacheinander ${\textstyle 3}$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge ${\textstyle \Omega }$ an, deren Elemente Tupel sind, so dass dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Element hat ${\textstyle \Omega }$?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von ${\textstyle \Omega }$. Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:

$${\begin{array}{rcl}A:&&{\text{Die Zahlen 1 und 2 werden beide nicht gezogen.}}\\B:&&{\text{Die Zahlen 1 und 2 werden beide gezogen.}}\\C:&&{\text{Beim zweiten Ziehen zieht man die Zahl 7.}}\\D:&&{\text{Die Summe der gezogenen Zahlen beträgt 12.}}\\E:&&{\text{Die gezogenen Zahlen werden immer größer.}}\end{array}}$$

Aufgabe 2

Die Buchstaben ${\textstyle I,I,I,I,M,P,P,S,S,S,S}$ werden zufällig aneinandergereiht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei das Wort MISSISSIPPI zu erhalten?

Binomialkoeffizienten

Ist ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\textstyle k\in \{0,\ldots ,n\}}$, so definiert man den Binomialkoeffizienten

$${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k}}\quad ({\text{sprich:}}\ \mathbf {n} \ {\text{über}}\ \mathbf {k} ).$$

Zusätzlich setzt man ${\textstyle {n \choose k}=0}$, falls ${\textstyle k<0}$ oder ${\textstyle k>n}$ ist.

Beispiel Binomialkoeffizient

• ${\textstyle {5 \choose 2}=10}$
• ${\textstyle {10 \choose 6}={\frac {10!}{6!\cdot 4!}}=210\ }$ und ${\textstyle \ {10 \choose 4}=210}$
• ${\textstyle {78 \choose 24}=79~065~487~387~985~395~712}$

Rechenregeln für Binomialkoeffizient

Die folgenden Rechenregeln gelten für beliebige ${\textstyle n,k\in \mathbb {N} }$:

$${n \choose 0}={n \choose n}=1,\quad \quad {n \choose 1}={n \choose n-1}=n,\quad \quad {n \choose k}={n \choose n-k}$$

$$k\cdot {n \choose k}=n\cdot {n-1 \choose k-1}\ (k,n\geq 1),\quad \quad {n+1 \choose k+1}={n \choose k}+{n \choose k+1}$$

Berechnung in R

In R berechnet man ${\textstyle {n \choose k}}$ mit ${\textstyle \;\color {blue}{{\text{choose(}}n,k).}}$

Mengen von (Teil-)Mengen

Ist ${\textstyle X}$ eine Menge, so ist ${\textstyle {\mathcal {P}}(X)=\{Y;\ Y\subseteq X\}}$ (Potenzmenge von ${\textstyle X}$, siehe Ereignis).
Beachte: Eine Menge ändert sich nicht, wenn man ihre Elemente in anderer Reihenfolge aufzählt. Ist ${\textstyle a\not =b}$, so ist dennoch ${\textstyle \{a,b\}=\{b,a\}}$

Falls ${\textstyle |X|=n<\infty }$ ist, so gilt

$$\left|{\mathcal {P}}(X)\right|=2^{n}\quad {\text{und}}\quad \left|\{Y\subseteq X;\ |Y|=k\}\right|={n \choose k}\quad {\text{für alle}}\ k\in \{0,\ldots ,n\}$$

Beispiel I

Für ${\textstyle X=\{a,b,c,d,e,f\}}$ ist

$$\{Y\subseteq X;\ |Y|=3\}=\left\{{\begin{array}{c}\{a,b,c\},\ \{a,b,d\},\ \{a,b,e\},\ \{a,b,f\},\ \{a,c,d\},\\\{a,c,e\},\ \{a,c,f\}\ \{a,d,e\},\ \{a,d,f\}\ \{a,e,f\},\\\{b,c,d\},\ \{b,c,e\}\ \{b,c,f\},\ \{b,d,e\}\ \{b,d,f\},\\\{b,e,f\},\ \{c,d,e\}\ \{c,d,f\},\ \{c,e,f\}\ \{d,e,f\}\end{array}}\right\}$$

mit ${\textstyle \left|\{Y\subseteq X;\ |Y|=3\}\right|=20}$.
Weiter:

$$\{Y\subseteq X;\ |Y|=5\}={\big \{}\{a,b,c,d,e\},\ \{a,b,c,d,f\},\ \{a,b,c,e,f\},$$

$$\{a,b,d,e,f\},\ \{a,c,d,e,f\},\ \{b,c,d,e,f\}{\big \}}$$

mit ${\textstyle \left|\{Y\subseteq X;\ |Y|=5\}\right|=6}$.

Beispiel II

• Für eine ${\textstyle 40}$-elementige Teilmenge gibt es genau ${\textstyle 847660528}$ Teilmengen mit ${\textstyle 10}$ Elementen.
• Zu einer ${\textstyle n}$-elementigen Menge ${\textstyle X}$ gibt es genau ${\textstyle 1}$ Teilmenge mit ${\textstyle 0}$ Elementen (nämlich ${\textstyle \emptyset }$) und genau ${\textstyle 1}$ Teilmenge mit ${\textstyle n}$ (nämlich ${\textstyle X}$ selbst).

Beispiel III

• Beim Lottospiel befinden sich 49 Kugeln mit den Nummern ${\textstyle 1,\ldots ,49}$ in einer Lostrommel. Daraus werden ${\textstyle 6}$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit der Ergebnismenge
  
  $$\Omega =\left\{Y\subseteq \{1,\ldots ,49\};\ |Y|=6\right\}$$
  
  ist das ZE ein Laplace-Experiment. Es gilt ${\textstyle |\Omega |=13983816}$.
  
  • Ein Spieler hat ${\textstyle 6}$ bestimmte Zahlen ${\textstyle z_{1},\ldots ,z_{6}}$ ausgewählt. Das Ereignis ${\textstyle G}$ besagt, dass genau diese ${\textstyle 6}$ Zahlen gezogen werden. Dabei gilt:
    
    $$\rightarrow \quad P(G)={\frac {1}{13983816}}$$
    
    
  • Das Ereignis ${\textstyle A}$: Beim ersten Ziehen wird die 7 gezogen. kann mit nicht als Teilmenge dieser Ergebnismenge ${\textstyle \Omega }$ beschrieben werden.

Beispiel IV

• Ein Kartenspiel mit 32 Karten (in 4 Farben mit jeweils 8 Werten) wird gemischt und ein Spieler zieht 3 Karten. Mit der Ergebnismenge
  $$\Omega =\left\{Y\subseteq \{A1,\ldots ,A8,\ B1,\ldots ,B8,\ C1,\ldots ,C8,\ D1,\ldots ,D8\};\ |Y|=3\right\}$$
  ist das ZE ein Laplace-Experiment. (Dabei stehen ${\textstyle A,B,C,D}$ für die 4 Farben und ${\textstyle 1,\ldots ,8}$ für die 8 Werte. Es gilt ${\textstyle |\Omega |=4960}$.
  • Das Ereignis ${\textstyle A}$ besagt, dass alle 3 Karten dieselbe Farbe haben. Es ist:
    
    $$\rightarrow \quad P(A)=0.04516$$

Beispiel V

• • Das Ereignis ${\textstyle B}$ besagt, dass alle 3 Karten verschiedene Farben haben. Es ist etwas komplizierter, ${\textstyle B}$ als Menge präzise aufzuschreiben. Dies ist aber auch gar nicht nötig, denn es genügt die Elementanzahl ${\textstyle |B|}$ zu bestimmen. Es gilt:
    
    $$|B|=2048$$

Beispiel VI

Rechenweg 1: Es gibt 32 Mögl. für die erste Karte, dann noch 24 Mögl. für die zweite Karte (denn sie muss ja eine andere Farbe haben, als die erste) und dann noch 16 Mögl. für die dritte Karte. Da bei den Ergebnissen die Reihenfolge nicht berücksichtigt werden darf (Ergebnisse sind Mengen), hat man dabei jedes Ergebnis, das in ${\textstyle B}$ liegt, mehrfach (genau ${\textstyle 3!}$-mal) gezählt.
Rechenweg 2: Zunächst überlegt man sich, dass es ${\textstyle {4 \choose 3}}$ Mögl. für die 3 der 4 vorkommenden Farben gibt. Dann gibt es für jede der drei ausgewählten Farben 8 Mögl. eine Karte auszuwählen.

$${\text{Es folgt:}}\quad P(B)=0.4129$$

Beispiel VII

In einer Klasse mit ${\textstyle 30}$ Schülern werden ${\textstyle 7}$ für ein Projekt ausgelost.

• ${\textstyle 3}$ befreundete Schüler wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sie alle ${\textstyle 3}$ an dem Projekt teilnehmen werden. Mit der Ergebnismenge
  $$\Omega =\left\{Y\subseteq \{s_{1},\ldots ,s_{30}\};\ |Y|=7\right\}$$
  
  ist das ZE ein Laplace-Experiment. Das Ereignis ${\textstyle A}$ besagt, dass die ${\textstyle 3}$ befreundeten Schüler alle dabei sind. ${\textstyle A}$ besteht genau aus den Mengen der Form, die die drei Schüler und noch 4 weitere Schüler (von den übrigen 27) enthalten.
  
  $${\text{Also:}}\quad P(A)=0.0086$$
• Das Ereignis ${\textstyle B}$ besagt, dass genau 2 der 3 befreundeten Schüler teilnehmen. Es gilt:
  $$|B|=242190\quad \rightarrow \quad P(B)=0.1190$$

Zusammenfassung:

$${\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline {\text{Situation}}&{\text{Interpretation als}}&{\text{Beachtung der }}&{\text{Berechnung der Anzahl }}\\&{\text{''Ziehen''}}&{\text{Reihenfolge}}&{\text{der Mögl. insgesamt}}\\\hline \hline {\text{verschiedeneartige Möglichkeiten}}&{\text{verschiedene Stapel,}}&{\text{Ja}}&{\text{Produkt}}\\{\text{unabhängige Auswahl}}&&&\\\hline {\text{gleichartige Möglichkeiten}}&{\text{ein Stapel,}}&{\text{Ja}}&{\text{Potenz}}\\{\text{unabhängige Auswahl}}&{\text{mit Zurücklegen}}&&\\\hline {\text{gleichartige Möglichkeiten,}}&{\text{ein Stapel,}}&{\text{Ja}}&{\text{Produkt mit kleiner}}\\{\text{Wiederholungen ausgeschlossen}}&{\text{ohne Zurücklegen}}&&{\text{werdenden Faktoren}}\\\hline {\text{gleichartige Möglichkeiten,}}&{\text{ein Stapel,}}&{\text{Ja}}&{\text{Fakultät}}\\{\text{Wiederholungen ausgeschlossen,}}&{\text{ohne Zurücklegen,}}&&\\{\text{alle Mögl. müssen vorkommen}}&{\text{Stapel komplett gezogen}}&&\\\hline {\text{gleichartige Möglichkeiten,}}&{\text{ein Stapel,}}&{\text{Nein}}&{\text{Binomialkoeffizient}}\\{\text{Wiederholungen ausgeschlossen,}}&{\text{ohne Zurücklegen,}}&&\\\hline \end{array}}$$

Aufgaben

Aufgabe I

In einer Lostrommel befinden sich ${\textstyle 7}$ Kugeln mit den Nummern ${\textstyle 1,\ldots ,7}$. Davon werden nun nacheinander ${\textstyle 3}$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge ${\textstyle \Omega }$ an, deren Elemente Mengen sind, so dass dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Element hat ${\textstyle \Omega }$?
Welche der folgenden Ereignisse können als Teilmenge von ${\textstyle \Omega }$ beschrieben werden. Bestimmen Sie die Elementanzahl dieser Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:

$${\begin{array}{rcl}A:&&{\text{Die Zahlen 1 und 2 werden beide nicht gezogen.}}\\B:&&{\text{Die Zahlen 1 und 2 werden beide gezogen.}}\\C:&&{\text{Beim zweiten Ziehen zieht man die Zahl 7.}}\\D:&&{\text{Die Summe der gezogenen Zahlen beträgt 12.}}\\E:&&{\text{Die gezogenen Zahlen werden immer größer.}}\end{array}}$$

Aufgabe II

Aus einem Kartenspiel mit 32 (8 Werte in 4 verschiedenen Farben) Karten werden 5 zufällig gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei

• alle ${\textstyle 4}$ Farben unter den gezogenen Karten vorkommen.
• keine Karte mit dem höchsten der Werte gezogen wird.
• ${\textstyle 5}$ Karten gleicher Farbe gezogen werden ("Flush").
• ${\textstyle 3}$ Karten mit gleichem Wert und weitere ${\textstyle 2}$ Karten mit gleichem Wert gezogen werden ("Full House").

Aufgabe III

Geben Sie für jede der kombinatorischen Situationen (aus der Tabelle auf Seite 25) ein Alltagsbeispiel an (nicht aus der Vorlesung, dem Skript oder einer Übungsaufgabe).

Aufgabe IV

Seien ${\textstyle A_{1}\ ,A_{2}\ ,....,A_{n}}$ Ereignisse eines Zufallsexperiments. Beschreiben Sie mengentheoretisch (d. h. als Vereinigungs-, Schnitt- und/oder Komplementärmenge) die folgenden Ereignisse:

1. Alle Ereignisse ${\textstyle A_{1}\ ,A_{2}\ ,....,A_{n}}$ treten ein.
2. Mindestens eines der Ereignisse ${\textstyle A_{1}\ ,A_{2}\ ,....,A_{n}}$ tritt ein.
3. Nur ${\textstyle A_{1}}$ tritt ein.

Aufgabe V

Jemand wählt zufällig eine der Farben blau, weiß, schwarz und rot für sein Hemd, eine der Farben blau, braun und schwarz für sein Hose und eine der Farben braun und schwarz für seine Schuhe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er

• mindestens ein schwarzes Kleidungsstück trägt.
• ein rotes Hemd trägt.
• drei gleichfarbige Kleidungsstücke trägt.
• drei verschiedenfarbige Kleidungsstücke trägt.

Aufgabe VI

Eine Münze wird ${\textstyle 4}$-mal geworfen. Geben Sie eine Ergebnismenge ${\textstyle \Omega }$ an, bezüglich der dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wie viele Elemente hat ${\textstyle \Omega }$?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von ${\textstyle \Omega }$. Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:

$${\begin{array}{rcl}A:&&{\text{Es fällt genau zweimal Kopf.}}\\B:&&{\text{Zahl fällt mindestens zweimal hintereinander.}}\\C:&&{\text{Bei den ersten beiden Würfen fällt Zahl.}}\\&&D=A\cap B,\quad E=A\cap C\end{array}}$$

Siehe auch

• Kurs:Stochastik

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