Kurs:Stochastik/multivariate hypergeometrische Verteilung

Einführung

Die multivariate hypergeometrische Verteilung oder allgemeine hypergeometrische Verteilung ist eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung und zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie ist eine multivariate Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung und kann aus dem Urnenmodell mit $k$ Teilmengen von Kugeln abgeleitet werden.

Messraum

Der Messraum $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ist mit ${\mathcal {S}}=\wp (\Omega )$ wie folgt definiert.

{\mathfrak {K}}_{i}\subset \{1,\ldots ,N\}

paarweise disjunkt für

i\in \{1,\ldots ,k\}

mit

{\mathfrak {K}}_{i}\not =\emptyset

,

\bigcup _{i=1}^{k}{\mathfrak {K}}_{i}=\{1,\ldots ,N\}

\Omega :=\left\{(T_{1},\ldots ,T_{k})\ \left|\ T_{i}\subset {\mathfrak {K}}_{i}{\mbox{ für alle }}i\in \{1,\ldots ,k\}\ \wedge \ \left|\bigcup _{i=1}^{k}T_{i}\right|=n\right.\right\}.

Beispiel

In einer Urne sind 20 Kugel. Die Kugeln 1-10 sind rote Kugel, die Kugel 11-17 sind gelbe Kugeln und die 18-20 sind blau. Insgesamt sollen $6$ Kugeln an. Wenden Sie die obige Notation für dieses konkrete Beispiel an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von jeder Farbe die gleiche Anzahl von Kugeln gezogen wird.

Zufallsgrößen

Sei $\omega :=(T_{1},\ldots ,T_{k})\in \Omega$ gegeben und die folgenden Zufallsgrößen geben im Beispiel die Anzahl $X_{i}(\omega )$ der gezogenen Kugeln von der $i$ -ten Farbe an, also der gezogenen Kugeln aus ${\mathfrak {K}}_{i}$ . Formal lässt die Abbildung wie folgt definieren:

X_{i}(\omega )=X_{i}(T_{1},\ldots ,T_{k}):=|T_{i}|=:b_{i}

mit

X(\omega )=(X_{1}(\omega ),\ldots ,X_{k}(\omega ))=(b_{1},\ldots ,b_{k})\in \mathbb {N} _{o}^{k}.

Definition

Eine Zufallsvariable $X$ mit Werten in $\{(b_{1},\ldots ,b_{k})\in \mathbb {N} _{0}^{k}\,|\,b_{1}+\ldots +b_{k}=n\}$ heißt multivariat hypergeometrisch verteilt zu den Parametern $B=(B_{1},\ldots ,B_{k})\in \mathbb {N} _{0}^{k}$ mit $B_{1}+\ldots +B_{k}=N$ und $n\leq N$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

f_{B,n}(b_{1},\dots ,b_{k})={\frac {{\binom {B_{1}}{b_{1}}}\cdot {\binom {B_{2}}{b_{2}}}\cdot \ldots \cdot {\binom {B_{k}}{b_{k}}}}{\binom {N}{n}}}

besitzt. Man schreibt dann $X\sim {\mathcal {H}}_{B,n}$ oder $X\sim Hyp_{B,n}$ wie bei der hypergeometrischen Verteilung.

Herleitung aus dem Urnenmodell

Die multivariate hypergeometrische Verteilung lässt sich anschaulich aus dem Urnenmodell herleiten. Gegeben sei eine Urne mit insgesamt $N$ Kugeln, von denen jede in einer von $k$ unterschiedlichen Farben eingefärbt ist. Von der Farbe $i$ gibt es $B_{i}$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, beim $n$ -maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau $b_{i}$ Kugeln der Farbe $i$ zu ziehen, ist multivariat hypergeometrisch verteilt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Ist $X_{i}$ die Anzahl der Kugeln der Farbe $i$ , so ist der Erwartungswert

\operatorname {E} (X_{i})={\frac {nB_{i}}{N}}.

Varianz

Die Varianz ist

\operatorname {Var} (X_{i})={\frac {B_{i}}{N}}\left(1-{\frac {B_{i}}{N}}\right)n{\frac {N-n}{N-1}}.

Kovarianz

Für die Kovarianz zwischen der Anzahl der Kugeln gilt

\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-{\frac {nB_{i}B_{j}}{N^{2}}}{\frac {N-n}{N-1}}

wenn $i\neq j$ .

Beispiel

Es ist eine Urne mit 5 schwarzen, 10 weißen und 15 roten Kugeln gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, bei sechsmaligem Ziehen genau zwei Kugeln von jeder Farbe zu ziehen, ist

P(2{\text{ schwarz}},2{\text{ weiss}},2{\text{ rot}})={{{5 \choose 2}{10 \choose 2}{15 \choose 2}} \over {30 \choose 6}}\approx 0.0795,

also knapp acht Prozent. Es ist $n=6,N=30,B_{1}=5,B_{2}=10,B_{3}=15$ . Damit folgt zum Beispiel für den Erwartungswert der schwarzen Kugeln $\operatorname {E} ({\text{schwarz}})=1$ .

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur hypergeometrischen Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der multivariaten hypergeometrischen Verteilung mit $B_{1}=M$ und $B_{2}=N-M$ . Man beachte hier die unterschiedlichen Parametrisierungen.

Beziehung zur Multinomialverteilung

Die multivariate hypergeometrische Verteilung und die Multinomialverteilung sind verwandt, da sie aus demselben Urnenmodell entstehen, mit dem Unterschied, dass im Multinomialmodell zurückgelegt wird. Insbesondere lässt sich zeigen, dass wenn $N\rightarrow \infty$ und $B_{i}\rightarrow \infty$ gilt, sodass ${\tfrac {B_{i}}{N}}\rightarrow p_{i}$ ist, und die $p_{i}$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\{1,\dots ,k\}$ definieren, dann ${\mathcal {H}}_{B,n}$ punktweise gegen die Multinomialverteilung ${\mathcal {M}}_{p,n}$ mit den Parametern $p_{i}$ und $n$ konvergiert. Die multivariate hypergeometrische Verteilung kann somit durch die Multinomialverteilung approximiert werden.

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, doi:10.1007/978-3-642-36018-3
Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, doi:10.1515/9783110215274

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