Kurs:Stochastik/multivariate hypergeometrische Verteilung

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Einführung[Bearbeiten]

Die multivariate hypergeometrische Verteilung oder allgemeine hypergeometrische Verteilung ist eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung und zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie ist eine multivariate Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung und kann aus dem Urnenmodell mit Teilmengen von Kugeln abgeleitet werden.

Messraum[Bearbeiten]

Der Messraum ist mit wie folgt definiert.

paarweise disjunkt für mit ,

Beispiel[Bearbeiten]

In einer Urne sind 20 Kugel. Die Kugeln 1-10 sind rote Kugel, die Kugel 11-17 sind gelbe Kugeln und die 18-20 sind blau. Insgesamt sollen Kugeln an. Wenden Sie die obige Notation für dieses konkrete Beispiel an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von jeder Farbe die gleiche Anzahl von Kugeln gezogen wird.

Zufallsgrößen[Bearbeiten]

Sei gegeben und die folgenden Zufallsgrößen geben im Beispiel die Anzahl der gezogenen Kugeln von der -ten Farbe an, also der gezogenen Kugeln aus . Formal lässt die Abbildung wie folgt definieren:

mit

Definition[Bearbeiten]

Eine Zufallsvariable mit Werten in heißt multivariat hypergeometrisch verteilt zu den Parametern mit und , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

besitzt. Man schreibt dann oder wie bei der hypergeometrischen Verteilung.

Herleitung aus dem Urnenmodell[Bearbeiten]

Die multivariate hypergeometrische Verteilung lässt sich anschaulich aus dem Urnenmodell herleiten. Gegeben sei eine Urne mit insgesamt Kugeln, von denen jede in einer von unterschiedlichen Farben eingefärbt ist. Von der Farbe gibt es Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, beim -maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau Kugeln der Farbe zu ziehen, ist multivariat hypergeometrisch verteilt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Ist die Anzahl der Kugeln der Farbe , so ist der Erwartungswert

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz ist

Kovarianz[Bearbeiten]

Für die Kovarianz zwischen der Anzahl der Kugeln gilt

wenn .

Beispiel[Bearbeiten]

Es ist eine Urne mit 5 schwarzen, 10 weißen und 15 roten Kugeln gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, bei sechsmaligem Ziehen genau zwei Kugeln von jeder Farbe zu ziehen, ist

also knapp acht Prozent. Es ist . Damit folgt zum Beispiel für den Erwartungswert der schwarzen Kugeln .

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zur hypergeometrischen Verteilung[Bearbeiten]

Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der multivariaten hypergeometrischen Verteilung mit und . Man beachte hier die unterschiedlichen Parametrisierungen.

Beziehung zur Multinomialverteilung[Bearbeiten]

Die multivariate hypergeometrische Verteilung und die Multinomialverteilung sind verwandt, da sie aus demselben Urnenmodell entstehen, mit dem Unterschied, dass im Multinomialmodell zurückgelegt wird. Insbesondere lässt sich zeigen, dass wenn und gilt, sodass ist, und die eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf definieren, dann punktweise gegen die Multinomialverteilung mit den Parametern und konvergiert. Die multivariate hypergeometrische Verteilung kann somit durch die Multinomialverteilung approximiert werden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, doi:10.1007/978-3-642-36018-3
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, doi:10.1515/9783110215274

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