Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär

Einführung

Zunächst werden algebraische Eigenschaften untersucht, die ein Element $z$ aus einer Algebra $A$ zu einem permanent singulären Element machen, d.h. bei dem also in beliebigen Algebraerweiterung kein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ existieren kann.

Nullelement - permanent singulär

Sei $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e\not =0_{A}$. Der Nullvektor $0_{A}\in A$ ist permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Annahme: Es gibt eine Algebraerweiterung $(B,{\mathcal {T}}_{B})$ von $(A,{\mathcal {T}}_{A})$, in der Nullvektor $0_{A}$ invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element $b_{o}\in B$ besitzt:

$0_{A}\cdot b_{o}=0_{A}\cdot b_{o}=e$

Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis, dass $0_{A}\cdot b=b\cdot 0_{A}=0_{A}$ für alle $b\in B$ über die Algebraeigenschaften zeigt, denn es gilt mit den Eigenschaften von Vektorräumen bzw. Algebren (bitte ergänzen in den Übungen in Wikiversity)

Nilpotentes Element - permanent singulär

Sei $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e\not =0_{A}$ und $z\in A$ ein nilpotentes Element in $A$ mit $z^{n}=0_{A}$ und $z^{n-1}\not =0_{A}$ für $n\in \mathbb {N}$, dann ist $z\in A$ permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Sei $z\in A$ ein nilpotentes Element in $A$ mit $z^{n}=0_{A}$ und $z^{n-1}\not =0_{A}$. Ferner definiert man $z^{0}:=e_{A}$ und $z^{n+1}:=z^{n}\cdot z$.

Annahme - nilpotentes Element T-regulär

Man nimmt nun an, dass es eine Algebraerweiterung $(B,{\mathcal {T}}_{B})$ von $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ gibt, in der das nilpotente Element $z\in A$ invertierbar ist, d.h. es existiert ein multiplikatives inverses Element $b:=z^{-1}\in B$ mit:

$z\cdot b=b\cdot z=e$

Widerspruch - nilpotentes Element T-regulär

Wir erhalten nun den Widerspruch durch die Voraussetzung $z^{n-1}\not =0_{A}$, wobei die folgenden algebraischen Umformungen zeigen, dass auch $z^{n-1}=0_{A}$ gelten müsste:

$0_{A}=0_{A}\cdot b=(z^{n-1}\cdot z)\cdot b=z^{n-1}\cdot (z\cdot b)=z^{n-1}\cdot e=z^{n-1}$

Widerspruch!

Nullteiler - permanent singulär

Sei $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e\not =0_{A}$ und $z\in A$ ein Nullteiler in $A$, dann ist $z\in A$ permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Annahme: Es gibt eine Algebraerweiterung $(B,{\mathcal {T}}_{B})$ von $(A,{\mathcal {T}}_{A})$, in ein Nullteiler $z_{o}\in A$ invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element $z_{o}^{-1}\in B$ besitzt:

$z_{o}\cdot z_{o}^{-1}=z_{o}^{-1}\cdot z_{o}=e$

Nullteilereigenschaft

Ferner nutzen wir die Eigenschaft, dass $z_{o}\in A$ ein Nullteiler in $A$ ist, d.h. $z_{o}\not =0_{A}$ und es gibt ein Element $z_{1}\not =0_{A}$ mit $z_{1}\in A$ mit:

$z_{1}\cdot z_{o}=0_{A}{\mbox{ oder }}z_{o}\cdot z_{1}=0_{A}$

Fall 1 - Nullteilereigenschaft

Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis

$0_{A}=0_{A}\cdot z_{0}^{-1}=(z_{1}\cdot z_{0})\cdot z_{0}^{-1}=z_{1}\cdot (z_{0}\cdot z_{0}^{-1})=z_{1}\cdot e=z_{1}$

Dies ist ein Widerspruch zu $z_{1}\neq 0_{A}$

Fall 2 - Nullteilereigenschaft

Analog zeigt man den zweiten Fall, da die Multiplikation in Algebren nicht zwingend kommutativ sein muss:

$0_{A}=z_{0}^{-1}\cdot 0_{A}=z_{0}^{-1}\cdot (z_{0}\cdot z_{1})=(z_{0}^{-1}\cdot z_{0})\cdot z_{1}=e\cdot z_{1}=z_{1}\Rightarrow 0_{A}=z_{1}$

Dies führt ebenfalls zu einem Widerspruch zur Voraussetzung $z_{1}\neq 0_{A}$

Bemerkung

Die oben genannten Elemente sind allein durch ihre algebraischen Eigenschaften permanent singulär. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir auch topologische Eigenschaften betrachten, die ein Element permanent singulär machen. Dazu gehören die topologischen Nullteiler in einer Algebra. Jeder Nullteiler ist auch ein topologischer Nullteiler - aber nicht umgekehrt.

Aufgaben für Lernende

• Zeigen Sie, dass ein nilpotentes Element in einer Algebra auch ein Nullteiler ist!
• Zeigen Sie, dass ein nilpotentes Element in einer topologischen Algebra auch ein kleine Potenzen besitzt!
• Zeigen Sie, dass ein Nullteiler in einer topologischen Algebra auch ein topologischer Nullteiler ist!
• Geben Sie eine Beispiel für eine topologischen Nullteiler an, der aber kein Nullteiler ist!
• Erläutern Sie, warum in den Beweisen oben die Topologie auf $A$ keine Rolle spielt. Argumentieren Sie dabei über die Eigenschaften in der topologischen Algebra, die Sie für den Nachweis der permanenten Singulärität verwendet haben.

Siehe auch

• Nullteiler
• topologische Nullteiler
• nilpotent
• topologisch kleine Potenzen

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