Arens konnte die permanent singulären Elemente (siehe Originalarbeit von Arens[1] oder W. Zelasko, Banach algebras, S.59 ff.) in einer kommutativen, unitalen Banachalgebra mit Norm äquivalent charakterisieren. Permanent singuläre Element in Banachalgebren sind die topologischen Nullteiler von . Ferner gilt umgekehrt, dass ein Element, das kein topologischen Nullteiler von ist, in einer Algebraerweiterung von invertierbar ist.
(siehe auch Arens 1959[1])
Ziel ist es, permanent singuläre Elemente für weitere Klassen topologischer Algebren zu charakterisieren. Alle in der Literatur bekannten bzw. entwickelten Regularitätskriterien sollen nun in den folgenden Kurseinheiten mit dem Haupsatz über -reguläre Elemente bewiesen werden.
Bevor die zentrale Aussage Arens behandelt werden kann, steht die Untersuchung von Teilmengen
-singulärer Elemente im Vordergrund. D.h. es werden Elemente in der Algebra untersucht, von denen man nachgeweisen kann, dass diese permanent singulär in jeder -Erweiterung.
Definition: Rechtsseitiger/linksseitiger Nullteiler
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Ist die Algebra nicht kommuntativ kann man rechtsseitige und linksseitige Nullteiler unterscheiden.
Sei eine topologische Algebra, dann heißt rechtsseitiger Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ein existiert mit bzw. linksseitiger Nullteiler (Bezeichnung: ), falls es ein gibt mit . heißt Nullteiler (Bezeichnung: ) in , wenn ein rechtsseitiger oder ein linksseitiger Nullteiler in ist.
Rechtsseitige und linksseitige Nullteiler sind permanent singulär. Der Beweis ergibt sich aus Eigenschaft von invertierbaren Elementen sowohl durch die Multiplikation von rechts als auch von links mit dem inversen Element das neutrale Element der Multiplikation zu liefern. . Durch Multiplkation mit dem Nullteilers von rechts bzw. links ergibt sich der Widerspruch zur -Regularität in einer Algebraerweiterung.
Sei eine topologische Algebra. Da ein topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologische Nullteiler.
Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler
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Man nennt einen rechtsseitgen topologischen Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls es eine Nullumgebung gibt, so dass gilt:
Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler
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heißt linksseitger topologischer Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ein existiert, so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist:
Dabei ist der Nullvektor in der topologischen Algebra .
ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ), falls ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist[2].
Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale
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Sei , dann ist (bzw. ) genau dann, wenn es ein gibt mit, so dass für alle gilt:
bzw.
siehe Beweis für das Topologische-Nullteiler-Kriterium für Gaugefunktional
Man betrachtet die Algebra aller stetigen
reellwertigen Funktionen mit den Halbnormen
ist eine vollständig metrisierbare, lokalkonvexe Algebra
über mit punktweiser Multiplikation und Einselement für alle
. Jedes singuläre Element hat eine
Nullstelle . Betrachte die -Kugel
der -ten Halbnorm um mit
.
Für alle und gilt: (siehe auch Geogebra Applet[3]).
Die folgende Animation zeigt die Graphen der Abbildung aus der vorherigen Definition der .
Die folgende Grenzfunktion ist nicht stetig und die Cauchy-Folge der Funktionen konvergiert nicht.
Ein reguläres Element darf in dem Funktionenraum keine Nullstellen besitzen, damit argumentweise man die multiplikativ inverse Funktion bilden kann
Mit , wobei für alle die konstante Funktion mit Wert 1 ist.
Bemerkung: Umkehrfunktionen - multiplikativ invers
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Mit der Notation meint man in der Regel die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung . Ein multiplikativ inverse Funktion in muss aber nicht notwendigerweise bijektiv. Da im Allgemeinen bei der Bildung der Umkekrfunktion Definition und Wertebereich nicht gleich sind, liegt eine Umkehrfunktion ggf. noch nicht einmal wieder in der gleichen Funktionenraum wie . Aus diesem Grund wird multiplikativ inverse Funktionen die Notation hier nicht verwendet.
Singuläre Elemente - permanent singulär
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Ist nun ein singuläres Element, dann hat eine Nullstelle in . Sei die Nulltstelle von . Dann definiert man die Funktionenfolge wie oben für die Nullstelle . Mit
gilt für .
Wegen für wähle ohne Einschränkung .
Mit geeignet gewählten Funktionenfolgen ist jedes singuläre Element ein topologischer Nullteiler in , denn es gilt:
Topologische Nullteiler in einem lokalkonvexen Raum
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ist eine Halbnormensystem auf . Insgesamt ist jedes singuläre Element mit Nullstelle nicht nur ein -singuläres Element, sondern auch ein permanent singuläres Element in jeder Algebraerweiterung von .
Ein topologischer Nullteiler ist in nicht invertierbar.
Annahme: Sei invertierbar mit mit als Einselement der Multiplikation in . Da
ein topologischer Nullteiler in ist, gibt es ein Netz
Aus der Stetigkeit der Multiplikation und
folgt auch
und man erhält:
Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt:
Der Widerspruch zeigt, dass in nicht invertierbar sein kann.
Annahme: Sei invertierbar mit mit als Einselement der Multiplikation in . Da ein topologischer Nullteiler in ist, gibt es ein , sodass für alle
Unital positives Gaugefunktionalsystem
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Ohne Einschränkung sei das Gaugefunktionalsystem unital positiv, d.h. für alle gilt . Falls das Gaugefunktionalsystem nicht unital positiv ist, geht man zu einem äquivalenten Teilsystem über, das unital positiv ist. Damit gibt es für alle ein mit:
Aus der Stetigkeit der Multiplikation erhält man für alle mit :
Durch Bildung des Infimums ergibt sich der Widerspruch wie folgt:
Der Widerspruch zeigt, dass in nicht invertierbar sein kann.
Sei eine Klasse von Algebren mit , dann sind alle topologischen Nullteiler -singuläre Elemente.
Annahme: ist ein topologischer Nullteiler in und zugleich in einer Algebraerweiterung von invertierbar.
In dem Beweis wird die Homöomorphie der Einbettung einer Algebra
in die -Erweiterung von verwendet.
Topologischer Nullteiler - Gaugefunktionale
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Da ein topologischer Nullteiler in ist, gibt es ein , sodass für alle
Mit der Stetigkeit der Einbettung gibt es zu jedem eine Konstante und mit
Mit der Stetigkeit der Umkehrabbildung gibt es zu jedem eine Konstante und mit
Topologischer Nullteiler in der Erweiterung
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Wir zeigen nun, dass auch ein topologische Nullteiler in ist, denn für alle gilt die folgende Abschätzung.
Mit der obigen Abschätzung wurde gezeigt, dass auch in der Algebraerweiterung ein topologischer Nullteiler ist. Nach Lemma über TNT und Gaugefunktionale auch in nicht invertierbar. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass in der Algebraerweiterung von invertierbar ist.
Lemma: Produkte von topologischen Nullteilern
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Sei eine topologische Algebra über , dann gilt:
Bei unitalen Algebren gilt Mengengleichheit.
Sei gegeben, dann gibt es zu einer Nullumgebung ein Netz mit
. Demzufolge konvergiert das Netz auch für alle gegen . Also ist und man erhält insgesamt:
Die Behauptung zeigt man analog.
In den obigen Aussagen wurde immer die Definition der topologischen Nullteiler direkt verwendet ohne die Eigenschaften über Gaugefunktionale zu zeigen. Beweise die folgenden Aussagen über analog über die Verwendung von Gaugefunktionalen zusammen mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale
Zeigen Sie mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale, dass ein topologischer Nullteiler in nicht invertierbar ist.
- ↑ 1,0 1,1 Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548
- ↑ Zelazko, Wiezlaw (1985) Topological divisors of zero, their applications and generalization.Geometry seminars, (Italian) (Bologna, 1985), 175–191, Univ. Stud. Bologna, Bologna, 1986
- ↑ Engelbert Niehaus (2021) Geogebra Applet - Topologischer Nullteiler - Definition der Funktionenfolge - Applet für Wikiversity Lernresource URL: https://www.geogebra.org/m/ea2z6v95 (Zugriff 2021/05/11)
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