Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiele pseudokonvexer Raum

Einleitung

Diese Seite zum Thema Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiele pseudokonvexer Raum kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

(1) Folgenräume,
(2) Konvergenz von Reihen mit $p$ -Halbnormen,
(3) Abschätzung von Reihen

Zielsetzung

Diese Lernressource hat das Ziel, pseudokonvexe Teilmengen von dem Vektorraum der Folgen über einem Körper $\mathbb {K}$ als Beispiel zu betrachten.

Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Beispiele für pseudokonvexe Vektorräume sind die Grundlagen aus der Analysis über konvergente Reihen.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ ein Körper, dann bezeichnet $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,|\,a_{n}\in \mathbb {K} \,{\mbox{ für alle }}n\in \mathbb {N} \}$ die Menge der Folgen mit Folgengliedern in $\mathbb {K}$ . Man betrachtet nur zunächst noch einmal die absolut konvergenten und absolut $p$ -konvergente Reihen, um die Unterschiede zu den absolut potenzkonvergenten Reihen deutlich zu machen.

Absolut konvergente Reihen

$\ell _{1}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \}$ , die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$ , die absolute konvergent sind. $\ell _{1}(\mathbb {K} )$ ist ein normierter Norm mit $\|a\|:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ ).

p-absolut konvergente Reihen

$\ell _{1}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \}$ , die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$ , die absolute konvergent sind. $\ell _{1}(\mathbb {K} )$ ist ein normierter Norm mit $\|a\|:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ ).

Absolut potenzkonvergente Reihen

Man definiert mit $r{\bigg (}\mathbb {K} ,\left(e_{n}\right)_{n}{\bigg )}:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}<\infty \}$ die Menge der absolut potenzsummierbaren Folgen in $\mathbb {K}$ zu einer gegebenen Potenzenfolge $\left(e_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ , mit der der Betrag $|a_{n}|$ der einzelnen Folgenglieder der Reihe in Abhängigkeit vom Index $n$ potenziert werden.

Unterschiede zu absolut p-konvergente Reihe

Die wesentliche Verallgemeinerung von den absolut p-konvergente Reihen zu den absolut potenzkonvergenten Reihen ist, dass man die hier die Exponenten für jeden Index $n$ mit einer Exponentenfolge $\left(e_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ einzeln festlegt.

Wahl einer speziellen Exponentenfolge

Man definiert nun mit $r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n}\right):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}<\infty \}$ die Menge der absolut potenzsummierbaren Folgen mit der Exponentenfolge

\left(e_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }:=\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }

p-Halbnormensystem

Man definiert nun eine $p$ -Halbnormensystem auf $r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }\right)$ wie folgt:

\|(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{k}:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{k}}

Aufgabe 1 - Mengeninklusion

Geben Sie den Körper $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ . Zeigen Sie für $0<p_{1}<p_{2}\leq 1$ eine Mengeninklusion $\ell _{p_{1}}(\mathbb {K} )\subset \ell _{p_{2}}(\mathbb {K} )$ gilt. Konstruieren Sie dann eine Folge, die in $\ell _{p_{2}}(\mathbb {K} )$ aber nicht in $\ell _{p_{1}}(\mathbb {K} )$ liegt.

Hilfe zu Aufgabe 1

Nutzen Sie für die Konstruktion der Folge die Eigenschaft der harmonischen Reihe aus, dass die Folge $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\notin \ell _{1}(\mathbb {K} )$ aber für $p>1$ die Folge $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ in dem Folgenraum $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ liegt.

Aufgabe 2 - Mengeninklusion

Zeigen Sie, dass für alle $p>0$ die Mengeninklusion $\ell _{p}(\mathbb {K} )\subset r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }\right)$

Beweisidee zu Aufgabe 2

Wählen Sie eine beliebige Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ aus und zeigen Sie, dass auch $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }\right)$ gilt. .

Hilfe zu Aufgabe 2

Nutzen Sie dazu die Eigenschaft von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{p}(\mathbb {K} )$ aus, dass die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist. Wählen Sie dann eine Indexschranke $n_{o}\in \mathbb {N}$ ab der die Folgenglieder $a_{n}$ die Eigenschaft $|a_{n}|<1$ für alle $n\geq n_{o}$ besitzen. Wählen Sie dazu eine u.U. größere Indexschranke $n_{1}\geq n_{o}$ , ab der für alle $n\geq n_{1}\geq n_{o}$ mit ${\frac {1}{n_{1}}}<p$ . Schätzen Sie ab dem Folgenindex $n_{1}\in \mathbb {N}$ die Folgenglieder $|a_{n}|^{p}$ nach oben gegen $|a_{n}|^{\frac {1}{n}}$ ab.

Aufgabe 3 - p-Halbnormeigenschaften

Zeigen Sie, dass die auf $r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ definierte Abbildung

{\bigg \|}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\bigg \|}_{k}:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{k}}

mit $p:={\frac {1}{k}}$ eine $p$ -Halbnorm ist.

Bemerkung - Nachweis der Eigenschaft

Weisen Sie nach, dass die oben definierten Abbildung die Eigenschaft einer $p$ -Halbnorm besitzt auf $r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ besitzt.

Pseudokonvexer Folgenraum

Betrachtet man nun $r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)\subset \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ , so macht das folgenden $p$ -Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathbb {N} }$ mit $p:={\frac {1}{k}}\in (0,1]$

{\begin{array}{rrcl}\|\cdot \|_{k}:&\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }&\rightarrow &\mathbb {R} _{o}^{+}\\&\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }&\mapsto &{\bigg \|}\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }{\bigg \|}_{k}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{\frac {1}{k}}\end{array}}

den Vektorraum $r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)\subset \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ zu einem pseudokonvexen Raum $\left(r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)$ .

Hausdorff-Eigenschaft

Weisen Sie nach, dass der pseudokonvexe Raum $\left(\mathbb {K} ^{\mathbb {N} },\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)$ die Hausdorff-Eigenschaft besitzt.

Pseudokonvexe Topologie nicht p-normierbar

Nehmen Sie an, dass der pseudokonvexe Raum $\left(r\left(\mathbb {K} ,\scriptstyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)$ durch eine p-Norm $\|\cdot \|$ topologisiert werden kann. Führen Sie diese Annahme zum Widerspruch.

Raum der stetigen Funktionen

Man betrachtet den Vektorraum ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $\mathbb {R} _{o}^{+}$ nach $\mathbb {R}$ . Nun wählt man eine stetige Funktion $e:\mathbb {R} _{o}^{+}\to \mathbb {R} ^{+}$ , die den Exponenten des absoluten Funktionswertes $|f(x)|$ mit $|f(x)|^{e(x)}$ festlegt. Eine Funktion $f$ aus ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} )$ heißt absolut potenzintegrable bzgl. der stetigen Exponentfunktion $e$ , wenn gilt:

\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{e(x)}\,dx<\infty

und bezeichnet die Menge aller Funktionen mit dieser Eigenschaft mit ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} ,e)$ .

Zielsetzung

Man wählt als Exponentfunktion $e(x):={\frac {1}{1+x}}$ und definiert dann eine pseudokonvexe Topologie auf $\left({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,e),\|\cdot \|_{(0,1]}\right)$ .

p-Halbnorm

Die Exponentfunktion $e(x):={\frac {1}{1+x}}$ ist stetig auf $\mathbb {R} _{o}^{+}$ . Nun definiert man die $p$ -Halbnormen auf ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{o}^{+},\mathbb {R} ,e)$ mit $p\in (0,1]$ über:

\|f\|_{p}:=\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{p}\,dx

ein lokalkonvexe Topologie auf $\left({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }\right)$ .

Aufgabe - p-Halbnormeigenschaften

Zeigen Sie, dass die Abbildung $\|f\|_{p}:=\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{p}\,dx$ die Eigenschaft einer $p$ -Halbnorm besitzt.

Bemerkung p-Halbnorm

Wenn $p\geq 1$ gilt, kann man durch das Ziehen der $p$ -ten Wurzel aus ein Halbnorm $\|f\|_{p}^{\ast }:=\displaystyle {\sqrt[{p}]{\int _{0}^{\infty }|f(x)|^{p}\,dx}}$ erzeugen, die also absolut homogen ist und die Dreiecksungleichung erfüllt. Für $0<p<1$ ist die Einheitskugel