Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen

Lokalkonvex als Spezialfall eines pseudokonveven Raumes

Sei ${\textstyle {\mathcal {MPC}}_{e}}$ die Klasse der multiplikativen pseudokonvexen unitalen Algebren und ${\textstyle A\in {\mathcal {MPC}}_{e}}$. Ein lokalkonvexer Raum wird damit als Spezialfall eines pseudokonvexen Raumes angesehen, wobei jede Halbnorm eine $p$ mit $p=1$ ist.

Multiplikative pseudokonveve Algebraerweiterung

Die Algebraerweiterung ${\textstyle B\in {\mathcal {MPC}}_{e}}$ bzw. ${\textstyle {\mathcal {MLC}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus ${\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}$ mit:

• ${\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}$, wobei ${\textstyle e_{_{A}}}$ ist das Einselement von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle e_{_{B}}\in A'}$ das Einselement von ${\textstyle B}$ ist.
• ${\textstyle A}$ ist homöomorph zu ${\textstyle A'}$; d.h. ${\textstyle \tau }$ und ${\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}$ sind stetig.

Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen

Der Algebraisomorphismus wird über normierte Quotientenalgebren $A_{\alpha }$ definiert. wobei mit  :$\tau _{\alpha }:A_{\alpha }\to A'_{\alpha }\subset B_{\alpha }$ mit $\tau _{\alpha }(x)=[x]_{\alpha }\in A'_{\alpha }$ bezeichnet und

$\tau :A\longrightarrow A'\subset \prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}A_{\alpha }\subset \prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}B_{\alpha }=B{\mbox{ mit }}\tau (x):=(\tau _{\alpha }(x))_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$

Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen bzw. p-Halbnormen.

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

• Im allgemeinen identifiziert man ${\textstyle A}$ mit ${\textstyle A'}$ und schreibt ${\textstyle A\subset B}$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus $x\in A$ mit Elementen $\tau (x)=x+I\in B$ in einem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ identifiziert werden.
• Sei ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von ${\textstyle B}$ auf ${\textstyle A'}$ und ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\textstyle A}$, dann kann man die Homöomorphie zwischen ${\textstyle A}$ und ${\textstyle A'}$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

${\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}$

Stetigkeit über Halbnormen

Betrachtet man die Halbnormen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

${\begin{array}{rcl}\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{1}(\alpha )>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{1}(\alpha )\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A}\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \\\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},C_{2}({\widetilde {\alpha }})>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}{\widetilde {\alpha }}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A}.\end{array}}$

Konstruktion Algebraisomorphismus

Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:

• (KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus $\tau :A\to B$ und zeigt, dass dieser stetig ist.
• (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist $Kern(\tau )=\{0_{A}\}$
• (KA3) man definiert mit $A':=\tau (A)\subset B$, die Umkehrabbildung $\tau ^{-1}:A'\to A$ und zeigt, dass $\tau ^{-1}$ ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Verwendung der Charakterisierung B-regulärer Elemente

Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ und nutzen die Charakterisierung ${\mathcal {B}}$-Regularität für die ${\mathcal {MLC}}$-Erweiterung von $(A,\|\cdot \|_{A})$.

Halbnormensystem unital positiv

Ohne Einschränkung seien die submultiplikativen Halbnormen unital positiv, d.h. $\|e_{A}\|_{\alpha }>0$ für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$. Falls das nicht der Fall ist, geht man zu einem äquivalenten Halbnormensystem über $\|e_{A}\|_{\alpha }^{(+)}>0$ über. Weil $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ Hausdorffraum ist, gibt es ein $\alpha _{o}\in {\mathcal {A}}$ mit $\|e_{A}\|_{\alpha _{o}}>0$. Man definiert dann $U_{\alpha }=B_{1}^{\alpha }(0_{A})\cap B_{1}^{\alpha _{o}}(0_{A})$ und

$\|x\|_{\alpha }^{(+)}:=p_{U_{\alpha }}(x)=\max\{\|x\|_{\alpha },\|x\|_{\alpha _{o}}\}$

als Minkowski-Funktional von $U_{\alpha }$ und $U_{\alpha }\cdot U_{\alpha }\subset U_{\alpha }$, da $\|\cdot \|_{\alpha }$ und damit auch $\|\cdot \|_{\alpha _{o}}$ submultiplikativ sind. $U_{\alpha }$ ist eine offene Menge in $A$, da $U_{\alpha }$ als Schnitt von zwei offenen Mengen definiert ist und der endliche Schnitt von offenen Mengen in einer Topologie ist wieder offen.

Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - unital positiv

Zeigen Sie, dass die Halbnormensysteme $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ und $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}^{(+)}$ äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind!

Aufgabe - TNT-Negation und unital positives Halbnormensystem

Ohne Einschränkung sei das gegebene Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ auf einer unital positiven ${\mathcal {MLC}}$-Algebra $A$. Ferner sei $z\in A$ kein topologischer Nullteiler ($z\notin {\mathcal {TNT}}(A)$). Zeigen Sie, dass für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ebenfalls $\|z\|_{\alpha }>0$ gilt.

Topologische Nullteiler in MLC-Algebren

Wenn $z\in {\mathcal {TNT}}(A)$ erfüllt ist, gibt es ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$, sodass für alle $\beta \in {\mathcal {A}}$ gilt

$\inf _{x\in A\,\,\|x\|_{\alpha }=1}\|z\cdot x\|_{\beta }=0$

Topologische Nullteiler in Quotientenalgebren

Damit ist insbesondere für $\beta \in {\mathcal {A}}$ mit $\beta \geq \alpha$ (d.h. $\|x\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }$ für alle $x\in A$ die folgende Bedingung erfüllt

$\inf _{\|x\|_{\beta }=1}\|z\cdot x\|_{\beta }=0.$

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 1

Man erhält die folgenden Abschätzung für $\gamma \geq \alpha$, d.h. ${\frac {1}{\|x\|_{\gamma }}}\leq {\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}$ für alle $\beta \in {\mathcal {A}}$ und alle $x\in A$:

${\begin{array}{rcl}0&=&\displaystyle \inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=\displaystyle \inf _{\|x\|_{\alpha }>0}\left\|z\cdot {\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}\right\|_{\beta }\\&\geq &\displaystyle \inf _{\|x\|_{\gamma }>0}\left\|z\cdot {\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}\right\|_{\beta }\geq \displaystyle \inf _{\|x\|_{\gamma }>0}\left\|z\cdot {\frac {x}{\|x\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta }\\&\geq &\displaystyle \inf _{\|x\|_{\gamma }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }\geq 0\\\end{array}}$

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 2

Insgesamt erhält man für $z\in {\mathcal {TNT}}(A)$ die äquivalente Bedingung:

$\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{\beta \in {\mathcal {A}},\,\,\gamma \geq \alpha }\forall _{x\in A}\,\,\displaystyle \inf _{\|x\|_{\gamma }=1}\|z\cdot x\|_{\beta }=0.$

Insbesondere gilt für alle $\beta \geq \alpha$

$\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{\beta \in {\mathcal {A}},\,\,\beta \geq \alpha }\forall _{x\in A}\,\,\displaystyle \inf _{\|x\|_{\beta }=1}\|z\cdot x\|_{\beta }=0$.

TNT-Eigenschaft in Quotientenalgebren

Also gibt es mindestens ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$, sodass für alle $\beta \geq \alpha$ gilt:

$z_{\beta }\in {\mathcal {TNT}}(A_{\beta })={\mathcal {TNT}}(A/N_{\beta })$.

MLC-Singularität 1

Wenn man die ${\mathcal {MLC}}$-Singularität betrachtet, gibt es zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ mit $\beta \geq \alpha$, sodass $z_{\beta }\notin {\mathcal {TNT}}(A_{\beta })$ und es gilt mit der Eigenschaft $z\notin {\mathcal {TNT}}(A)$ erhält man die Eigenschaft:

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\beta }>0,\,\gamma \geq \alpha }\forall _{x\in A}\,\,\|x\|_{\gamma }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }\,\,\,(\ast )$.

Negation der TNT-Eigenschaft

Mit der Eigenschaft $z\notin {\mathcal {TNT}}(A)$ erhält man zunächst einmal die Abschätzung:

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\beta }>0}\forall _{x\in A}\,\,\|x\|_{\alpha }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }\,\,\,(\ast )$.

Vergleich zur Charakterisierung der MLC-Singularität

Durch die Negation erhält man, dass es zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}:$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$, in dem $z_{\beta }\in {\mathcal {A_{\beta }}}$ also kein topologischer Nullteiler ist. Diese Negation liefert nach

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta _{\alpha }\in {\mathcal {A}},\,D_{\beta _{\alpha }}>0}\forall _{x\in A}\,\,\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }\,\,\,(\ast )$.

Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - TNT

Wir definieren darüber nun ein weiteres Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}$ aus submultiplikativen Halbnormen wie folgt über die Eigenschaft von $z\in A$, kein topologischer Nullteiler zu sein:

• ${\widetilde {\mathcal {A}}}\subseteq {\mathcal {A}}$
• $\beta _{\alpha }\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$, wenn $\alpha \in {\mathcal {A}}$ und $\beta _{\alpha }\in {\mathcal {A}}$ mit $D_{\beta _{\alpha }}>0$ die obige Gleichung $(\ast )$ erfüllt. Zeigen Sie, dass $\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}$ und $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind

Notation - Produktraum

Sei $I\not =\emptyset$ eine Indexmenge. In der folgenden Charakterisierung der ${\mathcal {MLC}}$-Regularität werden Produkträume definiert bzw. als Algebraerweiterung konstruiert. Dabei wird folgende Kurzschreibweise des Produktraumes $M$ verwendet.

$M=(M_{i})_{i\in I}:=\prod _{i\in I}M_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}$