Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität

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Einführung[Bearbeiten]

Wenn wir die -Regularität eines Elementes für eine topologische Algebra sprechen, suchen wir nach einer Algebraerweiterungen von in der invertierbar ist und sowohl als auch Banachalgebren sind. Dabei reicht es zu zeigen, dass eine normierte Algebraerweiterung existiert, in der invertierbar ist. Ist dann nicht vollständig, vervollständig man ggf. die Algebraerweiterung der zu . Wenn in ein inverses Element besitzt, besitzt auch in der Vervollständigung ein inverses Element.

Zielsetzung[Bearbeiten]

Zielsetzung einer Banachalgebraerweiterung zu einer gegebenen topologischen Algebra mit ist es, die gegebene Banachalgebra so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element in der Banachalgebra enthält. Für kommutative Banachalgebren erhält man folgende Charakterisierung[1]:

  • permanent singulär (topologischer Nullteiler)
  • -regulär es gibt ein mit für alle

Veranschaulichung[Bearbeiten]

Algebraerweiterung von ist hier wieder eine Banachalgebra, die ein inverses Element zu einem gegebenen enthält.

Algebraerweiterung

Vollständigkeit[Bearbeiten]

Zunächst einmal betrachtet man normierte Algebraerweiterungen von , in denen man ein inverses Element zu der gegebenen enthält. Wenn man in der normierten Algebraerweiterung ein inverses Element zu gefundet hat, vervollständigt man zu einer Banachalgebra mit (siehe Vollständigkeit)

Algebraerweiterung - Zahlbereichserweiterung[Bearbeiten]

In dem folgenden Folien wird Verwendung der Vollständigkeit in der Funktionalanalysis in Bezug zur Zahlbereichserweiterungen im Kontext der Schule kurz behandelt.

Cauchyfolgen in der Sekundarstufe[Bearbeiten]

Jede irrationale Zahl kann man Cauchy-Folge in darstellen.

mit

.

Rationale Zahlen und Normen[Bearbeiten]

In den rationalen Zahlen ist der Betrag die Norm, die den Raum aus funktionalanalytischer Sicht zu einer eindimensionalen topologischen Algebra über dem Körper macht. Mit kann man auch als einen metrischen Raum auffassen und diese Algebra über Äquivalenzklassenbildung von Cauchy-Folgen zu den reellen Zahlen vervollständigen.

Inverse in Vervollständigungen[Bearbeiten]

Wenn das inverse Element zu in ist, bleibt es das inverse Element in der Algebraerweiterung von , wobei der Betragsfunktion in den reellen Zahlen ist.

Definition:[Bearbeiten]

Sei eine Klasse von unitalen Algebren und , dann heißt Algebraerweiterung, Oberalgebra oder -Erweiterung von , falls es einen Algebraisomorphismus gibt mit:

  • , wobei ist das Einselement von und das Einselement von ist.
  • ist homöomorph zu ; d.h. und sind stetig.

Veranschaulichung - Algebraisomorphismus[Bearbeiten]

Algebraerweiterung - Einbettung

Bemerkung[Bearbeiten]

  • Im allgemeinen identifiziert man mit und schreibt .
  • Sei eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von auf und eine Nullumgebungsbasis von , dann kann man die Homöomorphie zwischen und wie immer über die Topologie ausdrückeen:

Stetigkeit und Norm[Bearbeiten]

Betrachtet man die Normen und für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

Konstruktion Algebraisomorphismus[Bearbeiten]

Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:

  • (KA1) man konstruiert zunächst eine Algebrahomomorphismus und zeigt, dass dieser stetig ist.
  • (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist
  • (KA3) man definiert mit , die Umkehrabbildung und zeigt, dass ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).


Normierte Polynomalgebra[Bearbeiten]

Wir betrachten nun zu einer gegeben Banachalgebra die Menge der Polynome mit Koeffizienten in .

und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra

Bemerkung: Polynomalgebren[Bearbeiten]

Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung, in der ein invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung über die Polynomalgebra konstruiert wird.

Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A

Grad von Polynomen[Bearbeiten]

Zunächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit notieren und mit würde den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

Schreibweise für die Polynomalgebra[Bearbeiten]

Daher werden die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen definiert, die ab einer Indexschranke nur noch aus dem Nullvektor in besteht.

Topologisierung der Polynomalgebra[Bearbeiten]

Für die Normdefinition von Polynomen wird nun eine Folge von positiven Konstanten in verwendet um zu topologisieren.

Definition der Koeffizientenfolge für die Norm[Bearbeiten]

Für eine gegebene feste positive Konstante setzt man und kann man die Koeffizientenfolge wie folgt für die Normdefinition verwenden:

Cauchy-Produkt - Stetigkeit[Bearbeiten]

Betrachtet man zwei Polynome in dem normierten Raum .

Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt :

Aufgabe für die Lernende[Bearbeiten]

Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung eine Norm ist und für alle gilt

D.h., dass die Multiplikation auf stetig ist. Der Index bezeichnet die gewählte Basis für die Koeffizienten .

Ideale in Polynomalgebren[Bearbeiten]

Wenn kein topologischer Nullteiler ist und man für Abschätzung bzgl. der Norm erhält, dann topologisiert man mit diesem die Polynomalgebra und erzeugt bzgl. des Polynoms ein topologisch abgeschlossenes Hauptideal . Diese Topologisierung der Algebraerweiterung erfolgt über den Quotientenraum des Ideal in .

Topologische Eigenschaft von z[Bearbeiten]

In der Algebra sei kein topologischer Nullteiler, dann gibt es ein mit:

Ohne Einschränkung sei . Im Falle von gilt die Ungleichung

und man kann wählen.

Ideale in der Polynomalgebra[Bearbeiten]

Für dieses definiert man ein Polynom mit , wobei das Einselement der Multiplikation in ist.

Zweiseitiges Hauptideal[Bearbeiten]

Man definiert nun ein zweiseitiges Hauptideal in bzgl. eines Polynoms mit über

Das gesuchte Ideal ist nun der topologische Abschluss in der Polynomalgebra bzgl. der Norm auf .

Hauptideal in kommutativen Algebren[Bearbeiten]

In einer kommutativen Algebra besteht das zweiseitige Hauptideal in bzgl. eines Polynoms mit aus Polynomen der folgenden Form:

Aufgaben für Lernende[Bearbeiten]

Sei nun die Algebra nicht kommutativ bzgl. der Multiplikation. Bestimmen Sie nun für das zweiseitige Hauptideal in bzgl. des Polynoms mit die Koeffizienten von Polynomen mit:

Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Der Algebrahomomorphismus bildet nun jedes Element auf die Nebenklasse ab.

Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra[Bearbeiten]

Für das gegebene in der kommutativen normierten topologische Algebren definiert man ein Polynom mit , wobei das Einselement der Multiplikation in ist. Als Ideal definiert man als abgeschlossenes Hauptideal in . Als Untervektorraum wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.

Aufgabe für Lernende[Bearbeiten]

Betrachten Sie eine kommutative Algebra über dem Körper .

  • Zeigen Sie, dass mit der Abbildung und eine Algebraerweiterung von nach definiert wurde!
  • Zeigen Sie, dass das neutrale Element der Multiplikation in ist.
  • Zeigen Sie, dass in invertierbar ist mit und - zeigen Sie also, dass gilt!

Hinweis: Zeigen Sie, dass und erläutern Sie den Zusammenhang zur Definition des Ideals !

Topologisierung der Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Die Algebraerweiterung wird mit einer Quotientennorm versehen, die wie folgt definiert ist:

Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit , wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:

Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.

Stetigkeit Algebrahomomorphismus[Bearbeiten]

Sei beliebig gewählt, dann gilt mit der Norm auf dem Quotientenraum die folgende Abschätzung

Damit ist stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Struktur der Polynome aus dem Ideal[Bearbeiten]

Betrachten nun das Bild von in . Sei nun gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges mit mit . Dabei gilt:

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung[Bearbeiten]

Unter Verwendung der Abschätzung erhält man

Teleskopierende Summen[Bearbeiten]

Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme

eine Telekopsumme.

Infimumbildung[Bearbeiten]

Durch Infimumbildung über alle Polynome bleibt die obige Ungleichung erhalten.

Umgekehrte Abschätzung[Bearbeiten]

Für die Stetigkeit der Umkehrabbildung gilt bzgl. dem Nullpolynom :

Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von in eine Isometrie mit .

Vervollständigung[Bearbeiten]

Zunächst einmal vervollständigt man die Polynomalgebra zu einer Potenzreihenalgebra , wobei die Menge der Polynome aus dicht in bzgl. der Norm mit:

Cauchy-Folgen in der Polynomalgebra[Bearbeiten]

Sei eine Cauchy-Folge von Polynomen in mit der Eigenschaft:

und der Cauchy-Folgen-Eigenschaft

.

Vervollständigung der Polynomalgebra[Bearbeiten]

Wenn ein in der Algebraerweiterung invertierbar ist, dann ist auch in der Vervollständigung als Algebraerweiterung invertierbar. Jeder metrische Raum lässt sich vervollständigen und jeder normierte Raum ist auch ein metrische Raum.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellennachweis[Bearbeiten]

  1. Arens R. (1958), Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, S. 536-548

Seiteninformation[Bearbeiten]

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