Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung

Seien $(X,\|\cdot \|_{X})$ und $(Y,\|\cdot \|_{Y})$ normierte Räume über dem Körper $\mathbb {K}$ und

$T:X\rightarrow Y$ eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• (1) T ist stetig in jedem Punkt $x\in X$
• (2) T ist stetig im Nullvektor $0_{X}\in X$
• (3) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$
• (4) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$ für alle $x\in X$,

Alternative Formulierung von (3)

• (3) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$
• (3a) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}=1$
• (3b) Es existiert ein $M>0$ mit $\sup _{\|v\|_{V}=1}\|T(v)\|_{W}\leq M$
• (3c) Die Operatornorm $\|T\|_{\mathcal {L}}:=\sup _{\|v\|_{V}=1}\|T(v)\|_{W}<\infty$

Beweis

Ringschluss von (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1)

Folgerung (1) nach (2)

klar, da der Nullvektor $0_{X}\in X$

Folgerung (2) nach (3) - Kontraposition

Wir zeigen die Kontraposition.

• Annahme: Es exisitiert eine Folge $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }$ aus der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}$, die eine unbeschränkte Bildfolge $\left(T({\widehat {x_{n}}})\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\left\|T({\widehat {x_{n}}})\right\|\geq n$ besitzt.
• Wir folgern dann, dass $T$ in dem Nullvektor $0_{X}\in X$ nicht stetig ist.

Folgerung (2) nach (3) - Teil 1

Annahme, dass die Menge $\{\|T(x)\|_{Y}\ |\ x\in X\wedge \|x\|_{X}\leq 1\}$ unbeschränkt ist. D.h. es gibt eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }$ mit dem Nullvektor $\mathbb {0} _{X}\in X$ mit

$\|T(x_{n})\|_{Y}\geq n\quad {\mbox{ und }}0<\|x_{n}\|_{X}\leq 1\}$ .

Mit dieser unbeschränkten Bildfolge in $Y$ erzeugen wir nun ein Nullfolge in $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }$ in $X$, dessen Bildfolgenglieder $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem topologischen Rand der Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{Y}}(0_{Y})}}$ liegen.

Folgerung (2) nach (3) - Teil 2

Wir definierten die Folgenglieder ${\widehat {x_{n}}}$ über die $x_{n}$ aus Teil 1 wie folgt.

$({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }$

Damit ist die Folge $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }$ eine Nullfolge in $X$, denn es gilt:

$\left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right\|_{X}={\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \left\|x_{n}\right\|_{X}\leq {\frac {1}{n}}\cdot \underbrace {\|x_{n}\|_{X}} _{\leq 1}\leq {\frac {1}{n}}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$

Folgerung (2) nach (3) - Teil 3

Auf der anderen Seite liegen die Folgenglieder der Bildfolge $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem Rand der Einheitskugel in $Y$ und kann daher keine Nullfolge in $Y$ sein, denn es gilt:

${\begin{array}{rcl}\|T({\widehat {x_{n}}})\|_{Y}&=&\left\|T\left({\frac {1}{\|x_{n}\|_{X}}}\cdot x_{n}\right)\right\|_{Y}{\stackrel {T\,lin\,\,}{=}}\left\|{\frac {1}{\|x_{n}\|_{X}}}\cdot T(x_{n})\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom}{=}}&{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \|T(x_{n})\|_{Y}=1\\\end{array}}$

Folgerung (2) nach (3) - Teil 4

Wenn also $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }$ gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{X}$ aus $X$ muss bei einer im Nullvektor $\mathbb {0} _{X}\in X$ linearen Abbildung $T$ auch die Bildfolge $(T({\widehat {x_{n}}}))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{Y}$ konvergieren. Das aber die Bildfolgenglieder $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem Rand der Einheitskugel in $Y$ liegen, kann die Bildfolge $\left(T({\widehat {x_{n}}})\right)_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ nicht gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{Y}\in Y$ konvergieren. Damit ist die lineare Abbildung $T$ in $0_{X}$ nicht stetig.

Folgerung (3) nach (4) - Fallunterscheidung

Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$. Man wählt für das gesucht $M>0$ der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene $M>0$ und betrachtet die Fallunterscheidung für $x=0_{X}$ und $x\not =0_{X}$:

Folgerung (3) nach (4) - Fall 1

In Fall 1 weisen wir nach, dass due Ungleichung (4) für den Nullvektor $0_{X}\in X$ efüllt ist. Es gilt:

$\|T(0_{X})\|_{Y}=\|0_{Y}\|_{Y}=0=\|0_{X}\|_{X}=M\cdot \|0_{X}\|_{X}$

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.1

In Fall 2 sei nun $x\not =0_{X}$ und $x\in X$ beliebig gewählt. Dann liegt der Vektor ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}$ auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}$ in $X$, denn es gilt:

$\|{\widehat {x}}\|_{X}=\left\|{\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right\|_{X}={\frac {\|x\|_{X}}{\|x\|_{X}}}=1$

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.2

Da nun $\|{\widehat {x}}\|_{X}\leq 1$ erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}$ angewendet werden und man erhält:

${\begin{array}{rcl}M&\geq &\|T({\widehat {x}})\|_{Y}=\left\|T\left({\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {T\,lin}{=}}&\left\|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot T(x)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom.}{=}}&\left|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\right|\cdot \|T(x)\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}\end{array}}$

Insgesamt erhält man (3): $M\geq \|T({\widehat {x}})\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}$ bzw. $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$

Folgerung (4) nach (1) - Teil 1

• Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$ für alle $x\in X$.
• Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung $T$ in einem beliebigen Punkt $x_{o}\in X$ stetig ist.d

D.h. wir zeigen, dass aus $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}$ auch die Konvergenz der Bildfolge $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{Y}}T(x_{n})=T(x_{o})$ gegen $T(x_{o})$ erfüllt ist. Über dem Limes steht die Norm, bzgl. der die Konvergenz formuliert wird. Dies ist in unendlichdimensionalen Vektorräumen notwendig, da dort Normen nicht notwendigerweise äquivalent sind.

Folgerung (4) nach (1) - Teil 1

Für den Nachweis der Stetigkeit von $T$ in jedem Punkt aus $X$ sei nun $x_{0}\in X$ beliebig gewählt. Ferner sei ein Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $X$ mit $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}$ gegeben, die also gegen $x_{0}\in X$ bzgl. der Norm $\|\cdot \|_{X}$ konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der Bildfolge $(T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ gegen $T(x_{0})\in Y$ verwenden man die Linearität und die Einschachtelung der Bildfolge durch Verwendung der Ungleichung (4).

Folgerung (4) nach (1) - Teil 2

Für den Nachweis der Konvergenz der Folge $(T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ gegen $T(x_{0})\in Y$ wird Abstand zwischen Folgengliedern $T(x_{n})$ und $T(x_{o})$ wie folgt abgeschätzt:

$0\leq \|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\stackrel {T\,lin.}{=}}\|T(x_{n}-x_{0})\|_{Y}{\stackrel {(4)}{\leq }}M\cdot \|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$,

da $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $X$ gegen $x_{0}\in X$ konvergiert und mit $\|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$ durch Abschätzung auch $\|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$ konvergiert.

Ringschluss

Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen.

Operatornorm

Die Bedingung (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen führt zur Einführung der Operatorraum. Damit macht man den Vektorraum der stetigen linearen Funktionen ${\mathcal {L}}_{C}(V,W)$ als Teilmenge aller linearen Abbildungen ${\mathcal {L}}(V,W)$ selbst zu einem normierten Raum. (der Index $C$ in ${\mathcal {L}}_{C}(V,W)$ steht für "continuous" stetig). Für endlichdimensionale Vektorräume ist diese Unterscheidung nicht notwendig, da jede endlichdimensionale lineare Abbildung stetig ist.

Alternative Aussage

Alternativ zu (3) kann man die Aussage auch wie folgt formulieren

(3') Es existiert ein $M>0$ mit $\|T\|_{\mathcal {L}}:=\sup\{\|T(x)\|_{Y}\,:\,\|x\|_{X}=1\}\leq M$

Dies ist äquivalent zu

$\|T\|_{\mathcal {L}}=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|T(v)\|_{W}}{\|v\|_{V}}}=\sup _{\|v\|_{V}=1}\|T(v)\|_{W}=\sup _{\|v\|_{V}\leq 1}\|T(v)\|_{W}.$

Definition: Operatornorm

Seien $V$ und $W$ normierte Vektorräume über dem Körper $\mathbb {K}$ und ${\mathcal {L}}(V,W):=\{T\colon V\to W\mid T\ {\text{linear}}\}$ die Menge der linearen Abbildung von $V$ nach $W$. sei $T\colon V\rightarrow W$ ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

$\|{\cdot }\|_{\mathcal {L}}\;\colon \;{\mathcal {L}}(V,W)\to \mathbb {R} _{0}^{+}\cup \{\infty \}$

bezüglich der Vektornormen $\|\cdot \|_{V}$ und $\|\cdot \|_{W}$ durch

$\|T\|_{\mathcal {L}}:=\inf \left\{c\geq 0\mid \forall v\in V\colon \|T(v)\|_{W}\leq c\,\|v\|_{V}\right\}$

definiert.

Unstetige Lineare Abbildung

Da lineare Abbildungen von einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ in einen Vektorraum $W$ automatisch stetig sind, müssen wir für eine unstetige lineare Abbildung einen unendlichdimensonale Vektorraum $V$ als Definitionsbereich der linearen Abbildung $T:V\to W$ wählen.

Definitionsbereich der unstetigen linearen Abbildung

Sei $V:=\mathbb {C} [x]$ der $\mathbb {C}$-Vektorraum der Polynome mit komplexen Koeffizienten.

$\mathbb {C} [x]:=\left\{p\,\left|\,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{oo}(\mathbb {C} )\wedge p(x):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot x^{k}\right.\right\}$

Dabei entspricht $c_{oo}(\mathbb {C} )$ der Menge Folgen in $\mathbb {C}$, die ab einer Indexschranke nur noch die 0 als Folgenglied besitzt. Die Notation eines Polynoms $p(x):=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot x^{k}$ als Reihe $p(x):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot x^{k}$ bei dem fast alle Koeffizienten $p_{k}=0$ sind, hat nur formale Gründe. Ansonsten muss man den Grad eines Polynoms $n$ bei algebraischen Operationen nicht aufwendig formal berücksichtigten.

Polynomvektorraum als normierten Raum

Auf $V$ ist folgende Norm $\|\cdot \|_{V}$ definiert. Für ein Polynom $p\in \mathbb {C} [x]$ mit $p(x):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot x^{k}$ erhält man die Norm $\|p\|_{V}$ auf $V:=\mathbb {C} [t]$ wie folgt:

$\|p\|_{_{V}}:=\sum _{k=0}^{\infty }|p_{k}|$

Dabei ist die Reihe auf der rechten Seite ein endliche Summe mit $\|p\|_{_{V}}=\sum _{k=0}^{n}|p_{k}|$, falls der Grad des Polynoms $n$

Wertebereich der unstetigen linearen Abbildung

Um die unstetige Abbildung möglichst einfach zu halten, wählen wir als Werte die komplexen Zahlen $(\mathbb {C} ,|\cdot |)$ mit dem Betrag als Norm auf dem Vektorraum. Damit $W:=\mathbb {C}$ mit dem Betrag ein nomierter $\mathbb {C}$-Vektorraum.

Definition der unstetigen linearen Abbildung

Die lineare Abbildung $T:V\to W$ ist wie folgt definiert:

${\begin{array}{rcl}T:V&\to &W\\v&\mapsto &T(w)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }n\cdot |p_{k}|\\\end{array}}$

Aufgabe

Zeigen Sie, dass die Abbildung $T:V\to W$ nicht stetig ist. Verwenden Sie dazu die Polynome $p^{(n)}\in V$ mit $p^{(n)}(x):=x^{n}$ und zeigen Sie, dass die Bildfolge $T(p^{(n)})$ unbeschränkt ist. Begründen Sie dann mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, dass $T$ nicht stetig ist.

Siehe auch

• Hahn-Banach - normierte Räume
• Kurs:Funktionalanalysis
• Kontraposition
• Konvergenz in normierten Räumen
• Normenäquivalenzsatz

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