Der Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen liefert äquivalente Bedingungen zu Stetigkeit, die mit topologieerzeugende Funktionalen (Normen, Halbnormen, Gaugefunktionale).
Lineare Abbildungen - endlichdimensionale Vektorräume
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Lineare Abbildung
von einem endlichdimensionalen
-Vektorraum
in einen
-Vektorraum
sind immer stetig.
Lineare Abbildung
von einem unendlichdimensionalen
-Vektorraum
in einen
-Vektorraum
sind auch nicht stetig sein (siehe Beispiele für lineare Abbildungen, die nicht stetig sind.
Stetigkeitssatz für lineare Abbildung - normierte Räumen
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Seien
und
normierte Räume über dem Körper
und
eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (1) T ist stetig in jedem Punkt

- (2) T ist stetig im Nullvektor

- (3) Es existiert ein
mit
für alle
mit 
- (4) Es existiert ein
mit
für alle
,
Der Beweis erfolgt als Ringschluss von (1)
(2)
(3)
(4)
(1)
Korrollar SLA für bilineare Abbildungen
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Die Aussage des Stetigkeitssatzes gilt analog für bilineare Abbildungen und normierte Räume:
Seien
,
und
normierte Räume über dem Körper
und
eine bilineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (1) T ist stetig in jedem Punkt

- (2) T ist stetig im Nullvektor

- (3) Es existiert ein
mit
für alle
mit 
- (4) Es existiert ein
mit
für alle
,
Bemerkung - Produktraum als Vektorraum
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Der Produktraum
wird in natürlicher Weise zu einem
-Vektorraum durch die folgenden Verknüpfungen
:

Mit
wird
ebenfalls zu einem normierten Raum.
Für das Topologisierungslemma für Algebren ist es hilfreich, die Stetigkeit einem Punkt nachweisen zu müssen. Multiplikation mit Skalaren und die Multiplikation auf der Algebra sind in diesem Kontext bilineare Abbildungen. Dabei ist z.B.
und
mit
die submultiplikative Norm auf der Algebra
.
Beweisen Sie das obige Korollar unter Verwendung der Beweisideen aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen. Hinweise:
- Nutzen Sie dabei die Äquivalenz von
.
- Nutzen Sie für die Abschätzung für
die Linearität in jeder Komponente.
Aufgabe - Äquivalenz der Normen - Produktraum
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In dem obigen Korollar wird eine Norm
auf
definiert. Zeigen Sie, dass
eine äquivalente Norm auf
ist.
Die Bedingung (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen führt zur Einführung der Operatorraum. Damit macht man den Vektorraum der stetigen linearen Funktionen
als Teilmenge aller linearen Abbildungen
selbst zu einem normierten Raum. (der Index
in
steht für "continuous" stetig).
Alternativ zu (3) kann man die Aussage auch wie folgt formulieren
- (3') Es existiert ein
mit 
Dies ist äquivalent zu

Seien
und
normierte Vektorräume über dem Körper
und
die Menge der linearen Abbildung von
nach
. sei
ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

bezüglich der Vektornormen
und
durch

definiert.
Die Operatornorm
liefert eine kleinste obere Schranke für die Streckung von Vektoren aus der der Einheitskugel in
.
Lineare Abbildungen mit endlichdimensionalem Definitionbereich
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Für endlichdimensionale Vektorräume ist diese Unterscheidung nicht notwendig, da jede endlichdimensionale lineare Abbildung stetig ist.
Beweisen Sie den Satz, dass lineare Abbildungen mit einem endlichdimensionalen Definitionsbereich
stetig sind.
Sei
und
eine Basis von nomierten Vektoren für
(d.h.
für alle
).
- Nutzen Sie die Aussage (3) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen.
- Wählen Sie
aus der abgeschlossenen Einheitskugel
.
- Stellen Sie
als Linearkombination der Basisvektoren dar.
- Schätzen Sie die Norm
nach oben ab.
Bemerkung: Stetigkeit und Normbeschränktheit
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Bei stetigen linearen Abbildung von einem normierten Raum
nach
ist das Bild
der abgeschlossenen Einheitskugel
bzgl. der Norm
beschränkt.
Stetigkeitssatz für lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen
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Seien
und
topologische Vektorräume mit den Systemen von topologieerzeugenden Gaugefunktionalen über dem Körper
und
eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (1) T ist stetig in jedem Punkt

- (2) T ist stetig im Nullvektor

- (3)

- (4)
,
Auch der Stetigkeitssatz für Lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT) wird als
Ringschluss von (1)
(2)
(3)
(4)
(1) bewiesen.
Korrollar SLAT für bilineare Abbildungen
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Die Aussage des Stetigkeitssatzes gilt analog für bilineare Abbildungen und normierte Räume:
Seien
,
und
normierte Räume über dem Körper
und
eine bilineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (1) T ist stetig in jedem Punkt

- (2) T ist stetig im Nullvektor

- (3)
für alle
mit 
- (4)
für alle
,
Gaugefunktionale und partielle Ordnung
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Die Indexmengen
der Netze werden in Abhängigkeit von der Indexmenge der Gaugefunktionale gewählt.
ist dabei eine geeignete Wahl (siehe Gaugefunktionale und partielle Ordnung).
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