Stetigkeitssatz für lineare Abbildung[Bearbeiten]
Seien
und
normierte Räume über dem Körper
und
eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- (1) T ist stetig in jedem Punkt

- (2) T ist stetig im Nullvektor

- (3) Es existiert ein
mit
für alle
mit 
- (4) Es existiert ein
mit
für alle
,
Alternative Formulierung von (3)[Bearbeiten]
- (3) Es existiert ein
mit
für alle
mit 
- (3a) Es existiert ein
mit
für alle
mit 
- (3b) Es existiert ein
mit 
- (3c) Die Operatornorm

Ringschluss von (1)
(2)
(3)
(4)
(1)
Folgerung (1) nach (2)[Bearbeiten]
klar, da der Nullvektor
Folgerung (2) nach (3) - Kontraposition[Bearbeiten]
Wir zeigen die Kontraposition.
- Annahme: Es exisitiert eine Folge
aus der abgeschlossenen Einheitskugel
, die eine unbeschränkte Bildfolge
mit
besitzt.
- Wir folgern dann, dass
in dem Nullvektor
nicht stetig ist.
Folgerung (2) nach (3) - Teil 1[Bearbeiten]
Annahme, dass die Menge
unbeschränkt ist. D.h. es gibt eine Folge
mit dem Nullvektor
mit
.
Mit dieser unbeschränkten Bildfolge in
erzeugen wir nun ein Nullfolge in
in
, dessen Bildfolgenglieder
auf dem topologischen Rand der Einheitskugel
liegen.
Folgerung (2) nach (3) - Teil 2[Bearbeiten]
Wir definierten die Folgenglieder
über die
aus Teil 1 wie folgt.

Damit ist die Folge
eine Nullfolge in
, denn es gilt:

Folgerung (2) nach (3) - Teil 3[Bearbeiten]
Auf der anderen Seite liegen die Folgenglieder der Bildfolge
auf dem Rand der Einheitskugel in
und kann daher keine Nullfolge in
sein, denn es gilt:

Folgerung (2) nach (3) - Teil 4[Bearbeiten]
Wenn also
gegen den Nullvektor
aus
muss bei einer im Nullvektor
linearen Abbildung
auch die Bildfolge
gegen den Nullvektor
konvergieren. Das aber die Bildfolgenglieder
auf dem Rand der Einheitskugel in
liegen, kann die Bildfolge
nicht gegen den Nullvektor
konvergieren. Damit ist die lineare Abbildung
in
nicht stetig.
Folgerung (3) nach (4) - Fallunterscheidung[Bearbeiten]
Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein
mit
für alle
mit
. Man wählt für das gesucht
der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene
und betrachtet die Fallunterscheidung für
und
:
Folgerung (3) nach (4) - Fall 1[Bearbeiten]
In Fall 1 weisen wir nach, dass due Ungleichung (4) für den Nullvektor
efüllt ist. Es gilt:

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.1[Bearbeiten]
In Fall 2 sei nun
und
beliebig gewählt. Dann liegt der Vektor
auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel
in
, denn es gilt:

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.2[Bearbeiten]
Da nun
erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf
angewendet werden und man erhält:

Insgesamt erhält man (3):
bzw.
Folgerung (4) nach (1) - Teil 1[Bearbeiten]
- Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein
mit
für alle
.
- Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung
in einem beliebigen Punkt
stetig ist.d
D.h. wir zeigen, dass aus
auch die Konvergenz der Bildfolge
gegen
erfüllt ist. Über dem Limes steht die Norm, bzgl. der die Konvergenz formuliert wird. Dies ist in unendlichdimensionalen Vektorräumen notwendig, da dort Normen nicht notwendigerweise äquivalent sind.
Folgerung (4) nach (1) - Teil 1[Bearbeiten]
Für den Nachweis der Stetigkeit von
in jedem Punkt aus
sei nun
beliebig gewählt. Ferner sei ein Folge
in
mit
gegeben, die also gegen
bzgl. der Norm
konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der Bildfolge
gegen
verwenden man die Linearität und die Einschachtelung der Bildfolge durch Verwendung der Ungleichung (4).
Folgerung (4) nach (1) - Teil 2[Bearbeiten]
Für den Nachweis der Konvergenz der Folge
gegen
wird Abstand zwischen Folgengliedern
und
wie folgt abgeschätzt:
,
da
in
gegen
konvergiert und mit
durch Abschätzung auch
konvergiert.
Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen.
Die Bedingung (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen führt zur Einführung der Operatorraum. Damit macht man den Vektorraum der stetigen linearen Funktionen
als Teilmenge aller linearen Abbildungen
selbst zu einem normierten Raum. (der Index
in
steht für "continuous" stetig). Für endlichdimensionale Vektorräume ist diese Unterscheidung nicht notwendig, da jede endlichdimensionale lineare Abbildung stetig ist.
Alternative Aussage[Bearbeiten]
Alternativ zu (3) kann man die Aussage auch wie folgt formulieren
- (3') Es existiert ein
mit 
Dies ist äquivalent zu

Definition: Operatornorm[Bearbeiten]
Seien
und
normierte Vektorräume über dem Körper
und
die Menge der linearen Abbildung von
nach
. sei
ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

bezüglich der Vektornormen
und
durch

definiert.
Unstetige Lineare Abbildung[Bearbeiten]
Da lineare Abbildungen von einem endlichdimensionalen Vektorraum
in einen Vektorraum
automatisch stetig sind, müssen wir für eine unstetige lineare Abbildung einen unendlichdimensonale Vektorraum
als Definitionsbereich der linearen Abbildung
wählen.
Definitionsbereich der unstetigen linearen Abbildung[Bearbeiten]
Sei
der
-Vektorraum der Polynome mit komplexen Koeffizienten.
![{\displaystyle \mathbb {C} [x]:=\left\{p\,\left|\,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{oo}(\mathbb {C} )\wedge p(x):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot x^{k}\right.\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f46029c7a1368c61acf6954f4c78fad1a3e2c19)
Dabei entspricht
der Menge Folgen in
, die ab einer Indexschranke nur noch die 0 als Folgenglied besitzt. Die Notation eines Polynoms
als Reihe
bei dem fast alle Koeffizienten
sind, hat nur formale Gründe. Ansonsten muss man den Grad eines Polynoms
bei algebraischen Operationen nicht aufwendig formal berücksichtigten.
Polynomvektorraum als normierten Raum[Bearbeiten]
Auf
ist folgende Norm
definiert.
Für ein Polynom
mit
erhält man die Norm
auf
wie folgt:

Dabei ist die Reihe auf der rechten Seite ein endliche Summe mit
, falls der Grad des Polynoms
Wertebereich der unstetigen linearen Abbildung[Bearbeiten]
Um die unstetige Abbildung möglichst einfach zu halten, wählen wir als Werte die komplexen Zahlen
mit dem Betrag als Norm auf dem Vektorraum.
Damit
mit dem Betrag ein nomierter
-Vektorraum.
Definition der unstetigen linearen Abbildung[Bearbeiten]
Die lineare Abbildung
ist wie folgt definiert:

Zeigen Sie, dass die Abbildung
nicht stetig ist. Verwenden Sie dazu die Polynome
mit
und zeigen Sie, dass die Bildfolge
unbeschränkt ist. Begründen Sie dann mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, dass
nicht stetig ist.
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