Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung[Bearbeiten]

Seien und normierte Räume über dem Körper und

eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • (1) T ist stetig in jedem Punkt
  • (2) T ist stetig im Nullvektor
  • (3) Es existiert ein mit für alle mit
  • (4) Es existiert ein mit für alle ,

Alternative Formulierung von (3)[Bearbeiten]

  • (3) Es existiert ein mit für alle mit
  • (3a) Es existiert ein mit für alle mit
  • (3b) Es existiert ein mit
  • (3c) Die Operatornorm

Beweis[Bearbeiten]

Ringschluss von (1) (2) (3) (4) (1)

Folgerung (1) nach (2)[Bearbeiten]

klar, da der Nullvektor

Folgerung (2) nach (3) - Kontraposition[Bearbeiten]

Wir zeigen die Kontraposition.

  • Annahme: Es exisitiert eine Folge aus der abgeschlossenen Einheitskugel , die eine unbeschränkte Bildfolge mit besitzt.
  • Wir folgern dann, dass in dem Nullvektor nicht stetig ist.

Folgerung (2) nach (3) - Teil 1[Bearbeiten]

Annahme, dass die Menge unbeschränkt ist. D.h. es gibt eine Folge mit dem Nullvektor mit

.

Mit dieser unbeschränkten Bildfolge in erzeugen wir nun ein Nullfolge in in , dessen Bildfolgenglieder auf dem topologischen Rand der Einheitskugel liegen.

Folgerung (2) nach (3) - Teil 2[Bearbeiten]

Wir definierten die Folgenglieder über die aus Teil 1 wie folgt.

Damit ist die Folge eine Nullfolge in , denn es gilt:

Folgerung (2) nach (3) - Teil 3[Bearbeiten]

Auf der anderen Seite liegen die Folgenglieder der Bildfolge auf dem Rand der Einheitskugel in und kann daher keine Nullfolge in sein, denn es gilt:

Folgerung (2) nach (3) - Teil 4[Bearbeiten]

Wenn also gegen den Nullvektor aus muss bei einer im Nullvektor linearen Abbildung auch die Bildfolge gegen den Nullvektor konvergieren. Das aber die Bildfolgenglieder auf dem Rand der Einheitskugel in liegen, kann die Bildfolge nicht gegen den Nullvektor konvergieren. Damit ist die lineare Abbildung in nicht stetig.

Folgerung (3) nach (4) - Fallunterscheidung[Bearbeiten]

Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein mit für alle mit . Man wählt für das gesucht der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene und betrachtet die Fallunterscheidung für und :

Folgerung (3) nach (4) - Fall 1[Bearbeiten]

In Fall 1 weisen wir nach, dass due Ungleichung (4) für den Nullvektor efüllt ist. Es gilt:

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.1[Bearbeiten]

In Fall 2 sei nun und beliebig gewählt. Dann liegt der Vektor auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel in , denn es gilt:

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.2[Bearbeiten]

Da nun erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf angewendet werden und man erhält:

Insgesamt erhält man (3): bzw.

Folgerung (4) nach (1) - Teil 1[Bearbeiten]

  • Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein mit für alle .
  • Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung in einem beliebigen Punkt stetig ist.d

D.h. wir zeigen, dass aus auch die Konvergenz der Bildfolge gegen erfüllt ist. Über dem Limes steht die Norm, bzgl. der die Konvergenz formuliert wird. Dies ist in unendlichdimensionalen Vektorräumen notwendig, da dort Normen nicht notwendigerweise äquivalent sind.

Folgerung (4) nach (1) - Teil 1[Bearbeiten]

Für den Nachweis der Stetigkeit von in jedem Punkt aus sei nun beliebig gewählt. Ferner sei ein Folge in mit gegeben, die also gegen bzgl. der Norm konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der Bildfolge gegen verwenden man die Linearität und die Einschachtelung der Bildfolge durch Verwendung der Ungleichung (4).

Folgerung (4) nach (1) - Teil 2[Bearbeiten]

Für den Nachweis der Konvergenz der Folge gegen wird Abstand zwischen Folgengliedern und wie folgt abgeschätzt:

,

da in gegen konvergiert und mit durch Abschätzung auch konvergiert.

Ringschluss[Bearbeiten]

Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen.

Operatornorm[Bearbeiten]

Die Bedingung (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen führt zur Einführung der Operatorraum. Damit macht man den Vektorraum der stetigen linearen Funktionen als Teilmenge aller linearen Abbildungen selbst zu einem normierten Raum. (der Index in steht für "continuous" stetig). Für endlichdimensionale Vektorräume ist diese Unterscheidung nicht notwendig, da jede endlichdimensionale lineare Abbildung stetig ist.

Alternative Aussage[Bearbeiten]

Alternativ zu (3) kann man die Aussage auch wie folgt formulieren

(3') Es existiert ein mit

Dies ist äquivalent zu

Definition: Operatornorm[Bearbeiten]

Seien und normierte Vektorräume über dem Körper und die Menge der linearen Abbildung von nach . sei ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

bezüglich der Vektornormen und durch

definiert.

Unstetige Lineare Abbildung[Bearbeiten]

Da lineare Abbildungen von einem endlichdimensionalen Vektorraum in einen Vektorraum automatisch stetig sind, müssen wir für eine unstetige lineare Abbildung einen unendlichdimensonale Vektorraum als Definitionsbereich der linearen Abbildung wählen.

Definitionsbereich der unstetigen linearen Abbildung[Bearbeiten]

Sei der -Vektorraum der Polynome mit komplexen Koeffizienten.

Dabei entspricht der Menge Folgen in , die ab einer Indexschranke nur noch die 0 als Folgenglied besitzt. Die Notation eines Polynoms als Reihe bei dem fast alle Koeffizienten sind, hat nur formale Gründe. Ansonsten muss man den Grad eines Polynoms bei algebraischen Operationen nicht aufwendig formal berücksichtigten.

Polynomvektorraum als normierten Raum[Bearbeiten]

Auf ist folgende Norm definiert. Für ein Polynom mit erhält man die Norm auf wie folgt:

Dabei ist die Reihe auf der rechten Seite ein endliche Summe mit , falls der Grad des Polynoms

Wertebereich der unstetigen linearen Abbildung[Bearbeiten]

Um die unstetige Abbildung möglichst einfach zu halten, wählen wir als Werte die komplexen Zahlen mit dem Betrag als Norm auf dem Vektorraum. Damit mit dem Betrag ein nomierter -Vektorraum.

Definition der unstetigen linearen Abbildung[Bearbeiten]

Die lineare Abbildung ist wie folgt definiert:

Aufgabe[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass die Abbildung nicht stetig ist. Verwenden Sie dazu die Polynome mit und zeigen Sie, dass die Bildfolge unbeschränkt ist. Begründen Sie dann mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, dass nicht stetig ist.

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

Diese Lernresource wurde als Wiki2Reveal Foliensatz erstellt.

Wiki2Reveal[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.