Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung

Einleitung

Diese Seite zum Thema Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

• (1) Eigenschaften konvexer Nullumgebungen,
• (2) Minkowski-Funktionale von konvexen Mengen und die Dreieckunsgleichung,
• (3) Stetigkeit der Addition und die Dreiecksungleichung.

Zielsetzung

Diese Lernressource zu Konvexen Mengen und der Dreiecksungleichung in der Wikiversity hat das Ziel, den Zusammenhang zwischen konvexen Nullumgebungen und der Gültigkeit der Dreiecksungleichung für Minkowski-Funktionalen von konvexen Nullumgebungen herzustellen. Dabei wählt man im Folgenden zu einer Nullumgebung ${\widehat {U}}$ die Nullumgebung des Minkowski-Funktionals so, dass

$U=\left\{v\in V\,:\,p_{_{\widehat {U}}}(v)<1\right\}$.

Lemma - Dreiecksungleichung und Konvexität

Sei $U\subset V$ eine kreisförmige offene Nullumgebung, dann erfüllt das zugehörige Minkowski-Funktional $p_{_{U}}$ genau dann die Dreiecksungleichung, wenn $U$ konvex ist.

Beweis

Der Beweis gliedert sich in zwei Teile:

• (DUG1) eine offene konvexe Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}(0_{_{V}})$ ist gegeben und dann erfüllt das zugehörige Minkowski-Funktional die Dreiecksungleichung.
• (DUG2) ein Minkowski-Funktional $p_{U}:V\to \mathbb {R}$ zu einer offenen Nullumgebug $U$ erfüllt die Dreiecksungleichung, dann ist die Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}(0_{_{V}})$ konvex.

Beweis (DUG1) konvexe Nullumgebung gegeben

In einem topologischen Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ sei eine Nullumgebung konvex und es die Dreicksungleichung für das Minkowski-Funktional $p_{U}:V\to \mathbb {R}$ zu zeigen.

Beweis (DUG1.1) Konvexität von U

Da die Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}(0_{_{V}})$ konvex ist, gilt die folgende Eigenschaft:

$${\underset {u_{1},u_{2}\in U}{\forall }}\,\,\,\,\,{\underset {\lambda \in [0,1]}{\forall }}\,\,\,\,\,(1-\lambda )\cdot u_{1}+\lambda \cdot u_{2}\in U$$

Dies bedeutet, dass für beliebige $u_{1},u_{2}\in U$ die Verbindungstrecke zwischen $u_{1}$ und $u_{2}$ ganz in $U$ liegt.

Beweis (DUG1.2) Definition des Minkowski-Funktionals

Für das Minkowski-Funktional ${\textstyle p_{_{U}}}$ gilt:

$p_{_{U}}(x):=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda \cdot U\}.$

Nach Definition setzt man für ein beliebiges $\varepsilon >0$ den Skalar $\lambda _{x}:=p_{_{U}}(x)+\varepsilon$ und $\lambda _{y}:=p_{_{U}}(y)+\varepsilon$ und es gilt ${\textstyle x\in \lambda _{x}\cdot U}$ bzw. ${\textstyle y\in \lambda _{y}\cdot U}$. Also erhält man insbesondere auch

$x+y\in \lambda _{x}\cdot U+\lambda _{y}\cdot U$

Beweis (DUG1.3) Abschätzung des Minkowski-Funktionals

Über die Division durch $\lambda _{x}+\lambda _{y}$ erhält in der Mengendarstellung eine Konvexkombination aus zwei Elementen aus $U$.

${\textstyle {\frac {x+y}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\in {\frac {\lambda _{x}}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\cdot U+{\frac {\lambda _{y}}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\cdot U=\left(1-{\frac {\lambda _{y}}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\right)\cdot U+{\frac {\lambda _{y}}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\cdot U\subseteq U}$

Also liegt ${\textstyle {\frac {x+y}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\in U}$ und es gilt ${\textstyle p_{_{U}}\left({\frac {x+y}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\right)\leq 1}$.

Beweis (DUG1.4) Abschätzung des Minkowski-Funktionals

Damit erhält man die gesuchte Dreieckungleichung über die Kreisförmigkeit von $U$ bzw. die Homogenität von $p_{_{U}}$, denn es gilt:

${\textstyle {\begin{array}{rcl}{\frac {1}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\cdot p_{_{U}}\left(x+y\right)&=&p_{_{U}}\left({\frac {x+y}{\lambda _{x}+\lambda _{y}}}\right)\leq 1\,\,\,\,\Longrightarrow \\p_{_{U}}\left(x+y\right)&\leq &\lambda _{x}+\lambda _{y}=p_{_{U}}(x)+p_{_{U}}(y)+2\varepsilon \\\end{array}}}$

Da $\varepsilon >0$ beliebig gewählt war, erhält man die Dreiecksungleichung:

${\textstyle p_{_{U}}\left(x+y\right)\leq p_{_{U}}(x)+p_{_{U}}(y)}$

Beweis (DUG2) Dreiecksungleichung des Minkowskifunktionals erfüllt

Das Minkowski-Funktional $p_{_{U}}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ erfüllt die Dreiecksungleichung. Zu zeigen ist nun, dass die kreiförmige Nullumgebung $U$ konvex ist. Man wählt dazu zwei beliebige Element $u_{1},u_{2}\in U$.

Beweis (DUG2.1) Minkowski-Funktionals

In einem topologischen Vektorraum ist jede Nullumgebung absorbierend.Für das Minkowski-Funktional ${\textstyle p_{_{U}}}$ gilt nach Definition:

$p_{_{U}}(x):=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda \cdot U\}.$

Man erhält also mit dem Minkowski-Funktional $p_{_{U}}(x)$ die kleinste untere Schranke eines positiven Skalars, der den Vektor $x$ gerade noch absorbiert. Das Infimum muss nicht angenommen werden (z.B. wenn $x$ auf dem Rand von $U$ liegt.

Beweis (DUG2.2) Konvexkombination für Minkowski-Funktional

Man wendet nun Konvexkombination auf das Minkowski-Funktional an und nutzt die Gültigkeit der Dreieckungleichung. Damit erhält man:

${\begin{array}{rcl}p_{_{U}}((1-\lambda )\cdot x+\lambda \cdot y)&\leq &p_{_{U}}((1-\lambda )\cdot x)+p_{_{U}}(\lambda \cdot y)\\&=&(1-\lambda )\cdot \underbrace {p_{_{U}}(x)} _{<1}+\lambda \cdot \underbrace {p_{_{U}}(y)} _{<1}\\&<&(1-\lambda )+\lambda =1\end{array}}$

Also gilt mit der Ungleichung, dass $(1-\lambda )\cdot x+\lambda \cdot y\in U$, weil die obige Abschätzung $p_{_{U}}((1-\lambda )\cdot x+\lambda \cdot y)<1$.

Aufgaben für Lernende / Studierende

• Zeigen Sie, dass das Minkowskifunktional einer nicht-konvexen Menge die Dreiecksungleichung verletzt, indem Sie eine Element $z\notin U$ außerhalb der nicht-konvexen kreisförmigen Nullumgebung $U$ als Konvexkombination von zwei Element $x,y\in U$ aus der konvexen Nullumgebung darstellen und die Ungleichung zum Widerspruch führen.

Siehe auch

• absorbierende Menge
• Minkowski-Funktional
• Topologisierungslemma
• Wiki2Reveal

Seiteninformation

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