Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen

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Einführung[Bearbeiten]

Der Beweis zum Satz über Summen von Elementen mit kleinen Potenzen und topologischen Nullteilern wurde von Zelazko (1983) [1] über permanente Radikale in kommutativen lokalkonvexen Algebren formuliert. Der folgende Beweis des Satzes über Gaugefunktionale soll zeigen, dass Elementen sogar in beliebigen topologischen Algebren permanent singuläre Elemente sind.

Topologische kleine Potenzen[Bearbeiten]

Die Aussage steht ebenfalls im Zusammenhang mit dem Begriff der topologisch kleinen Potenzen, denn Summen aus

  • Elementen mit kleinen Potenzen und
  • topologischen Nullteiler

sind Elemente mit topologisch kleinen Potenzen.

Satz: KP-TNT-Summen[Bearbeiten]

Sei , dann besteht die Menge

aus -singulären Elementen.

Beweis - KP-TNT-Summen[Bearbeiten]

Sei , dann gibt es für alle ein mit .

Beweis 1 - Lemma über Produkte von TNT[Bearbeiten]

Nach dem Lemma über Produkte mit topologischen Nullteilern ist . Aus folgt

Beweis 2 - Toplogische Nullteiler[Bearbeiten]

Ferner gibt es mit Lemma zur Charakterisierung der topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale und ein , so dass

Beweis 3 - Stetigkeit der Addition[Bearbeiten]

Zu jedem wählt man aufgrund der Stetigkeit der Addition ein mit

Beweis 4 - Stetigkeit der Multiplikation[Bearbeiten]

Wegen der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu jedem ein finden mit

Beweis 5 - Abschätzung des Infimums[Bearbeiten]

Insgesamt erhält man

Beweis 6 - permanente Singularität[Bearbeiten]

Also ist die -Bedingung erfüllt und damit ist die Summe aus einem Element mit kleinen Potenzen und einem topologischen Nullteiler ein permanent singuläres Element in bzw. ist -singulär.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellennachweis[Bearbeiten]

  1. Zelazko Wieslaw, On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75 (1983), S. 265-272

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