Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen

Einführung

Der Beweis zum Satz über Summen von Elementen mit kleinen Potenzen und topologischen Nullteilern wurde von Zelazko (1983) ^[1] über permanente Radikale in kommutativen lokalkonvexen Algebren formuliert. Der folgende Beweis des Satzes über Gaugefunktionale soll zeigen, dass Elementen $z\in {\mathcal {KP}}(A)+{\mathcal {TNT}}(A)$ sogar in beliebigen topologischen Algebren permanent singuläre Elemente sind.

Topologische kleine Potenzen

Die Aussage steht ebenfalls im Zusammenhang mit dem Begriff der topologisch kleinen Potenzen, denn Summen aus

Elementen mit kleinen Potenzen und
topologischen Nullteiler

sind Elemente mit topologisch kleinen Potenzen.

Satz: KP-TNT-Summen

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}^{k}}$ , dann besteht die Menge

{\mathcal {KP}}(A)+{\mathcal {TNT}}(A):=\{z_{1}+z_{2}:z_{1}\in {\mathcal {KP}}(A)\wedge z_{2}\in {\mathcal {TNT}}(A)\}

aus ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ -singulären Elementen.

Beweis - KP-TNT-Summen

Sei ${\textstyle z=z_{1}+z_{2}\in {\mathcal {KP}}(A)+{\mathcal {TNT}}(A)}$ , dann gibt es für alle ${\textstyle k\in \mathbb {N} }$ ein ${\textstyle a_{k}\in A}$ mit ${\textstyle z^{k}=z_{1}^{k}+a_{k}\cdot z_{2}}$ .

Beweis 1 - Lemma über Produkte von TNT

Nach dem Lemma über Produkte mit topologischen Nullteilern ist ${\textstyle a_{k}\cdot z_{2}\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ . Aus ${\textstyle z_{1}\in {\mathcal {KP}}(A)}$ folgt

\forall _{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}\exists _{\displaystyle n(\beta )\in \mathbb {N} }:\left\|z_{1}^{k(\beta )}\right\|_{\beta }=0.

Beweis 2 - Toplogische Nullteiler

Ferner gibt es mit Lemma zur Charakterisierung der topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale und ${\textstyle z_{2}\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ , so dass

\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z_{2}x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}{\mbox{ gilt.}}

Beweis 3 - Stetigkeit der Addition

Zu jedem ${\textstyle \beta }$ wählt man aufgrund der Stetigkeit der Addition ein ${\textstyle {\widetilde {\beta }}\in {\mathcal {A}}}$ mit

\left\|x+y\right\|_{\beta }\leq \left\|x\right\|_{\widetilde {\beta }}+\left\|y\right\|_{\widetilde {\beta }}{\mbox{ für alle }}x,y\in A.

Beweis 4 - Stetigkeit der Multiplikation

Wegen der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu jedem ${\textstyle {\widetilde {\beta }}\in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle {\widehat {\beta }}\in {\mathcal {A}}}$ finden mit

\left\|xy\right\|_{\widetilde {\beta }}\leq \left\|x\right\|_{\widehat {\beta }}\cdot \left\|y\right\|_{\widehat {\beta }}{\mbox{ für alle }}x,y\in A.

Beweis 5 - Abschätzung des Infimums

Insgesamt erhält man

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k({\widehat {\beta }})}\cdot x\right\|_{\beta }&\leq &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}{\bigg (}\left\|z_{1}^{k({\widehat {\beta }})}\cdot x\right\|_{\widetilde {\beta }}+\left\|a_{k({\widehat {\beta }})}\cdot z_{2}\cdot x\right\|_{\widetilde {\beta }}{\bigg )}\\&\leq &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}{\bigg (}\underbrace {\left\|z_{1}^{k({\widehat {\beta }})}\right\|_{\widehat {\beta }}} _{=0}\cdot \left\|x\right\|_{\widehat {\beta }}+\left\|a_{k({\widehat {\beta }})}\right\|_{\widehat {\beta }}\cdot \left\|z_{2}\cdot x\right\|_{\widehat {\beta }}{\bigg )}\\&=&0\end{array}}

Beweis 6 - permanente Singularität

Also ist die ${\mathcal {TKP}}$ -Bedingung erfüllt und damit ist die Summe aus einem Element mit kleinen Potenzen und einem topologischen Nullteiler ein permanent singuläres Element in $A$ bzw. ist ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ -singulär. $\Box$